Корзова Л.Н. Эконометрика
Подождите немного. Документ загружается.
11
r(τ = 3) =
2
12
1
3
12
1
2
3
2
12
1
12
1
2
12
1
3
12
1
12
1
3
1212
12
)()(
∑∑∑∑
∑∑∑
=
+
=
+
==
=
+
==
+
−−
⋅−
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
tt
yyyy
yyyy
;
r(τ = 3) =
22
955042321812064790918512
9550064736520112
),(,),(,
,,,
−⋅−⋅
⋅
−
⋅
= 0,923.
Анализ коэффициентов позволяет выдвинуть гипотезу о наличии во ВР
сильной линейной тенденции.
Структура тренда линейная и
Т
t
= a + bt +
ε
,
где b =
22
)(tt
ytyt
tt
−
⋅−⋅
=
2
866782
1044882234
−
⋅
−
,
,,
= 0,107,
а = y-b
t
= 4,104-0,107 = 3,248,
T
t
= 3,248 + 0,107t +
ε
или
Y
t
= 3,248 + 0,107t +
ε
или
Ŷ
t
= 3,248 + 0,107t.
Оценим модель тренда
t
tY
r =
yt
YtYt
σσ ⋅
⋅−⋅
=
224066718
8104482234
,,
,,
⋅
−
= 0,974.
F
расч.
= )( 2
1
2
2
−
−
n
r
r
=
2
2
97401
9740
,
,
−
⋅13 = 241,9
F
крит.
(α = 0,05;
ν
1
= 1;
ν
2
= 13) = 4,67 (см. прил. 2)
F
расч.
> F
крит.
d =
∑
∑
=
=
−
−
15
1
2
15
2
2
1
t
t
t
tt
ε
εε )(
=
1730
1070
,
,
= 0,618.
d
H
(n = 15, p = 1) = 1,08; d
B
(n = 15, p = 1) = 1,36 (см. прил. 1).
12
Полученные оценки позволяют сделать вывод, что ВР об объемах по-
требления продукта А содержит линейную тенденцию, но так как
0 < d < d
H
,
то согласно теста Дарбина-Уотсона делаем вывод о наличии автокорре-
ляции остатков ряда (
t
ε
).
Следовательно, полученную модель нельзя считать адекватной, при-
чина может быть в скрытых регрессорах.
Пример 2
Пусть имеются данные об денежных объемах продаж (Y
t
) автомобилей
марки W за 22 временных периода.
Таблица 3
t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Y
t
9,71 11,66 10,44 9,07 9,57 7,27 7,52 10,19 9,72 8,15 8,23
Окончание табл. 3
t
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Y
t
11,12 13,86 14,28 13,64 12,41 11,45 13,51 13,25 12,26 11,89 12,13
Задание: используя значения, полученные в табл. 4, обосновать выбор
структуры ВР, дать прогноз объемов продаж автомобилей на следующий
временной период.
