Коваленко Л.Б. Вища математика для менеджерів
Подождите немного. Документ загружается.
261
Геометричний зміст доведеного наступний: площа
криволінійної трапеції, яка обмежена графіком функції
дорівнює площі прямокутника з основою довжини , і
висотою довжини
Í
(рис. 5.5).
Тотожність (5.41) можна переписати і як
b
+
Í
,
.
Звідси теорему про середнє значення можна
сформулювати наступним чином:
Визначений інтеграл від неперервної функції дорівнює
добутку значення цієї функції в деякій проміжній точці
інтервалу інтегрування на довжину інтервалу.
5.11. ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛУ.
ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦЯ
Розглянемо визначений інтеграл
b
+
, в якому
нижня границя стала, а верхня границя змінна. Зрозуміло, що зі
зміною верхньої границі буде змінюватися і значення інтегралу,
тобто інтеграл є функцією верхньої границі:
Þ
"
"
<
+
. (5.42)
Якщо
"
0, то Þ
чисельно дорівнює площі
криволінійної трапеції pß
(рис. 5.6). Значення площі буде
змінюватися в залежності від
зміни .
Знайдемо похідну
визначного інтегралу (5.42) по
верхній границі. Для цього розглянемо теорему.
x
y
a
x
x+
∆x
ξ
Φ( )
x
∆Φ
y=f x
( )
f
(ξ)
f x
( )
f x+ x
( )∆
Рис. 5.6.
A
X
262
Теорема 5.14. Якщо
неперервна функція і Þ
"
"
<
+
, то справедливо наступне
Þ
.
Доведення: Нехай аргумент набуває приріст ∆, звідси
(за формулою (5.39)) маємо
Þ
∆
"
"
<∆<
+
"
"
<
+
"
"
<∆<
<
.
Обчислимо приріст функції:
∆ÞÞ
∆
Þ
"
"
<
+
"
"
<∆<
<
"
"
<
+
"
"
<∆<
<
.
Для отриманого інтегралу застосуємо теорему про середнє
значення інтегралу (теорему 5.13):
∆Þ
Í
∆
Í
·∆,
де fÍf ∆.
Знайдемо відношення приросту функція до приросту
аргументу:
ƈ
∆<
Ú
á
·∆<
∆<
Í
.
За визначенням похідної маємо
Þ
lim
∆<Ït
∆Þ
∆
lim
∆<Ït
Í
Зрозуміло, що при ∆Ï0, ÍÏ, тому
lim
∆<Ït
Í
lim
áÏ<
Í
.
За умовою теореми функція
неперервна, отже
остаточно маємо Þ
, що і треба було довести.
263
Теорема 5.15. Значення визначеного інтегралу дорівнює
різниці значень будь-якої первісної від підінтегральної функції,
обчисленої при і ,, тобто границях інтегрування:
b
+
,
. (5.43)
Формула (5.43) називається формулою Ньютона-Лейбниця.
Доведення: Нехай
- деяка первісна від функції
.
За теоремою 5.14 функція
"
"
<
+
також є первісною від
функції
. Але дві первісні від однієї функції відрізняються
на сталу величину
(теорема 5.1). Тому можемо записати
"
"
<
+
(5.44)
Спробуємо визначити значення
, для цього
скористуємося властивістю визначного інтегралу, а саме
+
+
0.
Звідси
0, тобто
.
Отже,
"
"
<
+
.
Підставимо , і повернемося до змінної , остаточно маємо
b
+
,
,
що і треба було довести.
Різницю функцій часто записують як
,
%
,
G
.
264
З
урахуванняv останнього позначення, перепишемо формулу
Ньютона-Лейбниця у вигляді, яким і будемо користатися:
b
+
%
,
G
,
. (5.45)
Формула Ньютона-Лейбниця дає нам основний спосіб
обчислення визначених інтегралів не виконуючи додавання, а
лише за допомогою первісною, тобто за допомогою
невизначеного інтегрування.
Приклад 5.33. Обчислити інтеграл
0<
W
F4<
?
F9<4
<
?
4
.
Розв’язання: Скористаємося формулою Ньютона-
Лейбниця і основними властивостями визначеного інтегралу
0<
W
F4<
?
