Ковалев И.В., Волкова Г.В. Автоматизированные системы конспект лекций

Подождите немного. Документ загружается.

Из приведенной матрицы планирования следует, что при замене столбца

столбцом

(введение третьего переменного фактора) число опытов остается таким

же, как и для двух переменных факторов (фактор

– фиктивный), т. е. равно

четырем. Полученные таким способом значения коэффициентов

, aa

будут

смешанными оценками, включающими эффект истинною действия фактора



эффекта парных взаимодействий

123313222311

;;:



 aaaa

В отличие от матрицы планирования полного факторного эксперимента,

называемой полной репликой, матрица планирования, составленная заменой

столбцов взаимодействий на новые переменные факторы, называется дробной

репликой (в рассмотренном случае – полурепликой)

Использование дробных реплик при планировании активного эксперимента

позволяет резко сократить число опытов, которые необходимо провести для

определения коэффициентов математической модели технологического процесса.

Так, в частности, при анализе влияния 15 технологических факторов число опытов

можно уменьшить с 32 768 до 16. По этой причине в адаптивных системах

управления технологическими процессами алгоритмы «обучения» системы

управления строятся на базе дробного факторного анализа. Справедливость

гипотезы незначимости взаимодействия технологических факторов для

автоматизируемого технологического процесса проверяют на этапе проектирования,

а систему смешения линейных эффектов с нелинейными, необходимую при замене

полного факторного эксперимента дробным, выбирают и проверяют еще на этапе

исследования технологического процесса.

Математическую модель технологического процесса, полученную методом

активного планирования эксперимента, проверяют на адекватность и значимость ее

коэффициентов

iji

aa ,

Дисперсию адекватности модели для числа степеней свободы определяют по

формуле







jад

fyS

Здесь

 

1 kNf

, где

– число опытов,

– число варьируемых факторов.

По найденной дисперсии адекватности

ад

и известной дисперсии

воспроизводимости опытов

по критерию Фишера определяют адекватность

модели технологического процесса

yад

SSF 

Значимость коэффициентов математической модели проверяют аналогично

значимости коэффициентов регрессионных полиномов.

Рассмотрим примеры использования метода активного эксперимента для

решения конкретной задачи, построения математической модели процесса

ультразвуковой приварки проволочных выводов к контактным площадкам

кремниевой интегральной схемы. Положим, что прочность сварки

нелинейно

зависит от давления, прижимающего проволоку к контактной площадке

, и от

мощности ультразвуковых колебаний



и соответствует зависимости

2112

222

11122110

xxaxaxaxaxaay 

, (3.14)

где

– нормированные переменные,

   

4,1/4;5,3/5,2





xPx

Чтобы определить коэффициенты регрессии

2211210

,,,, aaaaa

, в уравнении

(3.14) используем схему рототабельного планирования второго порядка для двух

факторов с равномерным дублированием опытов (например, десять опытов в

каждой серии опытов). В соответствии с правилами построения рототабельных

планов второго порядка для двух переменных надо иметь 13 серий экспериментов (

13N

). Матрица планирования и результаты усреднения по дублированным

опытам представлены в таблице 3.4. Здесь же приведены данные по усилиям отрыва

проволоки от контактной площадки

, имеющие довольно хорошее совпадение с

опытными данными

для случаев

5

Таблица 3.4 – Матрица планирования при дублировании опытов

Номер

опыта

1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 5,935 4,843

2 +1 +1 -1 +1 +1 -1 9,945 9,295

3 +1 -1 +1 +1 +1 -1 11,96 12,16

4 +1 +1 +1 +1 +1 +1 5,225 5,869

5 +1 -2 0 +2 0 0 10,58 11,12

6 +1 +2 0 +2 0 0 9,905 9,816

7 +1 0 -2 0 +2 0 3,105 4,242

8 +1 0 +2 0 +2 0 4,685 6,994

9 +1 0 0 0 0 0 10,80 10,83

10 +1 0 0 0 0 0 10,86 10,83

11 +1 0 0 0 0 0 10,80 10,83

12 +1 0 0 0 0 0 10,08 10,83

13 +1 0 0 0 0 0 11,61 10,83

Примечание. Коэффициенты регрессии следующие: для

;83,10

x

для

;181,0

x

для

;973,0

x

для

;181,0

x

для

;606,2

x

для

;686,2

xx

С учетом рассчитанных коэффициентов регрессии имеем следующую модель

технологического процесса приварки выводов,

121

686,2605,2181,0937,0460,083,10 xxxxxxy 

Методы группового учета аргументов (МГУА). Необходимость оптимизации

и управления технологическими процессами служит постоянным стимулом раз-

вития различных методов их математического анализа, что в настоящее время

особенно актуально, так как технология производства постоянно усложняется и

появляются новые, сложные и мало изученные технологические процессы,

которыми, тем не менее, надо управлять. Кроме того, все увеличивается число

технологических процессов, нормально функционирующих только в довольно

ограниченных областях технологических параметров, выход за которые может

привести не только к серьезному снижению производительности, но и вообще к

выходу объекта управления в аварийные состояния с непредсказуемыми

последствиями.

