Коваленко Л.Б. Вища математика для менеджерів
Подождите немного. Документ загружается.
241
;
!4
!4¤
( !4
(
;
4
¥
;
!4
-
;
4
;
4.
;
!4
7
4
4
!4.
Приклад 5.21. Знайти невизначений інтеграл
$"#
1
.
Розв’язання: За формулою (5.16) маємо
$"#
1
h
$"#
1
(
@<
<F
?
@<
<
?
F<
(
i
$"#
1
<@<
<
?
F<
$"#
1
u.
Отримали інтеграл того типу, який докладно розглянули у
п.5.4.2. Виконаємо потрібні перетворення:
u
<F
@<
<
?
F<
<F
@<
<
?
F<
<F
@<
<
?
F<
@<
<F
?
22
$"#
1
.
Остаточно маємо:
$"#
1
$"#
1
22
$"#
1
.
Приклад 5.22. Знайти невизначений інтеграл
23
.
Розв’язання: За формулою (5.16) маємо
242
23
h
23
(
@<
<4
(
<
?
i
<
?
23
<
?
@<
<4
<
?
23
u.
Отримали інтеграл u від неправильного раціонального дробу.
Необхідно виділити цілу частину. Виконаємо операцію ділення
многочленів:
G
4
«
<4
?
<F
C
W
4
4
:
;
:
;
Підставимо в інтеграл: u
¬
4
;
W
<4
®
4
;
:
;
@<
<4
<
?
;
4
;
:
7
23
.
5.7. ІНТЕГРУВАННЯ ДЕЯКИХ КЛАСІВ
ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ
5.7.1. Інтеграли типу
¯
°±²],a³°]
\]
Розглянемо інтеграл
x
!,
. Спробуємо
довести, що універсальна тригонометрична підстановка
"#
<
, ´ff´,
243
зводить
його до інтегралу від раціональної дробі. Виконаємо
необхідні перетворення:
!2 !
<
<
=>
µ
?
DE=
µ
?
DE=
?
µ
?
=>
?
µ
?
:
DE=
?
µ
?
DE=
?
µ
?
K¶
µ
?
K¶
?
µ
?
?
;
<
!
<
DE=
?
µ
?
F=>
?
µ
?
DE=
?
µ
?
=>
?
µ
?
:
DE=
?
µ
?
DE=
?
µ
?
FK¶
?
µ
?
K¶
?
µ
?
F
?
?
;
2$"#;
@
?
. (5.17)
Звідси
x
!,
2
x-
?
,
F
?
?
.
@
?
.
Тобто ми отримали інтеграл від дробово-раціональної функції
(см. Розділ 5.5). Проілюструємо це на прикладі.
Приклад 5.23. Знайти невизначений інтеграл
@<
0F;=><4DE=<
.
Розв’язання: Використовуємо формули (5.17).
@<
0F;=><4DE=<
?·¸
¹¸
?
0F
º¸
¹¸
?
4
Z¸
?
¹¸
?
2
@
00
?
F74F4
?
@
?
F;;
@
F
?
F
K¶
µ
?
F
.
Зауваження. За допомогою універсальної тригоно-
метричної підстановки можна обчислити будь-який інтеграл
розглянутого типу. Але з практичної точки зору в деяких
випадках, щоб запобігти зайвих обчислень, можна скористатися
іншими підстановками, а саме:
- в інтегралі типу
x
!
244
підстановка
!
(5.18)
зводить його до інтегралу типу
x
;
- в інтеграла типу
x
!
підстановка
!
(5.19)
зводить його до інтегралу типу
x
;
- якщо підінтегральна функція є лише функцією від
"#, тобто
x
"#
,
то підстановка
"#
$"#
@
?
(5.20)
зводить його до інтегралу від раціональної функції
x
@
?
;
- якщо підінтегральна функція типу x
!,
, але
і ! і знаходяться у парних степенях,
то заміна (5.20) приводить до
!
K¶
?
<
K¶
?
<
?
?
,
K¶
?
<
?
.
(5.21)
Цей прийом запобігає обчисленню інтегралів від
раціональних функцій, які мають кратні комплексні корені (ця
тема не входить у курс, який вивчається).
245
Приклад 5.24. Знайти невизначений інтеграл
=><@<
FDE=<
?
.
Розв’язання: Скористаємося підстановкою (5.19):
=><@<
FDE=<
?
j
!
k
@
F
?
F
FDE=<
.
Приклад 5.25. Знайти невизначений інтеграл
@<
;F4DE=
?
<0=>
?
<
.
Розв’язання: Скористаємося підстановкою (5.20) і
формулами (5.21):
@<
;F4DE=
?
<0=>
?
<
P
Q
Q
Q
Q
R
"#
!
?
?
?
@
?
S
T
T
T
T
U
·¸
¹¸
?
;F
C
¹¸
?
¢¸
?
¹¸
?
@
;;
?
F40
?
@
:
?
4
$"#3
4
$"#
3"#
.
