Комиссарчик В.Ф. Автоматическое регулирование технологических процессов
Подождите немного. Документ загружается.
11
Основные свойства преобразования Лапласа
1. Запаздыванию аргумента на
τ
соответствует умножение изображения на
τ
p
e
−
(теорема смещения оригинала), т.е.
τ
τ
p
epxtxL
−
=− )()}({
(4)
Это свойство позволяет находить изображения дифференциальных
уравнений с запаздывающим аргументом.
2. Дифференцированию оригинала при нулевых начальных условиях
соответствует умножение изображения на р:
),(
0)0(
ppx
dt
dx
L
x
=
=
поэтому формально переменную р можно считать символом
дифференцирования. В статике р=0.
В общем случае
)(
0)0(
pxp
dt
xd
L
k
x
k
k
=
=
(5)
Поскольку интегрирование есть действие обратное дифференцированию,
интегрированию оригинала соответствует деление изображения на р:
{
}
ppxdttxL /)()( =
∫
Свойство (5) позволяет записать изображение по Лапласу
дифференциального уравнения (2):
)()()()1(
01
1
1
pxbpbpypapapa
m
m
n
n
n
n
++=++++
−
−
LL
Таким образом, изображение по Лапласу дифференциального
уравнения (2) представляет алгебраическое выражение, которое можно
разрешить относительно изображения выходной переменной у(р), а затем
снова перейти от изображения к оригиналу. Эта операция называется
обратным преобразованием Лапласа и обозначается оператором
1−
L
:
{
}
)()(
1
pxLtx
−
=
12
Обратное преобразование Лапласа определяется интегралом
∫
+
−
=
ωα
ωα
π
j
j
pt
dpepx
j
tx )(
2
1
)(
Для облегчения нахождения изображения по оригиналу и оригинала
по изображению составлены таблицы соответствия между оригиналами и
их изображениями для простейших функций. (Эти таблицы приводятся в
руководствах по преобразованию Лапласа и в учебниках по теории
управления). Для нахождения оригиналов сложных изображений
пользуются формулой разложения изображения на простые дроби. (см
п.6.3.).
Отношение изображения по Лапласу выходной переменной к
изображению входной переменной при нулевых начальных условиях
называется передаточной функцией
,
1
)(
)(
)(
0
++
++
==
L
L
n
n
m
m
pa
bpb
px
py
pW
или, поскольку
Kb =
0
, передаточную функцию можно записать в
виде:
,
)(
)(
1
1
)(
pA
pB
K
pa
pb
KpW
n
n
m
m
=
++
++
=
L
L
(6)
где А(р) и В(р) - полиномы от р порядков n и m соответственно.
Какая же связь между передаточной функцией и статическим
коэффициентом передачи?
Передаточная функция – это динамическая характеристика,
коэффициент передачи – статическая характеристика. Статика (покой) есть
частный случай динамики (движения). Следовательно, К есть частный
случай W(p) в статике. Поскольку в статике р=0, то
)0(WК
=
13
Временные характеристики
Временной характеристикой объекта называется его реакция на
типовой апериодический сигнал. В качестве входных сигналов чаще всего
используют ступенчатую функцию или её производную -
δ
- функцию.
Реакция объекта или любого динамического звена на ступенчатую
функцию единичной амплитуды (единичную ступенчатую функцию)
называется переходной характеристикой объекта (звена) h(t). Реакцию
объекта на ступеньку произвольной амплитуды х
0
называют кривой
разгона объекта (рис.4). Для получения переходной характеристики из
кривой разгона у(t) следует разделить каждую ординату кривой разгона на
амплитуду ступеньки:
0
/)()( xtyth
=
Реакция объекта на
δ
функцию (в реальных условиях на импульс
конечной длительности и амплитуды, например, прямоугольный)
называется импульсной характеристикой (весовой функцией) объекта
управления (рис. 5).
x
0
x
x
t
t
t
t
y
y
Рис. 4. Рис. 5.
14
Частотные характеристики
Определяют поведение объекта в частотной области при подаче на
его вход гармонического сигнала:
,sin)(
max
txtx
ω
=
где
Tf /22
π
π
ω
==
- круговая частота сигнала, f - частота, T -
период повторения сигнала, х
max
–амплитуда сигнала.