Современное развитие средств вычислительной техники, доступность их

практически каждому исследователю в качестве пользователя как персональных, так

и суперЭВМ определяют дальнейшее развитие математических методов анализа

технологических объектов и процессов: оно идет по пути разработки и реализации

универсальных вычислительных методов, алгоритмов и программ, в которых ЭВМ

отводится центральное место в качестве интеллектуального субъекта [1, 16, 17, 32,

33].

Метод и алгоритмы МГУА предназначены для машинной идентификации,

моделирования и прогнозирования сложных процессов и систем, не требующих от

пользователя квалифицированных знаний об исследуемом объекте. МГУА требует

от пользователя минимума знаний: задания данных выборки наблюдений,

предварительного определения класса моделей, среди которых следует искать

желаемую модель, критерия решения задачи идентификации (соответствие

построенной ЭВМ математической модели реальному объекту). Сама задача

идентификации (определение оптимальной структуры математической модели,

расчет ее параметров) решается автоматически [32].

Алгоритмы МГУА работают и при наличии «шума» в системе. В зависимости

от класса моделей это могут быть как «шумы» измерений на выходе объекта, так и

входные «шумы». В качестве таковых обычно рассматривается так называемый

«белый шум». Однако, как указывается в работах [15, 33], сами алгоритмы МГУА

успешно применяются и при сильно зашумленных факторах и коррелированных

шумах.

МГУА включает в себя следующие алгоритмы: комбинаторные, селекционно-

комбинаторные, итерационные, моделирования многомерных объектов (выходы

заданы), объектный системный анализ (входы и выходы не заданы).

Структурно-параметрическая идентификация представляет собой совокупность

процедур, позволяющих выбрать из множества структур моделей некоторую

функцию

и рассчитать такие параметры функции, чтобы полученное решение

обеспечивало минимум некоторого критерия.

Принцип работы МГУА можно показать на следующем примере [15]. Пусть

задан некоторый набор данных, о которых известно, что они содержат как входные,

так и выходные переменные. Известно, что входные переменные (переменные

состояния) –

1021

,...,, xxx

, а выходные переменные

421

,...,, yyy

. В принципе, в

данном случае мы можем получить четыре полных полинома (линейных или

нелинейных) и четыре уравнения:

 

.,,;...,,

;,,;...,,

32110144

42110133

43110122

43210111

yyyxxfy



Применяя интерационный алгоритм МГУА, мы получим две системы:

 





























36544

45433

13222

22111

yxxfy

. (3.15)

Из (3.15) следует, что для дальнейшего изучения объекта необходимо

организовать четыре плана экспериментов:

43652132

43542121

,,,,,,,

yyxxyyxx

Заметим, что длина выборки измерений для полученной системы

алгебраических уравнений равна числу уравнений в системе (алгебраический

минимум), однако для качественного решения задачи структурно-параметрической

идентификации желательно брать число точек, в пять-десять раз большее

алгебраического минимума.

Задачу структурно-параметрической идентификации методами МГУА решают

в следующей последовательности [4, 32, 35]:

 получение экспериментальных данных;

 выбор на основе анализа экспериментальных данных класса базисных

функций и соответствующего преобразования данных;

 генерация различных моделей в выбранном классе функций;

 оценка параметров структур и формирование множества функций, из

которого предстоит выбрать в последующем наилучшую модель;

 выбор лучшей модели

в соответствии с критерием оптимальности;

 проверка адекватности полученной оптимальной модели.

Целями моделирования в МГУА являются: построение моделей объекта

исследования, отражающих закономерности вход-выход («физическая» или

несмещенная модель); построение модели для наилучшей фильтрации

(сглаживания) зашумленных выходных переменных («фильтрующая» модель);

получение наилучшей модели для прогнозирования (экстраполяции) выходных

переменных («прогнозирующая» модель).

В работе [32] приведены следующие классы моделей: регрессионные модели

статических объектов управления; модели временных рядов или процессов; модели

динамических систем в виде линейно-разностных уравнений.

