Контрольная работа - МНК, парная, множественная регрессия, системы эконометрических уравнений, ряды

Подождите немного. Документ загружается.

неизменном

) выработка продукции одного работника увеличится только на 0,0656 руб.

Найдем уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе

1 2

y x x

t t t

  

  

Коэффициенты



стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:

805,0

366,2

91,1

997,0







187,0

366,2

759,6

0656,0







Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

187,0805,0

xxy

ttt 

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно

сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку

продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов

эластичности:

i i

Э b

 

Вычисляем:

649,0

51,6

997,0

Э

149,0

75,22

0656,0

Э

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного

веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,649%

или 0,149% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат

фактора

, чем фактора

2. Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

 

9847,0

,cov









 

96,0

,cov









 

960,0

,cov









Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую

межфакторную зависимость (факторы

явно коллинеарны, т.к.

7,096,0



). При такой

сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и

соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов,

включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

   

8048,0

078,0

0631,0

0764,00784,0

92256,0984,0

960,0196,01

960,096,09847,0

2222

212

2121























xxyx

xxyxyx

xyx

rrr

   

301,0

0488,0

01469,0

0764,00317,0

9453,096,0

960,019847,01

960,09847,096,0

2222

211

2112























xxyx

xxyxyx

xyx

rrr

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за

высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки

тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности

(взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной

зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Расчет линейного коэффициента множественной корреляции выполним с использованием

коэффициентов



986,017952,0789,096,0187,09847,0805,0





yxixyx



Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора

факторов с результатом.

Зависимость

от

характеризуется как тесная, в которой 97,22% вариации показателя

выработки продукции определяются вариацией учтенных в модели факторов: новых основных

фондов и удельного веса квалифицированных рабочих. Прочие факторы, не включенные в модель,

составляют соответственно 2,78% от общей вариации

3. Нескорректированный коэффициент множественной детерминации

972,0



xyx

оценивает

долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации

результата. Здесь эта доля составляет 97,22% и указывает на весьма высокую степень

обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь

факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации:

 

969,0

028,01

1220

120

972,011

















определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает

такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по

разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую

(более 96%) детерминированность результата

в модели факторами

4. Оценку надежности уравнения регрессии в целом и коэффициента детерминации

1 2

yx x

дает

-критерий Фишера:

R n m

R m

 

 



В нашем случае фактическое значение

- критерия Фишера:

07,2955,8

028,0

972,0

1220

972,01

972,0











факт

Получили, что

факт табл

3,49F F 

(при

20n 

), т.е. вероятность случайно получить такое

значение

-критерия не превышает допустимый уровень значимости

. Следовательно,

полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е.

подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи

1 2

yx x

5. С помощью частных

-критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение

множественной регрессии фактора

после

и фактора

после

при помощи формул:

xyx

yxxyx

факт

221









xyx

yxxyx

факт

121









969,09847,0



9216,096,0



3,155,8

028,0

0504,0

1220

972,01

9216,0972,0











фактx

91,05,8

028,0

003,0

1220

972,01

969,0972,0











фактx

Получили, что

49,3



таблx

факт

. Следовательно, включение в модель фактора

после

того, как в модель включен фактор

статистически нецелесообразно: прирост факторной

дисперсии за счет дополнительного признака

оказывается незначительным, несущественным;

фактор

включать в уравнение после фактора

не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант

включения

после

, то результат расчета частного

-критерия для

будет иным.

част, табл

3, 49

F F 

, т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта

 

0,05 5%





. Следовательно, значение частного

-критерия для дополнительно включенного

фактора

не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост

факторной дисперсии за счет дополнительного фактора

является существенным. Фактор

должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается

после фактора

6. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами

972,0



xyx

содержит неинформативный фактор

. Если исключить фактор

, то можно

ограничиться уравнением парной регрессии:

216,1084,2 xy 



4. Тема «Системы эконометрических уравнений»

Даны системы эконометрических уравнений.

Требуется:

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите,

идентифицируемо ли каждое из уравнений модели.

2. Определите метод оценки параметров модели.

3. Запишите в общем виде приведенную форму модели.

Макроэкономическая модель:

1 11 1

2 22 23 1 2

t t

t t t

t t t t

C a b D

I a b Y b Y

Y D T

D C I G





  





   





 



  



где

– расходы на потребление;

– чистый национальный продукт;

– чистый

национальный доход;

– инвестиции;

– косвенные налоги;

– государственные расходы;

–

текущий период;

1t 

– предыдущий период.