Таблица 4
t Y
t
Y
t-1
Y
t
Y
t-1
2
1
−
t
Y
2
t
Y
Y
t
Y
t-1
t² Y
t
1
9,7100
− − −
2
11,6600
9,7100
113,2186
94,2841
135,9556
113,2186
4
11,6600
3
10,4400
11,6600
121,7304
135,9556
108,9936
121,7304
9
10,4400
4
9,0700
10,4400
94,6908
108,9936
82,2649
94,6908
16
9,0700
5
9,5700
9,0700
86,7999
82,2649
91,5849
86,7999
25
9,5700
6
7,2700
9,5700
69,5739
91,5849
52,8529
69,5739
36
7,2700
7
7,5200
7,2700
54,6704
52,8529
56,5504
54,6704
49
7,5200
8
10,1900
7,5200
76,6288
56,5504
103,8361
76,6288
64
10,1900
9
9,7200
10,1900
99,0468
103,8361
94,4784
99,0468
81
9,7200
10
8,1500
9,7200
79,2180
94,4784
66,4225
79,2180
100
8,1500
11
8,2300
8,1500
67,0745
66,4225
67,7329
67,0745
121
8,2300
12
11,1200
8,2300
91,5176
67,7329
123,6544
91,5176
144
11,1200
13
13,8600
11,1200
154,1232
123,6544
192,0996
154,1232
169
13,8600
14
14,2800
13,8600
197,9208
192,0996
203,9184
197,9208
196
14,2800
13
Продолжение табл. 4
t Y
t
Y
t-1
Y
t
Y
t-1
2
1
−
t
Y
2
t
Y
Y
t
Y
t-1
t² Y
t
15
13,6400
14,2800
194,7792
203,9184
186,0496
194,7792
225
13,6400
16
12,4100
13,6400
169,2724
186,0496
154,0081
169,2724
256
12,4100
17
11,4500
12,4100
142,0945
154,0081
131,1025
142,0945
289
11,4500
18
13,5100
11,4500
154,6895
131,1025
182,5201
154,6895
324
13,5100
19
13,2500
13,5100
179,0075
182,5201
175,5625
179,0075
361
13,2500
20
12,2600
13,2500
162,4450
175,5625
150,3076
162,4450
400
12,2600
21
11,8900
12,2600
145,7714
150,3076
141,3721
145,7714
441
11,8900
22
12,1300
11,8900
144,2257
141,3721
147,1369
144,2257
484
12,1300
∑
231,6200
229,2000
2598,4989
2595,5512
2648,4040
2598,4989
3794
231,6200
∑
/n
10,5282
10,9143
123,7380
123,5977
126,1145
123,7380
172,4545
11,0295
Окончание табл.4
t Ŷ Y-Ŷ
2
ε
t
ε
1
−
t
ε
(
t
ε
-
1
−
t
ε
)
2
1
− − − − − −
2
10,1262
1,5338
2,3526
− − −
3
11,5895
-1,1495
1,3213
1,5338
-1,1495
7,2000
4
10,6740
-1,6040
2,5727
-1,1495
-1,6040
0,2066
5
9,6459
-0,0759
0,0058
-1,6040
-0,0759
2,3349
6
10,0211
-2,7511
7,5687
-0,0759
-2,7511
7,1567
7
8,2952
-0,7752
0,6009
-2,7511
-0,7752
3,9043
8
8,4828
1,7072
2,9145
-0,7752
1,7072
6,1623
9
10,4864
-0,7664
0,5873
1,7072
-0,7664
6,1185
10
10,1337
-1,9837
3,9350
-0,7664
-1,9837
1,4818
11
8,9556
-0,7256
0,5264
-1,9837
-0,7256
1,5829
12
9,0156
2,1044
4,4285
-0,7256
2,1044
8,0087
13
11,1842
2,6758
7,1596
2,1044
2,6758
0,3264
14
13,2403
1,0397
1,0809
2,6758
1,0397
2,6768
15
13,5555
0,0845
0,0071
1,0397
0,0845
0,9123
16
13,0753
-0,6653
0,4426
0,0845
-0,6653
0,5621
17
12,1523
-0,7023
0,4932
-0,6653
-0,7023
0,0014
18
11,4319
2,0781
4,3186
-0,7023
2,0781
7,7305
19
12,9777
0,2723
0,0741
2,0781
0,2723
3,2610
20
12,7826
-0,5226
0,2731
0,2723
-0,5226
0,6319
21
12,0397
-0,1497
0,0224
-0,5226
-0,1497
0,1391
22
11,7621
0,3679
0,1354
-0,1497
0,3679
0,2680
∑
253
-0,0075
40,8209
60,6662
∑
/n
11,5000
-0,0004
Решение:
Анализ коэффициентов автокорреляции и попытка построения линейного
и различных нелинейных трендов не дали положительного результата.
Попытаемся выбрать в качестве модели модель авторегрессии первого
порядка AR(1).