Регрессионные модели статических моделей имеют вид, аналогичный

уравнению

   

iiiii

xBxfy





где

– индекс точки наблюдения;

 



– известная из эксперимента М-мерная

вектор-функция от

входных переменных;

– неизвестная

MMy 

матрица

параметров;



– независимый некоррелируемый случайный вектор с нулевым

средним и конечной неизвестной дисперсией.

 



можно представить полиномами различных степеней вида

 







xbxb





, (3.16)

где



могут принимать только целые значения

ST,...,1,0

Полиномы вида (3.16) широко используют в регрессионном анализе и, в

частности, в системах математического планирования эксперимента.

Из моделей временных рядов в МГУА достаточно широко используется также

известная тригонометрическая модель тренда процесса вида

 

 

 



jijjjjj

tCtbtatb

1 1

sincossin



При моделировании динамических систем используют линейно-разностные

уравнения вида

 

 





LY LX

kvkvkk

xByAy

1 1







где

LXLY ,

– число учитываемых прошлых значений (запаздываний для

выходных и входных переменных);

LXLY

BBAA ,...,;,...,

– матрицы неизвестных

параметров;



имеет смысл входного процесса типа «белого шума».

Конкретные структуры математических моделей в МГУА формируют двумя

способами: экстремальную задачу выбора оптимальной модели можно решать либо

перебором конечного числа различных структур заданного класса, либо

итерационным наращиванием сложности структур с использованием селекционных

или релексецонных методов.

В МГУА предусмотрена возможность использования целого комплекса

критериев, таких как критерии регулярности, непротиворечивости, баланса

прогноза, баланса переменных, интегральный критерий и др.

Основными системными критериями являются критерии регулярности (

ARS

) и

(

CBS

) непротиворечивости вычисленные по принципу среднего:





CBMYCBSARMYARS

/1;/1

где

– значения соответствующих критериев для l-го уравнения

системы.

Критерии МГУА формируют разделением выборки (

) на две части (

 

YYYXXX  ;/

;

 

0;,,,;





BADBAWBAGYXXX





;

Критерий регулярности

ARS

ABB





Критерий непротиворечивости

CBS

ˆˆ

BWAB





Методы МГУА достаточно широко применяют для построения математических

моделей различных процессов и объектов. Ниже приведен пример использования

МГУА для построения математической модели прогноза хода технологического

процесса в алюминиевом электролизере [3].

Основным нарушением хода технологического процесса электролиза является

анодный эффект (искровой разряд на границе между электролитом и поверхностью

погруженного в него анода). При возникновении анодного эффекта снижаются

производительность и выход металла, увеличивается расход энергетических и мате-

риальных ресурсов, ухудшаются санитарно-гигиенические условия.

Чтобы предсказать наступление анодного эффекта, надо определить

разделяющую функцию между нормальным ходом технологического процесса и его

нарушением. Предварительные исследования показали, что по мере приближения к

анодному эффекту в расплаве нарастают низкочастотные колебания электрического

тока. Модель процесса искали в виде соотношения (3.16), а в качестве критерия

использовали критерий

, определяемый через рассогласование наблюдаемых

и модельных

значений выхода

   

YYYYCR

ˆˆ



Итерационная процедура построения модели заканчивается, как только

значения критерия

для лучших моделей двух последовательных итераций

совпадают. Полученная разделяющая функция имеет вид

 

3,671,469,33** xxxxxxxR 

(3.17)

при значении критерия

34,0CR

В формуле (3.17)

– нормированные значения

 

xjjjtjt

xxx





где

– среднее;



– дисперсия.

В свою очередь,

 

10lg





jyyj

fSx

где

– оценка плотности спектра мощности.

В используемых выше формулах

– порядковый номер низкочастотных

колебаний (гармоник),

– время, в течение которого в эксперименте после

проведения измерений наступал анодный эффект.

Полученная формула позволяет в подавляющем большинстве случаев

предсказывать наступление анодного эффекта более чем за минуту до его

наступления. Этого времени вполне достаточно, чтобы принять необходимые меры

для предотвращения нарушения рабочего режима электролизера.

Тема 3.3 Методы оценки и оптимизации состояния объекта управления.

Метод наименьших квадратов. Метод максимального правдоподобия. Метод

байесовых оценок и метод ранжирования. Методы оптимизации состояния

объекта управления. Методы вариационного исчисления. Методы, основанные

на принципе максимума. Метод динамического программирования. Градиентные

методы. Использование GERT-моделирования.