5.7.2. Інтегралі типу
°±²
»
] a³°
²
]\]
Нехай і - цілі числа. Можливі наступні випадки:
а) або - непарне число. Нехай для визначеності
21. Звідси
246
!
~
·
!
·
!
·
· !.
Зробимо заміну
1
!
!
(5.22)
маємо
!
~
·
1
·
.
Аналогічно, якщо 21. Заміна
!
1
(5.23)
зводить інтеграл до
!
~
·
~
·
1
;
б) і - парні числа. Скористаємося формулами
зниження степені тригонометричних функцій:
!
1 2
;
1 2
.
(5.24)
Ці формули приводять інтеграл до інтегралу того ж типу, але з
меншими степенями.
Приклад 5.26. Знайти невизначений інтеграл
!
0
2.
Розв’язання: В підінтегральному виразі – непарний
степінь синуса, тому скористаємося формулами (5.22):
247
!
0
2
!
;
2· !2¤
2
1
!
2
2 !2
¥
1
12
;
-
4
4
¢
0
.
2
4
4
2
t
0
2.
Приклад 5.27. Знайти невизначений інтеграл
;
3· !
3.
Розв’язання: В підінтегральному виразі і синус, і
косинус - в парних степенях, тому скористаємося формулами
(5.24):
;
3· !
3
¼
1 6
½
·
1 6
7
12 6
6
1 6
7
12 6
6 62
6
4
6
7
1 6
6
4
6
u
Розіб’ємо отриманий інтеграл на чотири. Перші два – табличні,
в третьому – підінтегральна функція містить парний степінь
косинусу, тому скористаємося формулами (5.24); в четвертому –
непарний степінь косинусу, тому необхідно скористатися
формулами (5.23). Якщо обчислити всі інтеграли одночасно
читачеві важко, радимо розглянути кожен з них окремо. Отже
маємо
u
7
7
6
5
1 12
248
;7
1 !
6
!6
7
;7
!6
5
:
!12
;7
!6
;;
!
4
6
5
:
!12
;;
!
4
6.
5.7.3. Інтеграли типу
°±²¾] a³°¿] \],
°±²¾] °±²¿] \],
a³°¾] a³°¿] \]
Ці інтегралі бепосередньо обчислюються, якщо
підінтегральні функції переписати за формулами перетворення
добутку у суму:
!
)
!
!
*
;
! !
)
*
;
)
*
.
(5.25)
Приклад 5.28. Знайти невизначений інтеграл
!3 5 .
Розв’язання: Скористаємося першою з формул (5.25):
!3 5
A
!
35
!
35
B
!8 !2
5
8
;
2.
249
5.8. ІНТЕГРУВАННЯ ДЕЯКИХ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ
ФУНКЦІЙ
5.8.1. Інтеграли типу
¯
A
],
√
^]`
»
,
√
^]`
²
,…,
√
^]`
À
B
\]
Щоб позбутися ірраціональностей в підінтегральному
виразі, зробимо підстановку
,
, (5.26)
де - найменше спільне кратне чисел ,,…c. За допомогою
цієї підстановки підінтегральна функція перетвориться в
раціональну функцію від ,.
Приклад 5.29. Знайти невизначений інтеграл
<
C
@<
√
<
.
Розв’язання: Підінтегральний вираз містить лише корінь
квадратний від 2, тому підстановка 2
(за
формулою (5.26)) позбуває ірраціональності даний інтеграл:
<
C
@<
√
<
h
2
2
2
i
A
?
F
B
C
@
2
5
6
;
12
8
9
9
0
0
;
4
4
16
9
&
2
9
0
&
2
0
8
&
2
4
16
√
2.
Приклад 5.30. Знайти невизначений інтеграл
√
<@<
√
<
C
.
Розв’язання:Підінтегральний вираз містить квадратний
та кубічний корені. Щоб зробити підстановку, знайдемо
найменше спільне кратне чисел 2 і 3: НСК
2,3
6. Отже, за
формулою (5.26) маємо
250
√
<@<
√
<
C
h
21
5
26
0
3
0
i
C
·4
¢
@
?
3
º
@
?
u
Ми отримали неправильний раціональний дріб. Перед
інтегруванням потрібно виділити цілу частину. Цю процедуру
ми вже розглядали, тому приведемо результат.
u3
-
5
;
1
?
.
4
9
9
4
0
0
4
33$"#
4
9
&
21
9
Ä
4
0
&
21
0
Ä
√
213
√
21
Ä
3$"#
√
21
Ä
.
5.8.2. Інтеграли типу
¯
A
],
√
^
_
]
_
B
\],
¯
A
],
√
]
_
^
_
B
\],
¯-],
&
]
_
^
_
.\]
Позбутися таких квадратичних ірраціональностей ми
зможемо за допомогою тригонометричних підстановок, з
урахуванням основних тригонометричних формул. Розглянемо
кожен з цих інтегралів окремо:
а)
x
A
,√
B
. Скористаємося підстановкою
!". (5.27,a)
звідси
√
√
!
" ";
"".
(5.27,б)