Первое уравнение – функция потребления, второе уравнение – функция инвестиций, третье

уравнение – функция национального продукта, четвертое уравнение – тождество дохода.

1. Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое уравнение

системы на необходимое и достаточное условия индентификации.

Модель включает четыре эндогенные переменные

 

tttt

DYIC ,,,

и три предопределенные

переменные (две экзогенные переменные –

и одну лаговую переменную –

1t

Проверим каждое уравнение системы на необходимое условие индентификации.

Если обозначить число эндогенных переменных в i -м уравнении системы через H, а число

экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в

данное уравнение — через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде

следующего счетного правила:

D+1=H – уравнение идентифицируемо;

D+1<H – уравнение неидентифицируемо;

D+1>H – уравнение сверхидентифицируемо;

Первое уравнение:

111





DbaC

Н:эндогенных переменных – 2 (

DC ,

),D :отсутствующих экзогенных – 3

 

tTt

YTG

Выполняется условие: D+1=3+1>H=2 Уравнение сверхидентифицируемо.

Второе уравнение:

2123222





ttt

YbYbaI

Н:эндогенных переменных – 2 (

YI ,

), D: отсутствующих экзогенных – 2

 

TG ,

Выполняется условие: D+1=2+1>H=2 Уравнение сверхидентифицируемо.

Третье уравнение:

ttt

TDY 

Н:эндогенных переменных – 2 (

YD ,

), D: отсутствующих экзогенных – 2

 

tt

Выполняется условие: D+1=2+1>H=2 Уравнение сверхидентифицируемо.

Четвертое уравнение:

tttt

GICD 

Н:эндогенных переменных – 3 (

ttt

ICD ,,

), D: отсутствующих экзогенных – 2

 

tt

Выполняется условие: D+1=2+1=H=3 Уравнение идентифицируемо.

Проверим для каждого уравнения достаточное условие идентификации.

Уравнение идентифицируемо, если определитель матрицы, составленной из коэффициентов

при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не

менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели.

1t

Iуравнение

–1 0 0

0 0 0

IIуравнение

0 -1

0 0

IIIуравнение

0 0 –1 1 0 1 0

Тождество

1 1 0 –1 0 0 1

Первое уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет

вид

1t

II уравнение –1

0 0

III уравнение 0 –1 0 1 0

Тождество 1 0 0 0 1

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы

3 3

не равен

нулю:

100

010

b

Достаточное условие идентификации для 1 уравнения выполняется.

Второе уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет

вид

Iуравнение –1

0 0

III уравнение 0 1 1 0

Тождество 1 - 1 0 1

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы

3 3

не равен

нулю:

100

010

b

Достаточное условие идентификации для 2 уравнения выполняется.

Третье уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет

вид

1t

Iуравнение –1

0 0

II уравнение 0

-1

Тождество 1

0 1

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы

3 3

не равен

нулю:

101

001

2323





Достаточное условие идентификации для 3 уравнения выполняется.

Таким образом, уравнение 1,2 сверхидентифицируемы, 3 уравнение тоже индентифицируемо.

2. Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости

от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в литературе получили

следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели:

1) косвенный метод наименьших квадратов;

2) двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК);

3) трехшаговый метод наименьших квадратов;

4) метод максимального правдоподобия с полной информацией;

5) метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.

Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:

1) все уравнения системы сверхидентифицируемы;

2) система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно идентифицируемые уравнения.

Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных

коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно

идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы

приведенных уравнений.

3. Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных

переменных от экзогенных:













mnmnmmm

uxxxy



2211

222222212

1121 21111

.....................................................

Где



- коэффициенты приведенной формы мдели,

- остаточная величина для приведенной

формы.

Приведенная форма модели в общем виде будет выглядеть следующим образом:











44342141

33332131

22322121

11312111

uGTYD

uGTYY

uGTYI

uGTYC

tttt



5. Тема «Временные ряды»

Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии (

) жителями региона за

16 кварталов.

Требуется:

1. Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных

колебаний.

2. Построить аддитивную модель временного ряда (для нечетных вариантов) или

мультипликативную модель временного ряда (для четных вариантов).

3. Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

1 5,5 9 8,3

2 4,8 10 5,4

3 5,1 11 6,4

4 9,0 12 10,9

5 7,1 13 9,0

6 4,9 14 6,6

7 6,1 15 7,5

8 10,0 16 11,2

Решение

1. Построение автокорреляционной функции.