Методы оценки и оптимизации состояния объекта управления.

Методы оценки состояния объекта управления. Одной из основных задач, решаемых

системой управления, является получение оценки состояния объекта управления. В

алгоритме управления эту оценку может вырабатывать отдельный блок (в ряде

случаев блок оценки состояния объекта объединяется с блоком выработки

управляющих воздействий). Для оценки состояния управляемого объекта

используют методы наименьших квадратов, максимального правдоподобия,

байесовых оценок и ранжирования.

Метод наименьших квадратов заключается в таком определении оценки

параметров состояния объекта (функция

), чтобы они минимизировали

квадратичное отклонение

измеренных значений

от прогнозируемых значений

 

aaaxf ,...,,,

, т.е.

 

 







knkk

aaaxfyS

min,...,,,



где

aaa ,...,,

– оцениваемые параметры состояния объекта;



– веса

измерений, обратно пропорциональные дисперсиям (в качестве веса измерения



может быть использовано число измерений

в точке

Отыскание значений параметров состояния объекта

aaa ,...,,

сводится к

решению систем уравнений, которые имеют вид

0/ 

Преимущество метода наименьших квадратов заключается в том, что он не

требует каких-либо дополнительных сведений о статистических свойствах

случайных переменных (за исключением конечности величин их дисперсий). Это

позволяет относительно широко использовать этот метод для построения

алгоритмов блока оценки состояний объекта в адаптивных АСУТП.

Метод наименьших квадратов дает возможность получить несмещенные и

состоятельные оценки параметров

. Если прогнозируемое состояние объекта

описывается линейной зависимостью, то оценки, полученные методом наименьших

квадратов, являются также и эффективными [29].

Метод максимального правдоподобия – один из основных методов теории

точечных оценок. С его помощью можно получить такую оценку параметра или

переменной, которая максимизирует функцию правдоподобия

       

xxxxxxL



,...,,,...,,

2121



, (3.18)

где

– случайная величина с подлежащей определению плотностью

вероятности

 



Из выражения (3.18) следует, что функцией правдоподобия служит плотность

распределения вероятностей, рассматриваемая как функция неизвестного параметра.

По методу максимального правдоподобия в качестве оценки каждого параметра



выбирается такая функция

 

xxxy ,...,,

, которая придает возможно большее

значение величине

 

yyyxxxL ,...,,;,...,,

2121

для всех выборок

 

xxx ,...,,

Чтобы получить совокупность

наиболее правдоподобных оценок

     

nmnn

xxxyxxxyxxxy ,...,,,...,,...,,,,...,,

21212211

, решают систему

уравнений

максимального правдоподобия

 

mkyyyxxxL

,...,2,1,0,...,,;,...,,ln

2121





Этот метод требует более сложных вычислений, чем метод наименьших

квадратов, однако полученные оценки могут оказаться предпочтительнее (особенно

в случаях малых выборок). Метод применим к многомерным совокупностям, при

этом получаются состоятельные, асимптоматически не смещенные и

асимптоматически эффективные оценки. Метод максимального правдоподобия

широко применяют для оценки состояния статических и динамических объектов

при наличии шума [5, 6, 28].

Метод байесовых оценок основан на применении формулы Байеса

 





yxpxp

yxp

. (3.19)

Из этой формулы следует, что вероятность состояния объекта после испытаний

равна произведению вероятности состояния до испытания на соответствующую ей

условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на

полную вероятность этого события. Формула (3.19) позволяет при известном

состоянии объекта до испытаний

и после испытаний

прогнозировать

состояние объекта [5]. Качество управления объектом при этом можно оценить

определением математического ожидания условной вероятности

 

yxE /

. В

некоторых случаях в качестве оценки вероятности

 

yxp /

могут использоваться

мода, медиана и т. п.

Байесовы оценки наиболее широко применяют в системах управления

дискретными технологическими процессами (например, управление дискретными

технологическими процессами по оценке выхода годных изделий, точности

изготовления механических деталей и т. п.), хотя их можно использовать и в

управлении непрерывными технологическими процессами. Особенно часто

формулу Байеса применяют для оценок состояния статистических и динамических

объектов, имеющих большие шумы, что позволяет получить весьма важные

результаты, в частности, уравнения фильтра Винера – Калмана и фильтра Калмана

[5, 8, 28].

Метод ранжирования используют для оценки состояния объектов управления в

том случае, когда необходимо контролировать параметры, ранее измерявшиеся

качественно. Им приписывают некоторые количественные оценки, т. е. вводят

ранжирование параметров [30]. Допускаемая при этом производительность выбора

количественных оценок затрудняет управление объектом в адаптивных системах.