14
Ŷ
t
= a+bY
t-1
или Y
t
= a+bY
t-1
+ε
t
, где
b =
2
1
2
1
11
)(
−−
−−
−
⋅−
tt
tttt
YY
YYYY
,
a =
t
Y - b
1
−
t
Y ,
по значениям, рассчитанным в табл. 4, получим а = 2,8398, b = 0,7504
Ŷ = 2,8398 + 0,7504Y
t-1
.
Оценим модель:
1−tt
YY
r =
1
11
−
⋅
⋅−⋅
−−
tt
YY
tttt
YYYY
σσ
= 0,7514.
Коэффициент
1−tt
YY
r = 0,751 достаточно высок,
F
расч.
=
)( 2
1
2
2
−
−
n
r
r
=
2
2
751401
75140
,
,
−
⋅19 = 27,227,
F
крит.
(α = 0,05;
ν
1
= 1;
ν
2
= 19) = 4,38 (см. прил. 2).
F
расч.
>F
крит.
, уравнение статистически значимо в целом. Рассчитываем
значение критерия Дарбина-Уотсона d
d =
∑
∑
=
=
−
−
22
2
2
22
3
2
1
t
t
t
tt
ε
εε )(
= 1,4862, d
H
= 1,22, d
B
= 1,42 ,
d
B
< d < 4-d
B
,
1,42 < d < 2,58,
следовательно, гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается.
По результатам расчетов
1−tt
YY
r , F
расч.
, d можно судить об адекватности
модели Y
t
= 2,8398 + 0,7504Y
t-1
+
t
ε
и, следовательно,
Ŷ
прогнозное
= Ŷ
23
= 2,8398 + 0,7504Y
22
= 2,8398 + 0,7504⋅12,13 = 11,9422
Y
t прогнозное
= 11,9422.
15
Пример 3
Имеются данные о полугодовых объемах потребления (Y
t
) электро-
энергии в районе Ж города Х.
Таблица 5
Год 2003 2004 2005 2006 2007
Полугодие (
t
)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Y
t
2,1 1,7 2,9 3,1 3,2 3,6 3,5 3,6 3,4 3,7
Задание: используя значения, полученные в табл. 6, осуществить про-
гноз потребления электроэнергии на первое полугодие 2008 г. и на весь
2008 год.
Таблица 6
t
Y
t
Y
t
Y
t+
1
Y
t
Y
t+
1
2
t
Y
2
1
+
t
Y
t²
1
2,1000
2,1000
1,7000
3,5700
4,4100
2,8900
1,0000
2
1,7000
1,7000
2,9000
4,9300
2,8900
8,4100
4,0000
3
2,9000
2,9000
3,1000
8,9900
8,4100
9,6100
9,0000
4
3,1000
3,1000
3,2000
9,9200
9,6100
10,2400
16,0000
5
3,2000
3,2000
3,6000
11,5200
10,2400
12,9600
25,0000
6
3,6000
3,6000
3,5000
12,6000
12,9600
12,2500
36,0000
7
3,5000
3,5000
3,6000
12,6000
12,2500
12,9600
49,0000
8
3,6000
3,6000
3,4000
12,2400
12,9600
11,5600
64,0000
9
3,4000
3,4000
3,7000
12,5800
11,5600
13,6900
81,0000
10
3,7000
— — — — — 100,0000
∑
27,1000
28,7000
88,9500
85,2900
94,5700
385,0000
∑
/n
38,5000
Продолжение табл.6
t
Y
t
Y
t
Y
t+
2
Y
t
Y
t+
2
2
t
Y
2
2
+
t
Y
1
2,1000
2,1000
2,9000
6,0900
4,4100
8,4100
2
1,7000
1,7000
3,1000
5,2700
2,8900
9,6100
3
2,9000
2,9000
3,2000
9,2800
8,4100
10,2400
4
3,1000
3,1000
3,6000
11,1600
9,6100
12,9600
5
3,2000
3,2000
3,5000
11,2000
10,2400
12,2500
6
3,6000
3,6000
3,6000
12,9600
12,9600
12,9600
7
3,5000
3,5000
3,4000
11,9000
12,2500
11,5600
8
3,6000
3,6000
