Кормильцев В.В., Ратушняк А.Н., Петряев В.Е. Методы моделирования геофизических полей

Подождите немного. Документ загружается.

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

УРАЛЬСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

ГОРНО-ГЕОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

В.В.Кормильцев, А.Н.Ратушняк, В.Е.Петряев

Методы моделирования геофизических полей

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

ЕКАТЕРИНБУРГ

2000

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Уральская государственная горно-геологическая академия

ОДОБРЕНО

Методической комиссией

геофизического факультета

“ ___ ” __________ 2000

Председатель комиссии:

________________________

(проф. Сковородников И.Г.)

Методы моделирования геофизических полей

Конспект лекций для студентов специализации “Геоинформатика в

разведочной геофизике” специальности 080400 “Геофизические

методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых”

Издание УГГГА Екатеринбург, 2000

Методы моделирования геофизических полей. Конспект лекций для

студентов специализации “Геоинформатика в разведочной геофизике”

специальности 080400 “Геофизические методы поисков и разведки

месторождений полезных ископаемых/ В.В.Кормильцев,

А.Н.Ратушняк, В.Е.Петряев. Уральская госуд. горно-геол. академия, каф.

геоинформатики – Екатеринбург; Изд-во УГГГА, 2000. – 50 с.

Рассмотрены задачи вычисления электромагнитного поля, поля

постоянного тока, поля магнетиков, теплового поля и скорости течения

Дарси в присутствии неоднородных по физическим свойствам объектов на

основе объемных векторных интегральных уравнений. Также рассмотрено

математическое моделирование кинематических характеристик упругих

волн и принципы физического электромоделирования электрических и

других потенциальных полей.

Конспект лекций рассмотрен на заседании кафедры геоинформатики 2

ноября 2000 г. (протокол N 11) и рекомендован для издания в УГГГА.

Рецензенты: д.ф.-м.н., профессор А.Н.Мезенцев, каф. физики;

к.т-н., доцент И.И.Бреднев, каф. прикладной геофизики.

©Уральская государственная

горно-геологическая академия, 2000

Л е к ц и я 1

ФИЗИКО-ГЕОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СРЕДЫ. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1. Геометризация геологических тел и структур осуществляется пу-

тем построения разрезов, карт и погоризонтных планов. Выделяют грани-

цы между различными породами, комплексами пород, возрастные (страти-

графические) границы. Отдельные элементы, такие как зоны дробления,

вкрапленности, метасоматических изменений могут не иметь четко очер-

ченных границ при изображении на геологических разрезах и планах.

Физико-геологическая модель (ФГМ) среды должна включать в ка-

честве априорной информации достоверно установленные геологические

границы, например, между крупными комплексами пород разного возрас-

та, обычно имеющие характер тектонических контактов или границ стра-

тиграфических несогласий. Обычно эти же границы наиболее интенсивно

проявляются в геофизических полях.

При математическом моделировании возникает задача приближен-

ной замены произвольных криволинейных границ и поверхностей, изо-

бражаемых на разрезах и планах, многоугольниками, отрезками криволи-

нейных дуг, фрагментами координатных поверхностей в декартовой и кри-

волинейных системах координат. Рассмотрим эту проблему на примере де-

картовых координат, в которых кривые линии и поверхности заменяются

ступенчатыми линиями или рельефом. При уменьшении высоты ступеней

можно как угодно приблизиться к геологической границе, однако при этом

возрастает число разбиений геологической границы или тела на элемен-

тарные отрезки или объемы, что увеличивает продолжительность вычис-

лений. При делении стороны тела в раз число элементарных объемов

возрастает в

nnn⋅

⋅

раз. Параметрами ФГМ являются размеры, положение

и свойства элементарных объемов. Для эффективного применения вычис-

лительных технологий необходимо обеспечить минимальную параметри-

зацию задачи. Необходимо построить ФГМ, обладающую минимальным

числом параметров, т.е. максимально допустимым размером элементарных

объемов, но такую, чтобы физическое поле на профиле или плоскости на-

блюдений не отличалось качественно от истинного и имело бы малые ко-

личественные различия. Расчетами показано, что в потенциальных полях

это возможно, если диагональ ближайшего из элементарных объемов (па-

раллелепипедов) меньше расстояния до точки наблюдения.

2. По размерности модели различаются на 1-D, 2-D, 3-D и Q3-D мо-

дели (dimension – размерность). Одномерные 1-D модели - это модели

слоистых сред. Они обладают наименьшим количеством параметров, кото-

рыми являются число слоев, мощность и свойства каждого слоя, и приме-

няются для описания разрезов слабодислоцированных осадочных пород.

Двумерные модели (2-D) имеют самое широкое распространение.

Они применяются для описания геологических объектов, сильно вытяну-

тых по простиранию, когда размер по простиранию в три и более раза пре-

вышает максимальный размер (диагональ) сечения. Параметрами являются

размеры и положение на плоскости сечений бесконечных элемен-

тарных призм, вытянутых по оси

XOY

и их свойства.