Чтобы унифицировать процесс ранжирования различных качественных

параметров, можно использовать принцип нормированного ранжирования по

какому-либо априорно принятому закону.

На примере одномерной задачи ранжирования проиллюстрируем принцип

введения априорного нормированного ранжирования.

Распределим все известные качественные оценки состояния объекта управле-

ния по уровням таким образом, чтобы более значимые оценки находились на

верхних уровнях, а менее значимые – на нижних. В итоге получим

уровней

качественных оценок. Присвоим каждому уровню качественной оценки параметра

объекта порядковый номер

(для верхнего уровня качества

1n

). Теперь найдем

такой натуральный ряд, в котором независимо от числа уровней качественной

оценки параметра сумма членов ряда в любом случае равна единице, т. е. введем

нормировку. Натуральный ряд, соответствующий данным условиям, существует

(предложен Л. В. Добролюбовым) и определяется выражением

 











, (3.20)

где

1

Нетрудно убедиться, что для любых

всегда

1

. В соответствии с со-

отношением (3.20) вес каждого качественного уровня находят по формуле

 

,...,2,1,

2 







Если при ранжировании несколько значений качественных параметров k

отнесены к одному и тому же уровню, то вес каждого качественного значения

определяют по формуле

 

knN







Принцип нормированного ранжирования относительно легко распространяется

и на многомерные случаи (например, сборочные операции, при которых качество

сборки определяется качеством изделий, поступающих на сборку).

Методы оптимизации состояния объекта управления.

Оптимизация состояния объекта управления может быть проведена различ-

ными методами: вариационного исчисления, основанными на принципе максимума,

динамического программирования, градиентными, GERT-моделирование и др.

Методы вариационного исчисления применяют в тех случаях, когда задачи

оптимального управления математически сводятся к определению неизвестных

функций

 

, обеспечивающих экстремум определенных интегралов вида (3.21)

           

 

NndxxxyxyxyxyxyxyFI

,...,2,1,,,...,,;,...,,

121





Как известно, вариация



функции

 

переменного

есть функция от х,

определяемая при каждом значении

как разность новой функции

 



и функции

 

   

xyxy 



. Вариация



, вызывая изменение функциональных связей

между

, приводит к изменению функции

     

 

xxyxyxyF

;,...,,

. При-

ращение

F

, соответствующее вариациям



,...,,

, определяется так:

   

xyyyFxyyyyyyFF

nnn

;,...,,;,...;;

212211





Если функции

 



дифференцируемые, то вариация производной

 

есть

     

xyxy

'''





Необходимым, но недостаточным условием экстремума функционала (3.20)

является условие









































ydx

FdxI



для произвольно малой вариации



Основная задача оптимальных систем, решаемая методами вариационного

исчисления, состоит в нахождении такой функции управления, которая

минимизировала бы функционал (3.21) при следующих условиях: закрепленных

граничных точках, подвижных граничных точках и минимума отклонения выходной

переменной от заданного значения [5]. Вариационные задачи при перечисленных

условиях в большинстве случаев решают численными методами решения

дифференциальных уравнений. Тем не менее, ряд практически важных результатов

можно получить и аналитически.

Задача нахождения минимума функционала при закрепленных конечных

точках

 





dttyyFI

(3.22)

интерпретируется как нахождение оптимальной траектории движения объекта,

обеспечивающей минимум отклонения скорости

от заданной.

Экстремум функционала

находят из решения дифференциального уравнения,

соответствующего обращению в нуль вариации функционала,

 

0///

 yFdtdyE

. (3.23)

Уравнение (3.23), определяющее оптимальную траекторию

 

, является

дифференциальным уравнением Эйлера–Лагранжа и может быть в ряде случаев

решено аналитически.

Задача нахождения минимума функционала при подвижных конечных точках

(одна или обе точки перемещаются) обязательно имеет решение в случаях, если

функционал (3.23) минимизируется при неподвижных конечных точках. Класс

функций, удовлетворяющих минимуму функционала, расширяется, так как

положение конечных точек не фиксировано [5].

Задача нахождения минимума функционала при условии минимума отклонения

выходной переменной от заданного значения сводится к решению следующего

уравнения:

 

0//

''''''



xxxyyxy

gFdxdggFgF

, (3.24)

где

'''

xyy

ggF

– частные производные

xgyF  /,/

yg  /

Задачу решают для объектов управления, которые описываются функцией

   

xygty ,



при начальных условиях

 

yty 