F9<4
<
?
4
0
4
4
4
9
@<
<
4
4
@<
<
?
4
0
<
C
4
%
3
1
G
4<
%
3
1
G
9
â
ã
%
3
1
G
4
<
%
3
1
G
;0
0
5
:
4
9
3
9
1
4
5
4
23
9
3.
Приклад 5.34. Обчислити інтеграл
@<
<
C
<
.
Розв’язання: Для обчислення визначеного інтегралу,
згадаємо правило знаходження первісної від раціонального
дробу
@<
<
C
<
P
Q
Q
Q
Q
Q
R
<
C
<
n
<
o<
<
?
1p
1
1p
p
G
t
0p, p1
0
1p
S
T
T
T
T
T
U
@<
<
<@<
<
?
265
|
|
%
2
1
G
|
1
|
%
2
1
G
21
5
2
4
2
5
2
4
5
7
0
.
Приклад 5.35. Обчислити інтеграл
@<
<
?
<
4
.
Розв’язання:
@<
<
?
<
4
@<
<
?
<
F
@<
<
?
F
4
4
%
<F
<
%%
3
2
G
%
<
<
%%
3
2
G
4
0
5
0
.
5.12. ЗАМІНА ЗМІННОЇ У ВИЗНАЧЕНОМУ ІНТЕГРАЛІ
Як і при знаходженні первісної при невизначеному
інтегруванні, одним з найпоширеніших методів є метод заміни
змінної. Але заміна змінної в визначеному інтегралі потребує
більшої уваги.
Нагадаємо, що за формулою (5.7) у невизначеному
інтегралі має місце тотожність
A
B
G
|
<IJ
.
Сформулюємо правило заміни зміни у визначеному інтегралі за
допомогою наступної теореми.
Теорема 5.16. Якщо в інтервалі
)
,
*
функції
,
і
A
B
неперервні і
,
, , то
b
+
A
B
. (5.46)
Доведення: Будемо вважати, що невизначений інтеграл
ліворуч відомий і дорівнює
, звідси
b
+
,
.
266
Згідно
заміні змінної у невизначеному інтегралі, інтеграл
праворуч дорівнює
A
B
, а тому
A
B
"
A
B
A
B
,
.
Порівняємо отримані результати, маємо формулу (5.46).
Зауваження 1. Перетворення підінтегрального виразу
при заміні змінної у визначеному інтегралі відбувається саме
так, як і у невизначеному. Нові ж границі інтегрування і є
коренями рівнянь:
,
,.
Зауваження 2. При замінні змінної у визначеному
інтегралі повертатися до попередньої змінної не потрібно.
Первісні обчислюються при нових границях інтегрування.
Приклад 5.36. Обчислити інтеграл
<
1
0
<
t
.
Розв’язання:
<
1
0
<
t
X
<
1
<
н
t
10
в
1
Y
0
æF
t
G
Ä
5
%
1
0
5
1
5
.
Приклад 5.37. Обчислити інтеграл
@<
√
<
C
t
F
.
Розв’язання:
@<
√
<
C
t
F
P
Q
Q
R
2"
4
3"
"
н: 22"
4
; "
4
0; "
н
0
в: 02"
4
; "
4
2; "
в
√
2
C
S
T
T
U
4K
?
@K
K
√
C
t
267
3
-"1
K
."
√
C
t
3
G
-
K
?
"
|
1"
|
.
%
√
2
C
0
4
√
4
C
3
√
2
C
3
ç
1
√
2
C
ç
.
Приклад 5.38. Обчислити інтеграл
=>
µ
@<
<
?
?
è
è
.
Розв’язання: При обчисленні цього визначеного
інтегралу скористаємося формулами (5.38), (5.43), (5.46):
=>
µ
@<
<
?
?
è
è
P
Q
Q
Q
Q
R
<
@<
<
?
н
´
в
é
S
T
T
T
T
U
!
è
?
é
!
é
è
?
%
´
´ 2
⁄
G
101.
Приклад 5.39. Обчислити інтеграл
@<
4DE=<
è
?
t
.