Трехмерные (3-D) модели позволяют наилучшим образом прибли-

зиться к конфигурации геологического тела произвольной формы. В де-

картовой системе элементарным объемом является прямоугольный парал-

лелепипед, в частном случае куб. Число параметров 3-D модели является

наибольшим.

Рис. 1

Промежуточное положение занимают квазитрехмерные Q3-D модели

(рис.1), представляющие собой трехмерные модели, ограниченные по оси

двумя вертикальными плоскостями. Элементарными объемами явля-

ются призмы малого сечения, но немалой постоянной фиксированной дли-

ны по простиранию. По сравнению с двумерными моделями длина по про-

стиранию является дополнительным параметром. Еще одним парамет-

ром может являться расстояние между плоскостью

()l

симметричного сечения и плоскостью профиля вычислений (для тел, рас-

положенных несимметрично по отношению к профилю).

Достоинством Q3-D модели является возможность моделирования

аномальных полей от трехмерных тел с учетом боковых влияний при не-

значительном увеличении числа параметров по сравнению с двумерной

моделью. Размер модели выбирают таким образом, чтобы получить не-

обходимую вытянутость изолиний поля по простиранию. Обычно он бли-

зок к большой оси плоской фигуры, ограниченной изолинией со значени-

ем, близким к половине максимального.

3. Любая горная порода обладает некоторым диапазоном изменения

физических свойств, что связано с колебаниями минерального состава,

трещиноватости, пористости, обводненности. Особенно велики колебания

магнитной восприимчивости, поскольку для большинства пород она связа-

на с содержанием акцессорного магнетита, а также электропроводности.

Плотность и коэффициент теплопроводности меняются значительно мень-

ше. Гидравлическая проницаемость напрямую не связана с минеральным

составом, а определяется гранулометрическим составом и степенью нару-

шенности породы. Для некоторых пород, особенно подвергшихся мета-

морфическим изменениям, вообще нельзя назвать наиболее вероятного

значения, например, магнитной восприимчивости или электропроводно-

сти, а возможно указать лишь крайние пределы. Проблема усреднения фи-

зических свойств и их распределения по объему геологического тела наи-

более важна, поскольку от этого зависит конечный результат моделирова-

ния, однако наименее определенна. Здесь необходимо использовать всю

справочную и экспериментальную информацию о свойствах, помня одна-

ко, что любое экспериментальное определение имеет ограниченную пред-

ставительность.

Перед интерпретацией ни теоретически, ни практически не может

быть поставлен вопрос досконального восстановления распределения фи-

зических свойств. Такая проблема не имеет даже прикладного значения,

поскольку геологическая граница сама во многих случаях является услов-

ной. В градиентной среде она лишь частично совпадает с изопараметриче-

ской поверхностью какого-либо геохимического или геофизического па-

раметра. Поэтому при решении прямой задачи, как часто называют мате-

матическое моделирование, мы также вынуждены оперировать с условной

обобщенной моделью. Чем более удален объект, тем более общие черты

геологического строения следует учитывать в модели, опуская второсте-

пенные детали. В потенциальных полях близко расположенные объекты

создают единую аномалию на расстоянии, равном утроенной мощности.

Информативность модели не возрастает, если мы будем дробить ее на эле-

ментарные объемы, диагональ которых меньше утроенной глубины. Таким

образом, оптимальное значение диагонали элементарного объема неодно-

родности составляет от 1 до 1/3 глубины до него.

При моделировании кинематических характеристик, например годо-

графов в сейсморазведке, используются иные критерии детальности моде-

ли, связанные с размером первой зоны Френеля. Дифракция упругих волн

накладывает ограничения на размеры неоднородностей либо на рельеф

сейсмической границы. Если размеры неоднородности или неровности

рельефа меньше первой зоны Френеля, амплитуда отраженной волны пада-

ет вплоть до полного исчезновения, а применение лучевых представлений

для описания распространения колебаний становится приближенно соот-

ветствующим действительности. Поскольку радиус первой зоны Френеля

пропорционален корню из времени прихода отражения, то более глубокие

границы могут быть исследованы с меньшей детальностью.

4. Источники возбуждения могут быть точечные, распределенные

объемные, они могут лежать далеко вне рассматриваемой области среды.

Соответственно первичное возбуждающее поле может быть трех- и дву-

мерным неоднородным, плоским неоднородным и однородным. Различают

модели статические и динамические. Динамические обычно представляют

собой последовательность статических моделей, в которых изменяются

параметры источника или среды. Частная модель соответствует одному из

геофизических полей. Комплексная модель служит для вычисления не-

скольких геофизических полей. Она характеризуется общими границами

раздела свойств, которые должны иерархически соподчиняться. Например,

сейсмических границ может быть меньше, чем плотностных, но все они

образуют двойные границы с плотностными. Выделяют региональные мо-

дели, в которых аномалиеобразующими объектами являются крупные

структуры и комплексы пород.