На выходе линейного объекта также возникают гармонические
колебания той же частоты, но с другой амплитудой и фазой (рис. 6):
0
max
360);()(
T
t
tyty
∆
=+=
ϕϕω
Значения y
max
и
ϕ
зависят от частоты входного сигнала. Поскольку
нас интересует изменение сразу двух величин – амплитуды и фазы,
частотные характеристики удобно рассматривать в комплексной
плоскости. Гармонический входной сигнал изображается на комплексной
плоскости вектором
)(
ω
jx
, длина (модуль) которого равен амплитуде
х
max
, а угол наклона (аргумент) равен фазе колебаний
t
ω
(рис. 7):
)()()(
max
ωω
ω
jxextx
tj
=∞
(Символ
∞
в данном случае означает «изображается»).
)(
ω
jx
)(
ω
jy
ϕ
t
ω
T
t∆
x(
t
),
y(
t
)
x
max
y
max
Рис. 6. Рис. 7.
15
Аналогично выходной сигнал объекта y(t) изображается в
комплексной плоскости вектором
)(
ω
jy
:
)( )()(
)(
max
ωω
ϕω
jyeyty
tj
=∞
+
Изображения
)(
ω
jx
и
)(
ω
jy
называются изображениями по Фурье
(спектрами Фурье) гармонических сигналов x(t) и y(t).
Отношение изображений Фурье выходного гармонического сигнала
к входному называется частотной передаточной функцией (ЧПФ) или
комплексной частотной характеристикой
)(
ω
jW
:
)()(
max
max
)(
)(
)(
)(
)(
)(
ωϕωϕ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
jj
eAe
x
y
jx
jy
jW ===
Модуль частотной передаточной функции
)(
ω
A
на частоте
ω
определяет коэффициент передачи объекта на данной частоте,
)(
ω
ϕ
- сдвиг
по фазе между выходным и входным сигналами на частоте
ω
.
Передаточная функция есть функция комплексной переменной
ω
α
j
p
+=
. Частотная передаточная функция есть функция мнимой
переменной
ω
j
. Следовательно, частотная передаточная функция есть
частный случай передаточной функции, когда переменная р принимает
чисто мнимое значение
ω
j
. Поэтому формально выражение для частотной
передаточной можно найти, заменяя в передаточной функции
)( pW
переменную р на
ω
j
, т.е. полагая
ω
j
p
=
:
1)(
)(
)(
0
++
++
=
LL
LL
n
n
m
m
ja
bjb
jW
ω
ω
ω
В чём же разница между передаточной функцией и частотной
передаточной функцией?
Передаточная функция отражает поведение объекта регулирования
или любого динамического звена в динамике при произвольной форме
входного воздействия. Частотная передаточная функция отражает
16
поведение объекта (звена) лишь в установившемся режиме гармонических
колебаний. Таким образом, частотная передаточная функция есть частный
случай передаточной функции (так же, как мнимая переменная
ω
j
есть
частный случай комплексной переменной р).
Частотную передаточную функцию записывают в алгебраической
форме (декартовых координатах):
),()()(
ω
ω
ω
jQPjW
+
=
[]
)],([)(;)(Re)(
ω
ω
ω
ω
jWJmQjWP
=
=
либо в показательной форме (полярных координатах):
)(
)()(
ωϕ
ωω
j
eAjW =
[
]
)(arg)(;)()(
ωωϕωω
jWjWA ==
Годограф вектора
)(
ω
jW
(график, описываемый концом вектора
)(
ω
jW
при изменении частоты от о до
∞
) называется амплитудно-фазовой
характеристикой (АФХ). АФХ показывает, как изменяются отношения
амплитуд и сдвиг по фазе между выходным и входным сигналами при
изменении частоты входного сигнала (рис. 8).
Зависимости отношения амплитуд выходного и входного сигналов
)(
ω
A
и сдвига по фазе между выходным и входным сигналами
)(
ω
ϕ
от
частоты называются амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной
(ФЧХ) характеристиками соответственно (рис. 9). АФХ содержит такую
же информацию об объекте (звене), как АЧХ и ФЧХ вместе взятые.
)(
ω
A
0
ω
Рис. 9.
)(
0
ω
ϕ
j
)(
ω
ϕ
ω
ω
)(
0
ω
A
Рис. 8.
17
H
Q
пр
Q
ст
Рис. 10.
Основные свойства объектов регулирования.
