Контрольная работа по эконометрике. Вариант№9

Подождите немного. Документ загружается.

Задача №1. Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области

Исходные данные:

№

Y цена

квартиры(тыс.долл)

жилая

площадь (кв.м)

этаж

площадь

кухни(кв.м)

1 115 51,4 9 7

2 85 46 5 10

3 69 34 6 10

4 57 31 1 9

5 184,6 65 1 9

6 56 17,9 2 7

7 85 39 12 8,3

8 265 80 10 16,5

9 60,65 37,8 11 12,1

10 130 57 6 6

11 46 20 2 10

12 115 40 2 7

13 70,96 36,9 5 12,5

14 39,5 20 7 11

15 78,9 16,9 14 13,6

16 60 32 11 12

17 100 58 1 9

18 51 36 6 12

19 157 68 2 11

20 123,5 67,5 12 12,3

21 55,2 15,3 9 12

22 95,5 50 6 12,5

23 57,6 31,5 5 11,4

24 64,5 34,8 10 10,6

25 92 46 9 6,5

26 100 52,3 2 7

27 81 27,8 3 6,3

28 65 17,3 5 6,6

29 110 44,5 10 9,6

30 42,1 19,1 13 10,8

31 135 35 12 10

32 39,6 18 5 8,6

33 57 34 8 10

34 80 17,4 4 8,5

35 61 34,8 10 10,6

36 69,6 53 4 12

37 250 84 15 13,3

38 64,5 30,5 12 8,6

39 125 30 8 9

40 152,3 55 7 13

1. Рассчитайте матрицу парных коэффициентов корреляции; оцените статистическую

значимость коэффициентов корреляции



Y цена

квартиры X

жилая площадь X

этаж X

площадь кухни

Y цена квартиры 1

жилая площадь 0,826390243 1

этаж 0,146382617 0,044398911 1

площадь кухни 0,277274009 0,274037387 0,413008439 1

Оценка статистической значимости коэффициентов корреляции

расч

√

n−2

√

1−r

= 9.09

расч

√

n−2

√

1−r

= 0.93

расч

√

n−2

√

1−r

= 1.78

Табличное значение t-критерия Стьюдента= 1,686 (при α=0,1 и n-2=38). t

расч

и х

> t

табл

, следовательно,

полученное значение коэффициента корреляции значимо. Однако фактор Х

имеют слабую,

незначимую связь с зависимой переменной Y, и его можно не включать в модель.

2. Постройте поле корреляции результативного признака(Y) и наиболее тесно

связанного с ним фактора(X

)

10 20 30 40 50 60 70 80 90

100

150

200

250

300

Y цена квартиры

X4 жилая площадь

Y цена квартиры

3. Рассчитайте параметры линейной парной регрессии для всех факторов Х

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R 0,833688577

R-квадрат 0,695036644

Нормированный R-квадрат 0,669623031

Стандартная ошибка 29,59690587

Наблюдения 40

Дисперсионный анализ

 df SS MS F

Значимость

Регрессия 3 71871,24496 23957,08165

27,3489

9 2,14472E-09

Остаток

6 31535,16614 875,9768372

Итого

9 103406,4111 F F F



Коэффициент

Стандартна

я ошибка

статистика

P-

Значение

Y-пересечение -12,0720217

21,22643886 -0,568725718

0,5730734

X4 жилая площадь 2,37599362

0,278419328 8,533867376

3,5868E-

X5 этаж 1,37143901

1,307196819 1,049145005

0,3011039

X6 площадь кухни 0,19121823

2,27673958 0,083987749

0,9335314

Оценим значимость коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. Табличное

значение t-критерия Стьюдента равно: t

табл

(α= 0,01; d

=n-k-1=36) = 2,719. Сравнивая числовые

значения критериев, видно, что t

расч

Х5 и Х6 ˂ t

табл

, т.е. полученные значения коэффициентов

регрессии для Х5 и Х6 незначимы. Исключаем их из модели:

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R 0,826390243

R-квадрат 0,682920834

Нормированный R-квадрат 0,674576646

Стандартная ошибка 29,37418243

Наблюдения 40

Дисперсионный анализ

 df SS MS F Значимость F

Регрессия 1 70618,39254 70618,39254 81,84388794 5,12015E-11

Остаток 38 32788,01856 862,8425936

Итого 39 103406,4111 F F F



Коэффициент

ы Стандартная ошибка t-статистика P-Значение

Y-пересечение

-1,301726242

11,47739152 -0,113416558

0,91029740

X4 жилая площадь

2,396718022

0,264925532 9,046761185

5,12015E-

табл

(α= 0,01; d

=n-k-1=38) = 2,712. t

расч

табл

, следовательно, полученное значение значимо.