Построим поле корреляции.

Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции.

Формула для расчета коэффициента автокорреляции первого порядка:

   

1 1 2

2 2

1 1 2

2 2

t t

n n

t t

y y y y







 

 



 



 

где

1 2 1

2 2

1 1

, .

1 1

n n

t t

y y y y

n n



 

 

 

Составим вспомогательную таблицу.



y y

1 2t

y y



 

1 2

y y



 

 

 

y y

 

1 2t

y y



1 2 3 4 5 6 7 8

1 5,5 – – – – – –

2 4,8 5,5 -2,69 -1,61 4,32 7,22 2,58

3 5,1 4,8 -2,39 -2,31 5,51 5,70 5,32

4 9,0 5,1 1,51 -2,01 -3,04 2,29 4,03

5 7,1 9,0 -0,39 1,89 -0,73 0,15 3,58

6 4,9 7,1 -2,59 -0,01 0,02 6,69 0,00

7 6,1 4,9 -1,39 -2,21 3,06 1,92 4,87

8 10,0 6,1 2,51 -1,01 -2,53 6,32 1,01

9 8,3 10,0 0,81 2,89 2,35 0,66 8,37

10 5,4 8,3 -2,09 1,19 -2,49 4,35 1,42

11 6,4 5,4 -1,09 -1,71 1,85 1,18 2,91

12 10,9 6,4 3,41 -0,71 -2,41 11,65 0,50

13 9,0 10,9 1,51 3,79 5,74 2,29 14,39

14 6,6 9,0 -0,89 1,89 -1,68 0,79 3,58

15 7,5 6,6 0,01 -0,51 -0,01 0,00 0,26

16 11,2 7,5 3,71 0,39 1,46 13,79 0,15

Сумм

112,3 106,6 0,00 0,00 11,42 65,00 52,99

Средн

ее

значе

ние

7,49 7,11 – – – – –

Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т.к. у нас

теперь на одно наблюдение меньше.

Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка:

11,42

0,195

65,00 52,99

r  



Коэффициент автокорреляции второго порядка определяется по формуле:

   

3 2 4

2 2

3 2 4

3 3

t t

n n

t t

y y y y







 

 



 



 

где

3 4 2

3 3

1 1

, .

2 2

n n

t t

y y y y

n n



 

 

 

Составляем новую расчетную таблицу.



y y

2 4t

y y



 

2 4

y y



 

 

 

y y

 

2 4t

y y



1 2 3 4 5 6 7 8

1 5,5 – – – – – –

2 4,8 – – – – – –

3 5,1 5,5 -2,58 -1,58 4,07 6,65 2,49

4 9,0 4,8 1,32 -2,28 -3,01 1,75 5,19

5 7,1 5,1 -0,58 -1,98 1,14 0,33 3,91

6 4,9 9,0 -2,78 1,92 -5,34 7,72 3,69

7 6,1 7,1 -1,58 0,02 -0,03 2,49 0,00

8 10,0 4,9 2,32 -2,18 -5,06 5,39 4,75

9 8,3 6,1 0,62 -0,98 -0,61 0,39 0,96

10 5,4 10,0 -2,28 2,92 -6,66 5,19 8,53

11 6,4 8,3 -1,28 1,22 -1,56 1,63 1,49

12 10,9 5,4 3,22 -1,68 -5,41 10,38 2,82

13 9,0 6,4 1,32 -0,68 -0,90 1,75 0,46

14 6,6 10,9 -1,08 3,82 -4,12 1,16 14,60

15 7,5 9,0 -0,18 1,92 -0,34 0,03 3,69

16 11,2 6,6 3,52 -0,48 -1,69 12,40 0,23

Сумма 107,50 99,10 0,00 0,00 -29,51 57,26 52,82

Среднее

значени

7,68 7,08 – – – – –

Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции второго порядка:

29,51

0,537

57,26 52,82



 



Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все

полученные значения заносим в сводную таблицу.

Автокорреляционная функция:

Лаг Коэффициент автокорреляции уровней

1 0,195

2 –0,537

3 0,143

4 0,977

5 0,140

6 –0,682

Анализ автокорреляционной функции и графика исходных уровней временного ряда позволяет

сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в

четыре квартала (наиболее значительным оказался коэффициент автокорреляции 4-го порядка).

2. Построение аддитивной модели временного ряда.

