Контрольні завдання всеукраїнського етапу МАН
Подождите немного. Документ загружается.
ВІДДІЛЕННЯ ТЕХНІЧНИХ НАУК
- 11 -
2. З точки
M
перетину діагоналей прямокутника
A
BCD до його площини проведено перпендикуляр SM і
точку
S
з’єднали з серединою F сторони CD . Знайти
довжину відрізку SD , якщо 10
=
A
B см., 24
=
BC
см,
o
60=∠
M
SF
.
3. Спростити вираз
...1
...1
963
32
++++
++++
yyy
yyy
при 10
<
<
y .
ІІІ рівень
1. Довести, що сума кутів при менший основі трапеції більша, ніж
сума кутів при більшій основі.
2. Знайти всі пари
(
)
yx; , які задовольняють рівняння
863cos3sin4
2
+−=+ yyxx
.
3. Розв’язати систему рівнянь
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=−+
+−
+−+++
=+−
.59
,
4
29
4
2
yxy
xy
yxyx
xy
11 клас
І рівень
1. На координатній площині
OX
Y
побудувати геометричний образ
рівняння
(
)
(
)
0sin
22
=+ yx
π
.
2. Позбутись ірраціональності в знаменнику і спростити вираз
1061910619
1
−++
.
3. Знайти область визначення функції
(
)
()
49log
2
5,0
+−= xxf
.
4. Розв’язати систему
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+−
≤+−⋅
−
.0128
,0222
4
24
xx
xx
y
yy
КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ
- 12 -
ІІ рівень
1. Розв’язати систему рівнянь
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=
+−
.8
,1
107
2
yx
x
yy
2. Розв’язати нерівність
2
3sin
2
cos
2
sin
−
≤+
xxx
.
3. Три числа cba ,, є послідовними членами геометричної прогресії.
Знайти
(
)
3log29log
loglog3log
2
ca
cb
ac
A
a
−
−
=
.
ІІІ рівень
1. В півколо радіуса
R
вписати прямокутник
A
BCD
найбільшого периметра та знайти цей периметр.
2. Знайти всі пари натуральних чисел
(
)
yx; , які задовольняють
рівняння yxyx 48
22
+= .
3. Знайти принаймні один корінь рівняння
()
x
x
xxx
x
π
π
π
arccos
23
2log
1562
2
sin
2
++−=−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
.
ВІДДІЛЕННЯ КОМП’ЮТЕРНИХ НАУК
- 13 -
ВІДДІЛЕННЯ
КОМП’ЮТЕРНИХ НАУК
КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ
- 14 -
КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ З МАТЕМАТИКИ
9 клас
І рівень
1. При яких невід’ємних значеннях числа a для кожного
x
, що є
розв’язком нерівності
2
0
x
a−≤, буде справджуватись нерівність
2
230
x
x+−≤ ?
2. Схематично зобразити графік
2
x
x
y
x
x
−
+
=
−
.
3. Пішохід пройшов першу половину шляху зі швидкістю
км
4
год
.
З якою швидкістю він повинен рухатись другу половину шляху, щоб
його середня швидкість на всьому шляху дорівнювала
км
5
год
?
4. Вершинами трикутника є основи висот деякого гострокутного
трикутника
A
BC . Виявилось, що такий трикутник подібний до
трикутника
A
BC . Довести, що трикутник
A
BC правильний.
ІІ рівень
1. Скількома способами можна провести пряму, яка поділяє навпіл як
площу, так і периметр трикутника зі сторонами 8 см, 10 см і 12 см ?
2. Нехай
2,0 0,1
x
=±, 3, 2 0, 2y =±. Чи правда, що
1, 23 0, 07
xy
xy
=±
+
?
Відповідь обґрунтувати.
3. Знайти всі квадратні тричлени ()
f
x , для яких справджуються
нерівності:
(1) 5, (2) 4, (3) 2, (4) 1.
f
fff≥≤≥≤−
ВІДДІЛЕННЯ КОМП’ЮТЕРНИХ НАУК
- 15 -
ІІІ рівень
1. Яких значень може набувати дріб
2
2
2
1
x
y
x
x
+
=
−
+
, якщо
x
−довільне
число ?
2. Відомо, що n −ціле додатнє число, а дріб
73
45
n
n
+
+
можна скоротити.
На яке число цей дріб можна скоротити ? Який дріб вийде після
скорочення ?
3. Чи існує трапеція, основи якої дорівнюють 3 і 7, а бічні сторони
дорівнюють 13 і 15 ? Відповідь обґрунтувати.
10 клас
І рівень
1. Будемо до числа 12 додавати послідовно багато разів число 9. Чи
вийде коли-небудь число 2010 ?
2. Нехай 2,0 0,1
x
=±, 3, 2 0, 2y =±. Чи правда, що
1, 23 0, 07
xy
xy
=±
+
?
Відповідь обґрунтувати.
3. Побудувати графік
2
2yxx=−.
4. Вершинами трикутника є основи висот деякого гострокутного
трикутника
A
BC . Виявилось, що такий трикутник подібний до
трикутника
A
BC . Довести, що трикутник
A
BC правильний.
ІІ рівень
1. Знайти найменше і найбільше значення виразу
x
y+ , якщо
22
941xy+=.