Нагрузка
Нагрузка – количество вещества или энергии, отбираемое в процессе
работы от объекта регулирования. Изменение нагрузки, как правило,
является основным возмущающим воздействием в системе регулирования,
т.к. приводит к нарушению равновесия между притоком и стоком вещества
(энергии) в объекте, что вызывает изменение регулируемой переменной
(например, уровня жидкости в ёмкости (рис. 10))
Кроме того, изменение нагрузки приводит к изменению
динамических характеристик объекта. Например, в ёмкости с идеальным
перемешиванием (рис.10) постоянная времени равна отношению объёма
жидкости, запасённой ёмкостью, к нагрузке, т.е. постоянная времени этого
объекта обратно пропорциональна нагрузке.
Ёмкость
Ёмкость- количество вещества (энергии), которое способен накопить
объект. Ёмкость характеризует инерционность объекта регулирования.
Объекты регулирования могут быть одно- и многоемкостными.
Многоемкостные объекты состоят из двух и более емкостей, разделённых
18
переходными сопротивлениями. Количество емкостей определяет порядок
дифференциального уравнения объекта. Например, ёмкость с жидкостью
на рис. 10 относится к числу одноёмкостных объектов. Примером
трёхемкостного объекта является кожухо-трубчатый теплообменник на
рис. 2, в котором нагреваемая жидкость получает тепло через стенки
трубок от теплоносителя. Первая ёмкость – количество тепла в
нагреваемой жидкости в межтрубном пространстве. Вторая ёмкость –
количество тепла в теплоносителе внутри трубок. Третья ёмкость –
количество тепла в стенках труб (эта ёмкость обычно мала по сравнению с
остальными, и ею пренебрегают).
Самовыравнивание
Самовыравнивание – способность объекта восстанавливать
равновесие между притоком и стоком вещества (энергии) за счёт
изменения регулируемой переменной вследствие внутренней
отрицательной обратной связи в объекте регулирования. Например, в
ёмкости со свободным сливом (рис. 10) при увеличении притока
увеличивается уровень и за счёт этого увеличивается сток до тех пор, пока
равновесие между притоком и стоком не восстановится. Чем больше
величина самовыравнивания, тем меньше под действием возмущений
отклоняется регулируемая переменная. Таким образом, самовыравнивание
облегчает работу автоматического регулятора.
В зависимости от величины самовыравнивания объекты
регулирования можно разделить на объекты с положительным, нулевым и
отрицательным самовыравниванием.
С динамической точки зрения объекты с положительным
самовыравниванием являются устойчивыми инерционными звеньями. Их
переходные характеристики заканчиваются в установившемся режиме
19
участком, на котором регулируемая переменная приходит в состояние
покоя и перестаёт изменяться (рис. 11, кривая 1).
Количественно величина самовыравнивания характеризуется
коэффициентом самовыравнивания
ρ
, представляющем модуль величины
обратной статическому коэффициенту передачи объекта:
К
1
=
ρ
Коэффициент самовыравнивания показывает, на сколько должна
измениться входная переменная объекта для того, чтобы выход изменился
на единицу.
Линейные объекты обладают постоянным самовыравниванием
)( const=
ρ
, нелинейные – переменным
)( Var
=
ρ
.
К объектам, не обладающим самовыравниванием (объектам с
нулевым самовыравниванием), относятся так называемые нейтральные или
астатические объекты, представляющие с динамической точки зрения
интегрирующие звенья. Изменения регулируемой переменной в таких
объектах могут быть сколь угодно большими. Примером нейтрального
Рис. 11.
t
y
3
2
1
20
объекта является ёмкость с принудительным сливом (рис. 12). Здесь при
стпр
QQ ≠
уровень растёт до переполнения ёмкости или падает до нуля.
Рис. 12.
При равенстве между притоком и стоком такой объект может
находиться в равновесии при любом значении регулируемой переменной,
поэтому и называется нейтральным или астатическим.
Установившийся участок переходной характеристики астатического
объекта представляет прямую, на которой регулируемая переменная
изменяется с постоянной скоростью (кривая 2 на рис. 11).
Уравнение идеального интегрирующего звена
∫
=
t
a
dttxКty
0
,)()(
откуда
x
dtdy
К
a
/
=
Параметр К
а
, характеризующий объекты с нулевым
самовыравниванием, называется приведённой скоростью разгона
нейтрального объекта и имеет смысл скорости изменения регулируемой
переменной, приходящейся на единицу входного воздействия.
Существуют объекты, в которых при определённых условиях
возникает неуправляемый процесс. В этих объектах скорость изменения
регулируемой переменной в переходном процессе имеет тенденцию к
Q
пр
Q
ст
Н