Розв’язання: При обчисленні цього визначеного
інтегралу, скористаємося універсальною тригонометричною
підстановкою (5.17):
@<
4DE=<
è
?
t
P
Q
Q
Q
Q
Q
Q
R
"#
<
F
?
?
@
?
н
"#00
в
"#
é
;
1
S
T
T
T
T
T
T
U
·¸
¹¸
?
4
Z¸
?
¹¸
?
t
@
?
F0
t
G
√
0
%
F
√
0
√
0
%
«
1
0
√
0
%
F
√
0
√
0
%
√
0
%
F
√
0
√
0
%
268
√
0
%
F
√
0
√
0
%
.
Приклад 5.40. Обчислити інтеграл
√25
0
t
.
Розв’язання: При обчисленні цього визначеного
інтегралу, для позбавлення від ірраціональності, скористаємося
підстановкою (5.27) та формулами зниження степені
тригонометричних функцій (5.24):
√25
0
t
P
Q
Q
Q
Q
R
5 !"
5 ""
√25
5 "
н: 05 !"; !"0; "
н
0
в: 55 !"; !"1; "
в
é
S
T
T
T
T
U
25 !
"·5 "·5 ""
è
?
t
50
;
!
2""
è
?
t
50
7
1 4"
"
è
?
t
G
50
7
-"
;
!4".
%
´
2
ë
0
50
5
´.
5.13. ІНТЕГРУВАННЯ ЧАСТИНАМИ ВИЗНАЧЕНИХ
ІНТЕГРАЛІВ
Теорема 5.17. Нехай і ( - диференційовані функції
незалежної змінної на відрізку
)
,,
*
, тоді
·(
b
+
(
%
,
G
(
b
+
. (5.47)
Формула (5.47) має назву формули інтегрування частинами
визначених інтегралів.
269
Доведення: Нехай і ( - диференційовані функції
незалежної змінної . Тоді справедливо наступне
·(
·(·(
Проінтегруємо обидві частини тотожності в границях від до ,,
маємо
·(
b
+
·(
b
+
·(
b
+
(5.48)
За визначенням первісної
·(
·(, тому
·(
b
+
·(
%
,
G
. Тотожність (5.48) можна переписати у
вигляді
(
%
,
G
(·
b
+
·(
b
+
або
·(
b
+
(
%
,
G
(
b
+
,
що і треба було довести.
Зауваження: У формулі (5.47) букви і ( означають
представлення підінтегрального виразу
у вигляді
·(
. Не треба плутати це представлення з заміною
змінної, тому нових змінних і границь інтегрування при
інтегруванні частинами не виникає.
Приклад 5.41. Обчислити інтеграл
<@<
=>
?
<
è
C
è
W
.
Розв’язання: За формулою (5.47) маємо
<@<
=>
?
<
è
C
è
W
¤
(
@<
=>
?
<
("#
¥·"#
´ 3
⁄
´ 4
⁄
G
270
"#
è
C
è
W
·"#
´ 3
⁄
´ 4
⁄
G
|
!
|
´ 3
⁄
´ 4
⁄
G
é
4
"#
é
4
é
;
"#
é
;
√
4
√
é
;
é
4
√
4
4
.
Приклад 5.42. Обчислити інтеграл
4
æ
.
Розв’язання: Скористаємося формулою (5.47).
Зауважимо, що інтегрувати частинами необхідно буде тричі:
4
æ
¤
4
3
@<
<
( (
¥·
4
%
1
G
3
·
·
æ
@<
<
¤
2
@<
<
( (
¥
·
4
1·
4
13-·
%
1
G
2
··
æ
@<
<
.
¤
@<
<
( (
¥3·
3·
1
6-·
%
1
G
·
æ
@<
<
.36·6·1
6
%
1
G
266662.
5.14. НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ
5.14.1. Невласні інтеграли з нескінченими границями
Визначення 5.5. Нехай функція
визначена на
півнескінченому інтервалі
)
,
G
∞
G
та інтегровна на будь-якому
відрізку
)
,ì
*
. Якщо існує границя lim
íÏÔ
í
+
то функція
називається інтегровну невласно на проміжку
)
,
G
∞
G
, а