Получили уравнение регрессии, все коэффициенты которого значимы:

Ŷ = -1,30+2,396Х

При увеличении жилой площади квартиры на 1м

стоимость квартиры возрастает на 2,396

тыс.долл.

4. Оцените качество каждой модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку

аппроксимации и F-критерий Фишера. Выберите лучшую модель.

Модель 1. Включенные переменные: Х4-жилая площадь.

Модель 2. Включенные переменные: Х5-этаж квартиры.

Модель 3. Включенные переменные: Х6- площадь кухни.

Сводка для модели

Модель R R

Скорректированный R

Стд. ошибка оценки

1 0,826 0,683 0,675 29,34

2 0,146 0,021 -0,004 51,60

3 0,277 0,077 0,053 50,12

Дисперсионный анализ

Модель Сумма

квадратов

Степени

свободы

Средний квадрат F Знч

1 Регрессия 70618,39 1 70618,39 81,8

5,12E-11

Остаток 32788,01 38 862,84

Итого 103406,41 39

2 Регрессия 2215,78 1 2215,78 0,83

0,367

Остаток 101190,63 38 2662,91

Итого 103406,41 39

3 Регрессия 7949,98 1 7949,98 3,16

0,083

Остаток 95456,44 38 2512,01

Итого 103406,41 39

Коэффициент детерминации R

Чем ближе R

к 1, тем выше качество модели.

Следовательно: в модели 1 (R

=0,683) около 68% вариаций зависимой переменной учтено в

модели и обусловлено влиянием включенных факторов, в модели 2 (R

=0,021) – 2%, в модели 3

=0,077) около 7%.

Средняя ошибка аппроксимации

Допустимый предел не более 8-10%.

Ā =

y− ŷ

∨¿

·100%

Для модели 1: Ā= 26,15% .

Для модели 2: Ā= 45,8% .

Для модели 3: Ā= 48,6% .

Проверку значимости уравнения регрессии производим на основе F-критерия Фишера/

Если расчетное значение с 

= k и 

= (n - k - 1) степенями свободы, где k – количество факторов,

включенных в модель, больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается

значимой. F

табл

= 4.098(α=0.05,ν

=1,ν

=38). Для модели 1 F

табл

˂ F

фактич,

следовательно гипотеза Н

(о статистической незначимости уравнения регрессии) отклоняется. Признается статистическая

значимость и надежность уравнения регрессии.

На основании вышеизложенного лучшей является модель парной регрессии, в которую включен

фактор Х

- жилая площадь квартиры.

5. Осуществите прогнозирование для лучшей модели среднего значения показателя Y при

уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его

максимального значения.

Ŷ = -1,30+2,396Х

-уравнение регрессии для лучшей модели

мах

= 84; Х

прогн

=67,2; Y

прогн

=159,71 (точечный прогноз).

Доверительный интервал (U) от точечного прогноза

U=51,75

Прогнозные значения лежат в интервале:

107,95≤159,71≤211,45

Вывод: с вероятностью 90% можно утверждать, что при значении Х= 67,2 м

, стоимость

квартир будет находиться в доверительном интервале от 107,95 до 211,45 тыс.долл.

6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения и метод

включения), постройте модель формирования цены квартиры за счет значимых

факторов. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R 0,833688577

R-квадрат 0,695036644

Нормированный R-квадрат 0,669623031

Стандартная ошибка 29,59690587

Наблюдения 40

Дисперсионный анализ

 df SS MS F Значимость F

Регрессия 3 71871,24496 23957,08165 27,34899 2,14472E-09

Остаток 36 31535,16614 875,9768372

Итого 39 103406,4111 F F F



Коэффициент

ы Стандартная ошибка

статистик

P-

Значение

Y-пересечение -12,0720217

21,22643886

0,568725718

0,5730734

X4 жилая

площадь 2,37599362

0,278419328 8,533867376

3,5868E-

X5 этаж 1,37143901

1,307196819 1,049145005

0,3011039

X6 площадь

кухни 0,19121823

2,27673958 0,083987749

0,9335314

Построим уравнение регрессии от всех Х:

Ŷ = -12,07+2,38Х

+1,37X

+0,19X

табл

(α= 0,01; d

=n-k-1=36) = 2,719. Сравнивая числовые значения критериев, видно, что t

расч

Х5 и Х6 ˂ t

табл

т.е., полученные значения коэффициентов регрессии для Х5 и Х6 незначимы. Пошагово исключаем их из

модели. В результате получим следующие данные:

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R 0,833652739

R-квадрат 0,694976889

Нормированный R-квадрат 0,678489153

Стандартная ошибка 29,19706817

Наблюдения 40

Дисперсионный

анализ

 df SS MS F Значимость F

Регрессия 2 71865,06587 35932,53293 42,15114 2,88507E-10

Остаток 37 31541,34523 852,46879

Итого 39 103406,4111 F F F



Коэффициент

ы Стандартная ошибка

статистик

а P-Значение

Y-пересечение -10,73260503 13,81898929

0,776656295

0,44229862

X4 жилая площадь 2,382565457 0,263588069 9,03897307

6,68796E-

X5 этаж 1,417243691 1,171945572 1,209308457 0,23421513

табл

(α= 0,01; d

=n-k-1=37) = 2,715. Сравнивая числовые значения критериев, видно, что t

расч

Х5 ˂ t

табл

, т.е.,

полученное значения коэффициента регрессии для Х5 незначимо. Исключаем его из модели. В результате

получим следующие данные:

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R 0,826390243

R-квадрат 0,682920834

Нормированный R-квадрат 0,674576646

Стандартная ошибка 29,37418243

Наблюдения 40

Дисперсионный анализ

 df SS MS F Значимость F

Регрессия 1 70618,39254 70618,39254 81,84388794 5,12015E-11

Остаток 38 32788,01856 862,8425936

Итого 39 103406,4111 F F F



Коэффициент

ы Стандартная ошибка

статистик

а P-Значение

Y-пересечение

-1,301726242

11,47739152

0,113416558

0,91029740

X4 жилая площадь

2,396718022

0,264925532 9,046761185

5,12015E-

табл

(α=0,01; d

=n-k-1=38)=2,712. t

расч

> t

табл

, следовательно, полученное значение значимо.

Получили уравнение регрессии, все коэффициенты которого значимы:

Ŷ = -1,30+2,396Х

При увеличении жилой площади квартиры на 1м

стоимость квартиры возрастает на 2,396 тыс.долл.

7. Оцените качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по

сравнению с однофакторной моделью? Дайте оценку влияния значимых факторов на

результат с помощью коэффициентов эластичности, β- и Δ-коэффициентов.

1) Оценим качество всего уравнения регрессии:

Коэффициент детерминации R

показывает долю вариации результативного признака под воздействием

изучаемых факторов. Следовательно, около 68% вариаций зависимой переменной учтено в модели и

обусловлено влиянием включенных факторов.

Коэффициент множественной корреляции R показывает тесноту связи Y со всеми включенными в

модель Х. Зависимая переменная Y, т.е. цена квартиры, имеет наиболее тесную связь с фактором

- жилой площадью квартиры (r

y,x4

= 0.826).

Проверим значимость всего уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера.

табл

= 4.098(α=0.05,ν

=1,ν

=38). Для модели 1 F

табл

˂ F

фактич.

Признается статистическая значимость и

надежность уравнения регрессии.

2) Проверка статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии, с помощью критерия

Стьюдента.

табл

(α= 0,01; d

=n-k-1=38) = 2,712. t

расч

=9,05. t

расч

Х4 > t

табл

, т.е полученное значение коэффициента

регрессии значимо.

Рассчитаем коэффициенты эластичности, β- и Δ-коэффициентов:

j j

Э a

 

= 2,396

39, 62

93, 65

= 1,014, т.е. увеличение среднего значения жилой площади на 1% приведет к

увеличению стоимости квартиры на 1,014%.

j j



 

2 2

( )

xj i

S x x

 





2 2

( )

y i

S y y

 





= 1/39 · 12293,74 = 315.22 (√=17,75),

= 1/39 · 103406,41 = 2651.45 (√=51,49)

=2,396· 17,75/51,49 = 0.826, т.е. при увеличении жилой площади на 17,75м

стоимость квартиры

увеличится на 42,53тыс. долл. (0,826·51,49).

j y x j

r R



  

=0,826· 0,826 /0,68 =1,003

Задача №2. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа

одномерного временного ряда.

