Кушнір Н.Б., Кузнєцова Т.В., Красовська Ю.В. Статистика

Подождите немного. Документ загружается.

3. Кожне відхилення підноситься до квадрату:

)( ХХ − .

4. Квадрат відхилення множиться на відповідну вагу:

fХХ ⋅−

)(

5. Додаються всі добутки:

fХХ ⋅−Σ

)(

6. Ділиться сума добутків на суму ваги (частот):

fХХ

⋅−Σ

)(

і отримується дисперсія.

7. З дисперсії вилучається корінь квадратний:

fХХ

⋅−Σ

)(

і отримується середнє квадратичне відхилення.

Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим типовіша

середня і тим більш однорідна сукупність. На практиці

застосовують спрощений метод визначення дисперсії за

залежністю:

=−= −

∑

()

(5.14)

Тобто дисперсія ознаки дорівнює різниці між середнім

квадратом значень ознаки і квадратом середньої.

Коефіцієнт варіації – є відносною мірою варіації і дозволяє

порівняти ступінь варіації ознак у рядах варіації з різним рівнем

середніх. Розраховується як відношення середнього квадратичного

відхилення до середньої величини:

=⋅

100

(5.15)

Якщо коефіцієнт варіації < 33%, то така сукупність вважається

однорідною.

Розглянемо обчислення характеристик варіації для

альтернативної ознаки. Позначимо через ” 0 ” – відсутність ознаки.

Частку одиниць, які мають наявність ознаки позначаємо через “ p ”,

а частку одиниць, які мають відсутність ознаки – “ q “.

pq q p+=⇒ =−11

(5.16)

Тоді

⋅+⋅

(5.17)

Дисперсія альтернативної ознаки ( σ

) дорівнює добутку

частки (р) на доповнююче частки число (1 – q).

= р( 1 – pq ),

(5.18)

Корінь квадратний σ

дасть середнє квадратичне відхилення.

Приклад обчислення показників варіації. Визначити

дисперсію, середнє квадратичне відхилення і коефіцієнт варіації за

такими даними:

Таблиця 5.6

Група

робітників за

розміром

заробітної

плати, грн.

Середина

інтервалу,

(х)

Число

робітників,

( f )

х - х

( х – х )

1300-1400

1400-1500

1500-1600

1600-1700

1700-1800

1800-1900

1350

1450

1550

1650

1750

1850

100

115

180

-308

-208

-108

-8

192

94864

43264

11664

8464

36864

948640

2163200

1166400

7360

1523520

1658880

Разом: - 500 - - 7468000

1. Визначаємо середню арифметичну зважену:

0,1658

500

451850180175011516501001550501450101350

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

∑

грн.

2. Визначаємо дисперсію:

14936

500

7468000

)(

−

∑

fxx

3. Визначаємо середнє квадратичне відхилення:

2,12214936

===

σσ

грн.

4. Коефіцієнт варіації:

%4,7100

1658

2,122

=⋅==

5. Розрахунок дисперсії за спрощеною формулою (табл. 5.2):

_ _

σ = х

– ( х )

Таблиця 5.7

x f x

1350

1450

1550

1650

1750

1850

100

115

180

1822500

2102500

2402500

2722500

3062500

3422500

18225000

105125000

240250000

313087500

551250000

154012500

Разом: 500 - 1381950000

2763900

500

1381950000

==x

( х )

= (1658)

= 2748964

σ = х

– ( х )

= 2763900 – 2748964 = 14936

5.4. Дисперсійний аналіз. Правило додавання дисперсій.

Основною метою дисперсійного аналізу є виявлення на основі

величини загальної дисперсії впливу окремих чинників на варіацію

ознаки. Для оцінки частки варіації, зумовленої тією чи іншою

ознакою, сукупність розподіляють на групи за тією ознакою,

властивість якої досліджується. Це дозволяє розкласти загальну

варіацію на 2 дисперсії, з

яких одна частина варіації визначається

впливом чинника, покладеного в основу групування, а друга –

варіацією усіх чинників, крім того, що вивчається. Отже, згідно з

правилом додавання дисперсій в дисперсійному аналізі визначають

загальну, міжгрупову, внутрішньогрупову дисперсії.

Загальна дисперсія характеризує варіацію ознаки у статистичній

сукупності в результаті впливу всіх чинників.

=−xx

(5.19)

Міжгрупова дисперсія показує рівень відхилення групових

середніх від загальної середньої, тобто характеризує вплив чинника,

покладеного в основу групування.

−

∑

()xxf

(5.20)

Внутрішньогрупова дисперсія (залишкова) характеризує

варіацію ознаки в середині кожної групи статистичного групування.

iii

xxf

−

∑

()

(5.21)

Отже, загальна дисперсія складається із суми

внутрішньогрупової дисперсії і міжгрупової дисперсії.

Сутність зв’язку між ознаками характеризує коефіцієнт

детермінації, який розраховується як відношення міжгрупової

дисперсії до загальної дисперсії:

(5.22)

Корінь квадратний з η

- це емпіричне кореляційне

співвідношення:

(5.23)

Кореляційне співвідношення характеризує ступінь наближення

зв’язку до функціонального, тобто тісноту кореляційної залежності

і коливається від 0 до 1 .