Общий вид аддитивной модели следующий:

Y T S E  

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как

сумма трендовой (

), сезонной (

) и случайной (

) компонент.

Построение аддитивной модели сводится к расчету значений

для каждого уровня

временного ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2) Расчет значений сезонной компоненты

3) Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение

выровненных данных (

T E

) в аддитивной модели.

4) Аналитическое выравнивание уровней (

T E

) и расчет значений

с использованием

полученного уравнения тренда.

5) Расчет полученных по модели значений (

T E

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для

этого:

1.1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на

один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии.

1.2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Полученные таким образом

выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

1.3.eПриведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего

найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные

скользящие средние.

№

кварта

ла,

Потребление

электроэнергии,

Итого за четыре

квартала

Скользящая средняя

за четыре квартала

Центрированная

скользящая средняя

Оценка сезонной

компоненты

1 2 3 4 5 6

1 5,5 – – – –

2 4,8 24,40 6,10 – –

3 5,1 26,00 6,50 6,30 -1,20

4 9,0 26,10 6,53 6,51 2,49

5 7,1 27,10 6,78 6,65 0,45

6 4,9 28,10 7,03 6,90 -2,00

7 6,1 29,30 7,33 7,18 -1,08

8 10,0 29,80 7,45 7,39 2,61

9 8,3 30,10 7,53 7,49 0,81

10 5,4 31,00 7,75 7,64 -2,24

11 6,4 31,70 7,93 7,84 -1,44

12 10,9 32,90 8,23 8,08 2,83

13 9,0 34,00 8,50 8,36 0,64

14 6,6 34,30 8,58 8,54 -1,94

15 7,5 – – – –

16 11,2 – – – –

Шаг<2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда

и центрированными скользящими средними. Используем эти оценки для расчета значений сезонной

компоненты

. Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной

компоненты

Показатели Год

№ квартала,

I II III IV

1 – – –1,20 2,49

2 0,45 –2,00 –1,08 2,61

3 0,81 –2,24 –1,44 2,83

4 0,64 –1,94 – –

Всего за

-й квартал 1,90 –6,18 –3,72 7,93

Средняя оценка сезонной

компоненты для

-го

квартала,

0,63 –2,06 –1,24 2,64

Скорректированная сезонная

компонента,

0,64 –2,05 –1,23 2,65

В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за

период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений

сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Для данной модели имеем:

0,63 2,06 1,24 2,64 0,03   

Корректирующий коэффициент:

0,03 4 0,0075k  

Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты (

i i

S S k 

) и заносим

полученные данные в таблицу.

Шаг<3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня

исходного временного ряда. Получим величины

T E Y S  

. Эти значения рассчитываются за

каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

t i

y S

T S

 

E y T S  

1 2 3 4 5 6 7 8

1 5,5 0,64 4,86 5,82 6,46 -0,96 0,9216

2 4,8 -2,05 6,85 6,02 3,97 0,83 0,6889

3 5,1 -1,23 6,33 6,23 5,00 0,10 0,0100

4 9,0 2,65 6,35 6,43 9,08 -0,08 0,0064

5 7,1 0,64 6,46 6,64 7,28 -0,18 0,0324

6 4,9 -2,05 6,95 6,85 4,80 0,10 0,0100

7 6,1 -1,23 7,33 7,05 5,82 0,28 0,0784

8 10,0 2,65 7,35 7,26 9,91 0,09 0,0081

9 8,3 0,64 7,66 7,46 8,10 0,20 0,0400

10 5,4 -2,05 7,45 7,67 5,62 -0,22 0,0484

11 6,4 -1,23 7,63 7,87 6,64 -0,24 0,0576

12 10,9 2,65 8,25 8,08 10,73 0,17 0,0289

13 9,0 0,64 8,36 8,29 8,93 0,07 0,0049

14 6,6 -2,05 8,65 8,49 6,44 0,16 0,0256

15 7,5 -1,23 8,73 8,70 7,47 0,03 0,0009

16 11,2 2,65 8,55 8,90 11,55 -0,35 0,1225

Шаг<4. Определим компоненту

данной модели. Для этого проведем аналитическое

выравнивание ряда (

T E

) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания

следующие:

5,61 0,206T t  

Подставляя в это уравнение значения

1, 2, ..., 16t 

, найдем уровни

для каждого момента

времени.

Шаг<5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого

прибавим к уровням

значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.

На одном графике отложим фактические значения уровней временного ряда и теоретические,

полученные по аддитивной модели.

Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных

ошибок.