3,7000
13,3200
12,9600
13,6900
9
3,4000
— — — — —
10
3,7000
— — — — —
∑
23,7000
27,0000
81,1800
73,7300
91,6800
∑
/n
16
Окончание табл. 6
t
Y
t
Y
t
Y
t+
3
Y
t
Y
t+
3
2
t
Y
2
3
+
t
Y
1
2,1000
2,1000
3,1000
6,5100
4,4100
9,6100
2
1,7000
1,7000
3,2000
5,4400
2,8900
10,2400
3
2,9000
2,9000
3,6000
10,4400
8,4100
12,9600
4
3,1000
3,1000
3,5000
10,8500
9,6100
12,2500
5
3,2000
3,2000
3,6000
11,5200
10,2400
12,9600
6
3,6000
3,6000
3,4000
12,2400
12,9600
11,5600
7
3,5000
3,5000
3,7000
12,9500
12,2500
13,6900
8
3,6000
— — — — —
9
3,4000
— — — — —
10
3,7000
— — — — —
∑
20,1000 24,1000 69,9500 60,7700 83,2700
∑
/n
Таблица 7
Полугодие
1 2
Год
1 − −
2 0,8000
0,4500
3 0,1250
0,1250
4 -0,0500
0,0750
5 -0,1250
0,1750
∑
0,7500
0,8250
∑
/n
0,1875
0,2063
Кор.коэф.= (0,1875+0,2063)/2
0,1969
Сккор.коэф.=
-
0,0094
0,0094
Таблица 8
t
Y
~
.
~
центр
Y
Оц. S
t
Y-S
t
=T
t
tT
t
2
t
Т
1
− − − -0,0094
2,1094
2,1094
4,4496
2
1,9000
− − 0,0094
1,6906
3,3812
2,8581
3
2,3000
2,1000
0,8000
-0,0094
2,9094
8,7282
8,4646
4
3,0000
2,6500
0,4500
0,0094
3,0906
12,3624
9,5518
5
3,1500
3,0750
0,1250
-0,0094
3,2094
16,0470
10,3002
6
3,4000
3,2750
0,1250
0,0094
3,5906
21,5436
12,8924
7
3,5500
3,4750
-0,0500
-0,0094
3,5094
24,5658
12,3159
8
3,5500
3,5500
0,0750
0,0094
3,5906
28,7248
12,8924
9
3,5000
3,5250
-0,1250
-0,0094
3,4094
30,6846
11,6240
10
3,5500
3,5250
0,1750
0,0094
3,6906
36,9060
13,6205
∑
55
30,8000
185,0530
98,9696
∑
/n
5,5
3,0800
18,5053
9,8970
17
Окончание табл.8
t
t
Т
~
ε
t
ε
1
−
t
ε
(
t
ε
-
1
−
t
ε
)
2
2
ε
1
2,2262
0,1168
− − −
0,0136
2
2,4159
0,7253
-0,7253
-0,1168
0,3703
0,5261
3
2,6056
-0,3038
0,3038
-0,7253
1,0590
0,0923
4
2,7953
-0,2953
0,2953
0,3038
0,0001
0,0872
5
2,9850
-0,2244
0,2244
0,2953
0,0050
0,0504
6
3,1747
-0,4159
0,4159
0,2244
0,0367
0,1730
7
3,3644
-0,1450
0,1450
0,4159
0,0734
0,0210
8
3,5541
-0,0365
0,0365
0,1450
0,0118
0,0013
9
3,7438
0,3344
-0,3344
0,0365
0,1376
0,1118
10
3,9335
0,2429
-0,2429
-0,3344
0,0084
0,0590
∑
30,7985
-0,0015
1,7022
1,1357
∑
/n
3,0800
-0,0002
Решение:
Графическое изображение уровней ВР позволяет выбрать для по-
строения аддитивную модель (1)
Y
t
= T
t
+ S
t
+ E
t
, t = 1,2,…n
Рассчитаем коэффициенты автокорреляции r(1), r(2), r(3), используя
значения, рассчитанные в табл. 6 и формулу (3).
r
1
= 0,756, r
2
= 0,853, r
3
= 0,786
Анализ коэффициентов позволяет сделать вывод, что данный ВР со-
держит сезонную составляющую с периодом (лагом) в один год (
τ
= 2) и
линейную тенденцию.