5. Задачи математического моделирования составляют так называе-

мый блок прямых задач. Основное назначение прямых задач - исследова-

ние разрешающей способности геофизических методов, разработка мето-

дики поисков и разведки различных полезных ископаемых, определение

ожидаемых аномальных эффектов на стадии проектирования и помощь

при выборе методики наблюдений, интерпретация методом подбора, раз-

работка исходного (нулевого) приближения для автоматизированных ме-

тодов интерпретации.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ. МЕТОД

АНАЛОГИИ.

Известно шесть стационарных полей, потенциал которых удовлетво-

ряет уравнению Лапласа-Пуассона. Седьмым или, вернее, первым является

потенциал притяжения или ньютоновский потенциал.

Ньютонов потенциал является наиболее простым потенциалом, по-

скольку первоначальные гравитирующие массы не изменяются, если в рас-

сматриваемый объем ввести новые гравитирующие массы. Ньютонов по-

тенциал является интегральной суммой потенциалов притяжения всех масс

(материальных точек), не изменяющих своей величины под влиянием вза-

имного притяжения. Иначе говоря, гравитация не сопровождается поляри-

зацией среды.

В отличие от гравитирующей массы заряд , внесенный из вакуума

в диэлектрик, вследствие поляризации среды изменяет кулонову силу, с

которой он притягивает или отталкивает пробный заряд. В неоднородном

диэлектрике под действием первичного заряда возникают вторичные поля-

ризованные заряды разного знака, в сумме равные нулю (рис.2).

Рис. 2

Однако их действие на пробный заряд

не равно нулю из-за разли-

чия расстояний. Напряженность электрического поля в неоднородном ди-

электрике уже не равна векторной сумме кулоновых сил, создаваемых пер-

вичными зарядами. В общем случае возникает интегральное уравнение, в

котором напряженность искомого суммарного поля стоит дважды: первый

раз в левой части и второй раз в правой части под знаком интеграла, опре-

деляя величину поляризованных зарядов. В этом существенное отличие

полей, приводящих к поляризации среды, от гравитационного притяжения.

Все указанные выше шесть полей сопровождаются поляризацией

среды, т.е. появлением положительных и отрицательных зарядов или по-

люсов. Перечислим эти поля.

1. Электростатическое поле в диэлектрике, характеризуемое электро-

статическим потенциалом

, В, и плотностью потока электрической ин-

дукции, Кл/м

Ugrad

−

– напряженность электростатического поля, В/м,

1085.8

−

⋅=

– электрическая постоянная, Кл/В/м=Ф/м,

– относительная диэлектрическая проницаемость (безразмерная).

2. Электрическое поле постоянного тока, характеризуемое электри-

ческим потенциалом

, В, и плотностью электрического тока, А/м

Ugrad

−

E – напряженность электрического поля, В/м,

– электропроводность, 1/Ом/м.

3. Магнитное поле магнетиков, характеризуемое магнитным потен-

циалом

, А, и магнитной индукцией, В⋅с/м

=Тл,

Ugrad

−

104

−

⋅=

πμ

– магнитная постоянная, В⋅с/А/м=Гн/м,

– относительная магнитная проницаемость (безразмерная),

– напряженность магнитного поля, А/м.

4. Течение Дарси для несжимаемой жидкости, характеризуемое дав-

лением P, Па, и скоростью течения Дарси, м/с,

Pgrad

−=v

– гидравлическая проницаемость минерального скелета, м

– динамическая вязкость флюида, Па⋅с.

5. Молекулярный перенос теплоты, характеризуемый температурой

T, °К, и плотностью теплового потока, Вт/м

Tgradq

−

– коэффициент теплопроводности, Вт/м/°К.

6. Диффузия, характеризуемая концентрацией растворенного веще-

ства или электролита C, моль/м

, гэкв/м

, и плотностью потока вещества,

моль/м

/c,

CDgradq

−

– коэффициент диффузии, м

/с.

Если во всех шести уравнениях вектор слева обозначить символом

материальный коэффициент буквой , а потенциал, температуру, давление

или концентрацию буквой

, то для всех шести полей справедливо урав-

нение неразрывности

div F

а потенциал в кусочно-однородной среде удовлетворяет уравнению Лапла-

са

0)(

− Wadiv grad

или

Аналогия между дифференциальными уравнениями для полей рас-

пространяется и на их решения. Достаточно получить одно решение для

какого-либо из полей и по аналогии можно записать остальные.

Вопросы для самопроверки

1. Параметры физико-геологической модели при математическом модели-

ровании. Оптимальные значения геометрических параметров.

2. Понятие о размерности моделирования, виды размерностей.

3. Метод аналогии при моделировании потенциальных полей.

4. Аналогия между электрическим полем постоянного тока и намагничива-

нием магнетика.

5. Аналогия между электрическим полем постоянного тока и течением

Дарси.

6. Аналогия между электрическим полем постоянного тока и молекуляр-

ным переносом теплоты.