Якщо η

= 0, то міжгрупова дисперсія дорівнює 0.

Якщо η

= 1, то міжгрупова дисперсія дорівнює загальній, а

середня з групових дорівнює 0. "

η" може бути як додатнім так і

від'ємним. Якщо факторна і результативна ознака змінюються в

одному напрямку, то кореляційне співвідношення буде з знаком

“+”.

Правило додавання дисперсій. Загальна дисперсія дорівнює

сумі середньої із групових дисперсій і міжгрупової дисперсії.

∂

(5.24)

Приклад 1:

Відомі дані про розподіл заробітної плати по трьом групам

робітників з різним стажем роботи.

Визначити:

1. Середню заробітну плату для всієї сукупності робітників.

2. Загальну дисперсію і дисперсію заробітної плати.

Таблиця 5.8.

Дані про розподіл заробітної плати по трьом групам

робітників з різним стажем роботи

Стаж роботи

Число

робітників(f),

або(n)

Середня

зарплата

Середнє квадратичне

відхилення, грн (

)

<3 10 500 12

3 – 10 15 600 10

>10 25 700 20

∑

630

700256001510500

⋅+⋅+⋅

(грн)

∂

8,258

252015101012

222

⋅+⋅+⋅

(грн)

∂

()()()

6100

256307001563060010630500

⋅−+⋅−+⋅−

(грн)

=258,8+6100=6358,8

7,798,6358 ==

(грн)

Приклад 2. Визначити дисперсію, середнє квадратичне

відхилення і коефіцієнт варіації:

Таблиця 5.9.

Розрахункова таблиця для визначення дисперсії, середнього

квадратичного відхилення і коефіцієнта варіації

Групи

робітників

за розміром

зарплати,

грн.

Варіанта

(середина

інтервалу)

, x, грн.

Число

робіт-

ників

xx −

()

xx −

()

fxx

−

1300-1400

1350 10 -308 94864 948640 1822500 18225000

1400-1500

1450 50 -208 43264 2163200 2102500 105125000

1500-1600

1550 100 -108 11664 1166400 2402500 240250000

1600-1700

1650 115 -8 64 7360 2722500 313087500

1700-1800

1750 180 92 8464 1523520 3062500 551250000

1800-1900

1850 45 192 36864 1658880 3422500 154012500

Разом

— 500 — — 7468000 — 1381950000

1) Середня місячна зарплата

0,1658

500

451850180175011516501001550501450101350

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

∑

грн.

2) Середній квадрат відхилень від арифметичної:

14936

500

7468000

)(

−

∑

fxx

грн.

3) Середнє квадратичне відхилення

2,12214936

===

σσ

грн. Вибірка типова.

4) Коефіцієнт варіації:

%4,7100

1658

2,122

=⋅==

<33%, отже, сукупність однорідна.

5) Обчислимо дисперсію спрощеним методом.

2763900

500

1381950000

==x

( х )

= (1658)

= 2748964

σ = х

– ( х )

= 2763900 – 2748964 = 14936 грн

5.5. Прийоми аналізу варіаційних рядів

У варіаційних рядах розподілу спостерігається певний зв’язок у

зміні частот і варіаційних ознак.

Це зміни частот у варіаційних рядах і головним завданням

статистики є визначення характеру закономірності розподілу. Для

цього необхідно правильно побудувати варіаційний ряд, тобто

визначити оптимальний розмір інтервалу, при якому виявляється

закономірність розподілу

. Закономірності розподілу відображають

певні властивості розподілу.

Так, наприклад, розподіл робітників-відрядників певної професії

на підприємстві за рівнем зарплати відображає виконання норм

виробітку, кваліфікацію і розцінки. Крім того, на фактичний

розподіл зарплати впливають і випадкові причини (хвороби, сімейні

обставини). Теоретична крива розподілу – крива, яка відображає

загальну закономірність даного типу розподілу в

чистому виді,

тобто за виключенням випадкових факторів.

Для дискретного ряду графічне зображення ряду розподілу

здійснюється у вигляді полігона, а інтервального – у вигляді

гістограми.

В статистиці найчастіше використовують нормальний ряд

розподілу, який описується рівнянням:

−

⋅

πσ

(5.25)

де y

– ордината кривої нормального розподілу;

−

;

π = 3,1415; e = 2,7182.

Для нормального розподілу мода дорівнює медіані і дорівнює

середній:

= М

Таким чином, крива нормального розподілу визначається

середньою арифметичною і середнім квадратичним відхиленням. Її

особливість у тому, що вона симетрична: по обидві сторони від її

середини створюються дві подібні рівномірно спадаючі криві, які

наближаються до осі абсцис, тому в ній середня арифметична, мода

і медіана співпадають.