Построение аддитивной модели
1. Проведем выравнивание уровней ВР 2-х точечной скользящей сред-
ней, т.е. находим полусумму соседних уровней ВР со сдвигом на один мо-
мент времени, например,
1
Y
~
=
2
21
YY
+
= 1,9;
2
Y
~
=
2
32
YY
+
= 2,3;
3
Y
~
=
2
43
YY
+
= 3.
И т. д., тем самым получим выровненные уровни ряда, уже не содер-
жащие сезонной составляющей.
2. Рассчитаем значения центрированных скользящих средних для при-
ведения предыдущих значений с фактическими значениями времени, на-
пример,
1
Y
~
центр.
=
2
21
YY
+
=
2
3291 ,,
+
= 2,1;
2
Y
~
центр.
=
2
332
+
,
= 2,65 и т. д. (табл. 6).
18
3. Найдем оценки сезонной составляющей. Оценка как разность между
У
t
и центрированными скользящими средними (Оц – табл. 6).
4. Рассчитаем значения сезонной составляющей S
t
, для чего проведем
расчеты в табл. 7.
5. Расчет выровненных значений составляющей T
t
приведен в табл. 8.
Построим модель тренда
T
t
= а+bt+ε
а = 2,0365; b = 0,1897
T
t
= 2,0365 + 0,1897t + ε или
t
T
~
= 2,0365 + 0,1897t.
Оценим модель по значениям, рассчитанным в табл. 8
r = 0,851
F
расч.
= 20,920
F
крит.
(α = 0,05,
ν
1
= 1;
ν
2
= 8) = 5,32
F
расч .
> F
крит.
d = 1,499
d
H
(n = 10, p = 1) = 0,88; d
B
(n = 10, p = 1) = 1,32
d
B
< d < 4-d
B
.
Гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается. Рассчитаем про-
гнозное значение на первое полугодие 2008 г.
t
T
~
(t = 11) = 2,0365 + 0,1897⋅11 = 4,1232
S
t
(t = 11) = -0,0094
Ŷ
t прогноз.
= 4,1232-0,0094 = 4,1138
4,1138 прогноз на первое полугодие.
t
T
~
(t = 12) = 2,0365 + 0,1897⋅12 = 4,3129
S
t
(t = 12) = 0,0094
Ŷ
t прогноз.
= 4,3129 + 0,0094 = 4,3223
Прогноз на 2008 год: 4,1138 + 4,3223 = 8,4361
19
Пример 4
Известны значения (Y
t
) курса ценной бумаги В, наблюдаемые в момен-
ты времени t.
Таблица 9
t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Y
t
2,7 2,6 2,9 3,1 3,2 3,6 3,5 3,4 3,0 3,4
Задание: используя значения, полученные в табл. 10, обосновать вы-
бранную модель, осуществить прогноз, если это возможно.