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб) на кредитные ресурсы

финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

Номер наблюдения (t=1,2-9)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

45 43 40 36 38 34 31 28 25

1. Проверьте наличие аномальных наблюдений.

Для диагностики аномальных наблюдений используем метод Ирвина

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Y(t)

45 43 40 36 38 34 31 28 25

λ(t)

----

0,297177 0,445765 0,594354 0,297177 0,594354 0,445765 0,445765 0,445765

Табличное значение λ(t), при n=10,p=0.95 равно 1,5.

расч˂

табл

, следовательно аномальных наблюдений нет.

2. Постройте линейную модель Ŷ(t)=a

t, параметры которой оцените МНК (Ŷ(t)-

расчетные, смоделированные значения временного ряда).

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R 0,983568999

R-квадрат 0,967407975

Нормированный R-

квадрат 0,962751972

Стандартная ошибка 1,298656204

Наблюдения 9

Дисперсионный анализ

 df SS MS F

Регрессия 1 350,4166667 350,4166667 207,776471

Остаток 7 11,80555556 1,686507937

Итого 8 362,2222222 F F

 Коэффициенты Стандартная ошибка

статистика P-Значение

Y-пересечение 47,63888889 0,943451859 50,49424453 3,1288E-10

t -2,416666667 0,167655795 -14,41445353 1,8425E-06

Ŷ(t)=47,639 - 2,417t, т.е. в течение 1 недели спрос на кредитные ресурсы уменьшится на 2,417

млн.руб.

Качество всего уравнения регрессии оценим с помощью коэффициента детерминации R

Значение R

=0.967 близко к единице, поэтому качество модели можно признать высоким.

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера.

расч

=207,776. F

табл

= 5,591 (α=0.05,ν

=1,ν

=7). 1 F

табл

˂ F

фактич,

. Признается статистическая значимость и

надежность уравнения регрессии.

Проверка статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии, с помощью критерия

Стьюдента.

табл

(α= 0,01; d

=n-k-1=7) = 3,499. t

расч

= -14,414. /t

расч

табл

, т.е полученное значение коэффициента

регрессии значимо.

3. Оцените адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной

компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при

использовании R/S-критерия возьмите табулированные границы 2,7-3,7)

1) Свойство независимости ряда остатков или отсутствия автокорреляции.

Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях проверим с помощью dw-критерия

Дарбина-Уотсона:

dw=

Σ (e

−e

i−1

)²

Σ e

, где e

-ŷ

dw=2.211; dw>2, что говорит о наличие отрицательной корреляции. Перед сравнением с

табличными значениями преобразуем dw-критерий по формуле dw’=4-dw=1.789. Таким образом,

при α=0,05,n=15 и k=1, d

=1,08 и d

=1,36; dw’ лежит в пределах d

2 ˂

dw’˂2. Вывод: Свойство

независимости выполняется, ряд остатков не содержит автокорреляции, модель по этому

критерию адекватна.

2) Свойство случайности. Проверка выполнения свойства случайности проводится с

использованием критерия поворотных точек.

Количество поворотных точек: р=3. Расчетное количество точек равно 2; 3>2,

следовательно, с уровнем значимости 0,05 свойство случайности выполняется.

3) Свойство соответствия ряда остатков нормальному закону распределения.

Оценка адекватности построенной модели по соответствию нормальному закону распределения

осуществляется по R/S-критерию:

Расчетное значение критерия R/S = 3.416, следовательно, оно попадает в диапазон 2,7-3,7,

считается, что распределение является нормальным.

4. Оцените точность модели на основе использования средней относительной ошибки

аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации – это среднее отклонение расчетных значений от фактических.

Допустимый предел не более 8-10%.

Ā= 2,43% т.е. в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 2% . Вывод: модель имеет

хорошее качество.

5. Осуществите прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза

рассчитайте при доверительной вероятности р=70%).

Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставляем соответствующие значения

фактора

t n k 