Крива має α точки перебігу при t = ±1, тобто при таких

значеннях х, коли відхилення варіанти від середньої дорівнює

середньому квадратичному відхиленню. В цих межах при

нормальному розподілі зосереджено 68,3% всіх членів розподілу.

Нормальний розподіл характеризується симетричністю по

відношенню до точки, яка відповідає значенню середньої

арифметичної. Її вершина знаходиться точно в середині кривої

нормального розподілу. В асиметричному розподілі вершини кривої

знаходяться не в середині, а зсунуті вліво чи вправо.

Лівосторонньою буде така асиметрія, коли ліва частина кривої

довша за праву і вершина її зсунута вправо (рис. 5.1). Якщо

вершина зсунута вліво і права частина кривої довше лівої, то така

асиметрія називається правосторонньою (рис. 5.2).

<0 К

x < M

< M

x > M

> M

Рис. 5.1. Лівостороння Рис. 5.2. Правостороння

асиметрія асиметрія

Вибір форми асиметрії здійснюється за допомогою коефіцієнта

асиметрії (К

), який визначається як відношення різниці між

середньою (

) і модою (М

) до середньо квадратичного

відхилення:

−

(5.26)

При симетричному розподілі

- M

= 0, то К

= 0

Якщо

> М

, то К

– додатній і характеризує правосторонню

асиметрію. Якщо

< М

, то К

– від’ємний і характеризує

лівосторонню асиметрію.

Критерії практичного застосування середньої:

1. Мода є такою характеристикою розподілу, при використанні

якої у якості найбільш типової варіанти допускається найменше

число помилок (відхилень), але при цьому не враховується їх

величина. Таким чином, мода мінімізує число помилок.

2. Медіана задовольняє критерій мінімізації суми помилок.

3. Середня арифметична

не є конкретною варіантою і

задовольняє критерію мінімізації суми квадратів відхилень, тому

дисперсія обчислюється від середньої величини.

Таким чином, коли треба врахувати не тільки величину помилок,

а знайти таке рішення, щоб їх сума була мінімальною, необхідно

звертатись до середньої арифметичної.

ТЕМА 6. Аналіз інтенсивності динаміки

Ключові питання:

1. Поняття про ряди динаміки і їх види

2. Показники аналізу рядів динаміки

6.1. Поняття про ряди динаміки і їх види

Процес розвитку і руху соціально-економічних явищ у часі в

статистиці прийнято називати динамікою. Для її відображення

будуються ряди динаміки.

Ряди динаміки - це ряди послідовно розставлених у

хронологічному порядку показників, які характеризують розвиток

явища. У ряді динаміки є два основних показника: рівень розподілу

- y і показник часу - t.

При статистичному вивченні динаміки вирішуються такі

завдання:

1. Визначення швидкості і інтенсивності розвитку явища за

допомогою зміни рівнів ряду і середніх величин.

2. Визначення основної тенденції ряду динаміки (тренду), який

дозволяє представити зміну рівнів ряду за певний проміжок часу у

вигляді моделі.

3. Визначення величини коливання рівнів ряду навколо тренду;

виділення сезонних і інших періодичних коливань і вимір їх

глибини.

4. Порівняння у часі окремих соціально-економічних показників

різних країн.

5. Застосування методів аналізу динамічних рядів для

прогнозування і інтерполяції.

В залежності від способу вираження рівнів ряду (у вигляді

абсолютних, відносних і середніх величин)

ряди динаміки

поділяють відповідно на ряди абсолютних, відносних і середніх

величин. Ряди динаміки відносних і середніх величин будуються на

основі рядів динаміки абсолютних величин.

Прикладом ряду динаміки абсолютних величин можуть бути

статистичні дані про виробництво сталі, чавуна, нафти, продукції

сільського господарства тощо за певну кількість років. Динамічний

ряд відносних величин - це

ряд, що показує, наприклад, питому вагу

міського населення в загальній кількості населення за ряд років,

зміну структури промислової продукції, зміну виробництва

продукції на душу населення. Прикладом рядів динаміки середніх

величин є дані про середню врожайність сільськогосподарських

культур, середнє виробництво продукції. Ряди динаміки відносних і

середніх величин використовуються в статистиці для

характеристики якісних змін в економіці.

Ряди динаміки в залежності від того як відображають рівні ряду

стан явища поділяються на моментні та інтервальні. Моментний

ряд відображає стан явища на конкретну дату (рік, квартал, місяць).

Інтервальний ряд відображає стан явища за певні періоди або

проміжки часу. Інтервал моментного ряду - це проміжок часу між

датами, на які наведена інформація. Прикладом інтервального ряду

можуть бути дані про валовий збір зернових культур за 5-ти річний

період (його рівні відносяться до річних інтервалів часу).

Прикладом моментного ряду може бути ряд динаміки, що

характеризує, наприклад, стан колгоспів в області на кінець року

або дати перепису населення; чисельність працівників

на кінець

року; вартість основних виробничих фондів станом на кінець або на

початок року.

Ряди динаміки повинні відповідати таким вимогам:

1. Рівні рядів повинні бути співставлені у часі, за територіями і