Таблица 10
t
Y
t
Y
t
Y
t+
1
Y
t
Y
t+
1
2
t
Y
2
1
+
t
Y
t²
t
1
2,700
2,700
2,600
7,020
7,290
6,760
1
1
2
2,600
2,600
2,900
7,540
6,760
8,410
4
2
3
2,900
2,900
3,100
8,990
8,410
9,610
9
3
4
3,100
3,100
3,200
9,920
9,610
10,240
16
4
5
3,200
3,200
3,600
11,520
10,240
12,960
25
5
6
3,600
3,600
3,500
12,600
12,960
12,250
36
6
7
3,500
3,500
3,400
11,900
12,250
11,560
49
7
8
3,400
3,400
3,000
10,200
11,560
9,000
64
8
9
3,000
3,000
3,400
10,200
9,000
11,560
81
9
10
3,400
−− −− −− −− −−
100
10
∑
31,400
28,000
28,700
89,890
88,080
92,350
385
55
∑
/n
38,500
5,500
Продолжение табл. 10
t
Y
t
Y
t
Y
t
+
2
Y
t
Y
t
+
2
2
t
Y
2
2
+
t
Y
2
t
Y
z= t
1
2,700
2,700
2,900
7,830
7,290
8,410
7,290
1,000
2
2,600
2,600
3,100
8,060
6,760
9,610
6,760
1,414
3
2,900
2,900
3,200
9,280
8,410
10,240
8,410
1,732
4
3,100
3,100
3,600
11,160
9,610
12,960
9,610
2,000
5
3,200
3,200
3,500
11,200
10,240
12,250
10,240
2,236
6
3,600
3,600
3,400
12,240
12,960
11,560
12,960
2,449
7
3,500
3,500
3,000
10,500
12,250
9,000
12,250
2,646
8
3,400
3,400
3,400
11,560
11,560
11,560
11,560
2,828
9
3,000
−− −− −− −− −−
9,000
3,000
10
3,400
−− −− −− −− −−
11,560
3,162
∑
31,400
25,000
26,100
81,830
79,080
85,590
99,640
22,467
∑
/n
3,140
9,964
2,247
20
Продолжение табл. 10
t Yt tYt Ŷ ε εt εt-1 ε² (εt-εt-1)²
1
2,700
2,700
2,780
-0,080
− − 0,006 −
2
2,600
5,200
2,860
-0,260
-0,260
-0,080
0,068 0,032
3
2,900
8,700
2,940
-0,040
-0,040
-0,260
0,002 0,048
4
3,100
12,400
3,020
0,080
0,080
-0,040
0,006 0,014
5
3,200
16,000
3,100
0,100
0,100
0,080
0,010 0,000
6
3,600
21,600
3,180
0,420
0,420
0,100
0,176 0,102
7
3,500
24,500
3,260
0,240
0,240
0,420
0,058 0,032
8
3,400
27,200
3,340
0,060
0,060
0,240
0,004 0,032
9
3,000
27,000
3,420
-0,420
-0,420
0,060
0,176 0,230
10
3,400
34,000
3,500
-0,100
-0,100
-0,420
0,010 0,102
∑
179,300
0,000
0,516
0,596
∑
/n
17,930
Окончание табл.10
t zY
t
z² Ŷz ε ε
t
1
−
t
ε
(ε
t
-
1
−
t
ε
)²
ε²
1
2,700
1,000
2,683
0,017
− − − 0,000
2
3,676
1,999
2,835
-0,235
-0,235
0,017
0,063 0,055
3
5,023
3,000
2,951
-0,051
-0,051
-0,235
0,034 0,003
4
6,200
4,000
3,049
0,051
0,051
-0,051
0,010 0,003
5
7,155
5,000
3,135
0,065
0,065
0,051
0,000 0,004
6
8,816
5,998
3,213
0,387
0,387
0,065
0,104 0,150
7
9,261
7,001
3,285
0,215
0,215
0,387
0,030 0,046
8
9,615
7,998
3,352
0,048
0,048
0,215
0,028 0,002
9
9,000
9,000
3,415
-0,415
-0,415
0,048
0,214 0,172
10
10,751
9,998
3,474
-0,074
-0,074
-0,415
0,116 0,006
∑
72,198 504,766
0,007
0,599 0,440
∑
/n
5,048
Решение: используя значения, рассчитанные в табл. 10 и формулу (3),
рассчитаем r(1) и r(2)
r(1) =
22
728359292808889
7282889899
,,,
,,
−⋅−⋅
⋅
−
⋅
= 0,671,
r(2) =
22
126598582508798
1262583818
,,,
,,
−⋅−⋅
⋅
−
⋅
= 0,413,
r(1) = 0,671; r(2) = 0,413.