2. Довести, що для довільного цілого m існує таке ціле n , що число
23mn+ без остачі ділиться на 7.
КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ
- 16 -
3. Чи існує трапеція, основи якої дорівнюють 3 і 7, а бічні сторони
дорівнюють 13 і 15 ? Відповідь обґрунтувати.
ІІІ рівень
1. Знайти всі додатні прості числа
x
, для кожного з яких число
2
571
x
x−+ є цілим числом.
2. Нехай ,,abc− сторони трикутника ,,
α
βγ
−
протилежні внутрішні
кути відповідно і
cos 2cos cos 2cos
ab
γ
βγ α
=
++
. Довести, що трикутник
рівнобічний або прямокутний.
3. Скількома способами можна розбити на пари 16 футбольних
команд ?
11 клас
І рівень
1. Розв’язати нерівність
12
2
log (log ( 1)) 1x
−
≥ .
2. Розв’язати рівняння
3
3
313 3
x
xx
+
−= −.
3. Нехай 2,0 0,1
x
=±, 3, 2 0, 2y =±. Чи правда, що
1, 23 0, 07
xy
xy
=±
+
?
Відповідь обґрунтувати.
4. Є паралелограм зі сторонами 5 і 12. Яких значень може набувати
довжина його більшої діагоналі ?
ІІ рівень
1. Чи можуть усі діагоналі опуклого шестикутника бути рівними за
довжиною ? Відповідь обґрунтувати.
2. Нехай
A
BCD − трикутна піраміда, у якій ,
E
F
−
середини ребер
A
B і
CD відповідно, ,DE CE AF BF⊥⊥. Довести, що
A
BCD
=
.
ВІДДІЛЕННЯ КОМП’ЮТЕРНИХ НАУК
- 17 -
3. Знайти множину значень функції
2
2
1
()
2
x
fx
xx
−
=
−
+
.
ІІІ рівень
1. Нехай
A
BCD − такий опуклий чотирикутник, що
70 , 37 .BAC BDC ABC∠=∠=∠=
oo
Знайти величину
B
DA
∠
.
2. Скількома способами можна розбити на пари 16 футбольних
команд ?
3. Знайти найменше значення
()
f
x
′
, якщо
43 2
() 8 18 4
f
xx x x x
=
++ −,
(;0]
x
∈−∞ .
КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ
- 18 -
ВІДДІЛЕННЯ МАТЕМАТИКИ
ВІДДІЛЕННЯ МАТЕМАТИКИ
- 19 -
КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ З МАТЕМАТИКИ
Секція “Математика”
9 клас
І рівень
1. Довести, що для довільного цілого m існує таке ціле n , що число
25mn+ без остачі ділиться на 7.
2. Нехай
2,0 0,1
x
=±
, 3, 2 0, 2y =±. Чи правда, що
1, 23 0, 07
xy
xy
=±
+
?
Відповідь обґрунтувати.
3. Схематично зобразити графік
2
x
x
y
x
x
+
−
=
+
.
4. В опуклому чотирикутнику
A
BCD площі трикутників
,,
A
BC BCD CDA дорівнюють відповідно
22 2
8,9,10см см см . Знайти площі
усіх чотирьох трикутників, утворених з чотирикутника
A
BCD після
проведення діагоналей.
ІІ рівень
1. Довести, що у довільному чотирикутнику, різниця між сумою
квадратів усіх сторін і сумою квадратів обох діагоналей є невід’ємною.
2. Нехай ,mn
−
довільні цілі невід’ємні числа. Довести, що число
64 64
11...11311...11
mn++
123123
без остачі ділиться на 7.
3. Довести, що число
33
980 980++− є цілим і знайти його.
КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ
- 20 -
ІІІ рівень
1. Нехай S − площа трикутника,
r
−
радіус вписаного у нього кола і
2
33Sr= . Довести, що трикутник рівносторонній.
2. Довести, що існує нескінченно багато прямих, кожна із яких має
єдину спільну точку з кожним графіком
2
4yx
=
− та
2
46yx x=−+.
Знайти рівняння кожної із таких прямих.
3. В трикутнику
A
BC висота
B
H ділиться бісектрисами, проведеними
з двох інших вершин, у відношенні
13:12 та 13:5 , рахуючи від вершини
B
. Знайти величину кута
B
.
10 клас
І рівень
1. Побудувати графік
2
6yxx=−.
2. Довести, що для довільного цілого m існує таке ціле n , що число
53mn+ без остачі ділиться на 7.
3. Розв’язати нерівність
22(2)(23)xxx
+
≥+ −.
4. Довести, що для довільного натурального числа
n справджується
рівність )24()64(...62)2()12(...)2()1( −
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
⋅
−⋅⋅+⋅+ nnnnnn .
ІІ рівень
1. Нехай
A
BCD − такий опуклий чотирикутник, що
71 , 38 .BAC BDC ABC∠=∠=∠=
oo
Знайти величину
B
DA
∠
.
2. Знайти найменше і найбільше значення виразу
37
25
xy
L
xy
+−
=
+−
, якщо
34
12
x
y
≤≤
⎧
⎨
≤≤
⎩
.