Лапин П.А. Решение задач по высшей математике. 1 семестр. Кривые и поверхности второго порядка. Линейные неоднородные системы уравнений
Подождите немного. Документ загружается.
20
Элементарными преобразованиями приводим матрицу системы к
виду:
1 0 1
0 1 0
0 0 0
−
;
°
2
=
rangA
, следовательно система имеет бесчисленное множество
решений, зависящих от параметра.
Возьмем
1
γ
за параметр, тогда
1 1 1
0
,
α γ β
= =
.
Полагаем
1
1
γ
=
, тогда
1
1 1
1
1
0
1
α
β
γ
Γ = =
.
При
3
λ
= −
имеем
3 0 1
0 0 0
1 0 3
2
2
2
0
α
β
γ
=
.
Матрицу
°
A
приводим к виду
°
3 0 1 1 0 3
1 0 3 0 0 8
0 0 0 0 0 0
= −
:A
;
°
2 2 2
2 0
, ,
rangA
α γ β
= = =
-параметр.
Полагаем
2
1
β
=
, следовательно
2
2 2
2
0
1
0
α
β
γ
Γ = =
.
При
1
λ
= −
имеем
1 0 1
0 2 0
1 0 1
−
3
3
3
α
β
γ
=0,
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
21
°
1 0 1 1 0 1
0 2 0 0 1 0
1 0 1 0 0 0
= −
:A
;
°
3 3 3 3
2 0
, , ,
rangA
α γ β γ
= = − =
-параметр.
Полагая
3
1
γ
=
, получаем
3
3 3
3
1
0
1
α
β
γ
−
Γ = =
.
Нормируем собственные векторы.
1
2
Γ =
, откуда
0
1
1 2
0
1 2
Γ =
/
/
.
2
1
Γ =
и значит,
0
2
0
1
0
Γ =
.
3
2
Γ =
, и
0
3
1 2
0
1 2
−
Γ =
/
/
.
Формируем матрицу преобразования
Τ
, беря в качестве ее столбцов
собственные векторы
0 0 0
1 2 3
, ,
Γ Γ Γ
.
Получаем
1 2 0 1 2
0 1 0
1 2 0 1 2
−
Τ=
/ /
/ /
.
Очевидно,
1
Τ= +
det
,
то есть система
0
/ / /
x y z
будет правой системой координат .
Итак, имеем преобразование
/
X TX
=
.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
22
В координатной форме:
x
y
z
=
1 2 0 1 2
0 1 0
1 2 0 1 2
−
/ /
/ /
/
/
/
x
y
z
⇒
2 2
/ /
x x z= −
/
y y
=
(*)
2 2
/ /
/ /
z x z= +
Если принять во внимание формулы преобразования при повороте
координатных осей
/ /
cos sin .
x x z
α α
= −
/ /
sin cos .
z x z
α α
= +
то нетрудно видеть, что преобразованию (*) соответствует поворот
координатных осей
Ox
,
Oz
вокруг оси
Oy
на угол
4
π
α
=
.
Заметим, что
y
при этом преобразовании не меняется.
Очевидно, что
1 2
α α
= =
sin cos /
, то есть
4
π
α
=
.
Относительно новых осей квадратичная форма
(
)
/ / / / / / /
, ,
x y z X A X
Τ
Φ =
.
Нетрудно найти матрицу квадратичной формы в новом базисе:
/
A T A T
Τ
=
.
Имеем
1 0 0
0 3 0
0 0 1
/
A
= −
.
Уравнение поверхности относительно нового базиса:
2 2 2
3 0
/ / /
x y z
− − =
.
Оси
/
Ox
,
/
Oz
лежат в плоскости
zOx
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
23
Ясно, что это конус,
вытянутый вдоль оси
0
/
x
,
с вершиной в начале координат.
Так как уравнение не содержит линейных относительно
/ /
,
x y
и
/
z
слагаемых, то параллельного переноса не требуется (рис.4).
Рис.4
/
,
y y
z
x
/
z
/
x
0
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.