Князев В.С. Линейные электрические цепи однофазного переменного тока

Рисунок 7 – Расчётная схема цепи с несколькими источниками энергии

Собственные сопротивления контуров (два одинаковых индекса):

.

;

43222

2111

ZZZZ

ZZZ





Общие сопротивления смежных контуров (два различных индекса):

.

;0

;

323

13

22112

ZZ

Z

ZZZ







Контурные ЭДС:

.

;

24322

2111









EEEE

EEE

Для определения контурных токов в электрической цепи (рисунок 7)

имеем систему уравнений (с учётом того, что



JI

33

):

 



















.

;

3

24322

432

11

2

2122

2

11

21

JZEEEIZZZIZ

EEIZIZZ

Решение системы уравнений относительно контурных токов можно

найти с помощью программы компьютерной математики MathCAD:

.;:

;:;:

22

11

1

3

24

3

21

4322

221























I

IBAI

JZEEE

EE

B

ZZZZ

ZZZ

A

kkkk

21

По найденным контурным токам определятся токи в ветвях

электрической цепи:

.

;

224

223

22112

111













II

JII

III

II

Метод эквивалентного генератора основан на теореме об

эквивалентном генераторе (теореме об активном двухполюснике):

активный двухполюсник по отношению к рассматриваемой ветви можно

заменить эквивалентным источником напряжения, ЭДС которого равна

напряжению холостого хода на зажимах активного двухполюсника

















..хх

э

UE

, а внутреннее сопротивление которого равно входному

сопротивлению пассивного двухполюсника, полученного из исходного

активного двухполюсника исключением источников энергии при

сохранении их внутренних сопротивлений

 

вхвн

ZZ 

.

Таким образом, сложную разветвлённую цепь по отношению к

ветви с сопротивлением

к

Z

и током

к

I



можно рассматривать как

эквивалентный генератор (ЭГ) (рисунок 8).

Рисунок 8 – Теорема об эквивалентном генераторе

Ток в рассматриваемой ветви на основании метода эквивалентного

генератора определится по формуле:

22

квх

хх

квн

э

к

ZZ

U

ZZ

E

I











..

.

,

где

хх

U



– напряжение холостого хода на зажимах двухполюсника

при отключенном сопротивлении ветви с искомым током

 





к

Z

,

взятое по направлению совпадающим с направлением тока

ветви

к

I



;

.вх

Z

– входное сопротивление пассивного

двухполюсника относительно зажимов, к которым подключено

сопротивление

к

Z

в ветви с искомым током (при этом

источники энергии исключаются: источники ЭДС

закорачиваются при сохранении в схеме их внутренних

сопротивлений, а ветви с источниками тока разрываются).

Пример 2

Исходные данные группового варианта (по данным таблицы 1)

приведены в таблице 7, данные индивидуального варианта задания (по

данным таблицы 2) приведены в таблице 6, параметры источников энергии

(по данным таблицы 3) приведены в таблице 8.

Таблица 6 – Переводные коэффициенты варианта задачи

№

цепи

к

R

к

L

к

С

Отсутствуют

элементы в

схеме рисунка 1

и рисунка 2

Отсутствуют

источники

в схеме

рисунка 2

Определить

ток

в схеме

рисунка 2

0 0,90 1,00 1,40

L

3

, L

4

, C

4

e

2

, e

4

i

4

Таблица 7 – Базовые параметры элементов варианта задачи

U

m

,

B

,

град

R

10

,

Ом

R

20

,

Ом

R

30

,

Ом

R

40

,

Ом

L

10

,

мГн

L

20

,

мГн

C

10

,

мкФ

C

20

,

мкФ

C

30

,

мкФ

212,13 – 30 30 40 50 10 35 89,13 90,95 162,4 41,34

Таблица 8 – Параметры источников энергии варианта задачи

E

m1 ,

В

1

e

ψ

,

град

E

m3

,

В

3

e

ψ

,

град

J

m

,

A

j

ψ

,

град

23

150 – 45 198 120 10 90

Для рассматриваемого варианта задачи схема заданной

электрической цепи имеет вид, показанный на рисунке 9.

Рисунок 9 – Схема цепи с несколькими источниками энергии

Сопротивления элементов электрической цепи:

0,273090,0

101

 RkR

R

Ом;

0,364090,0

202

 RkR

R

Ом;

0,455090,0

303

 RkR

R

Ом;

0,91090,0

404

 RkR

R

Ом;

0,11100,3500,1502

3

101

1







LkLX

LL

Ом;

0,281013,8900,1502

3

202

2







LkLX

LL

Ом;

0,25

1095,9040,1502

1

2

11

6

101

1





















СkfС

X

C

С

Ом;

0,14

104,16240,1502

1

2

11

6

202

2





















СkfС

X

C

С

Ом;

0,55

1034,4140,1502

1

2

11

6

303

3





















СkfС

X

C

С

Ом.

Комплексные сопротивления ветвей цепи (рисунок 10):



41,27

1

414,301427)2511(27)(

11

j

CL

ejjXXjRZ





Ом;



25,21

2

626,381436)1428(36)(

22

j

CL

ejjXXjRZ 

Ом;



71,50

3

063,715545

3

j

C

ejXjRZ





Ом;



0

4

0,99

j

eRZ 

Ом.

Комплексные проводимости ветвей цепи:

24

 

341,273

1

10136,15189,2910880,32

1



 je

Z

Y

j



См;

 

325,213

2

10383,9129,2410889,25

1



 je

Z

Y

j



См;

 

371,503

3

10891,10911,810072,14

1



 je

Z

Y

j



См;

30

4

10111,111111111,0

1







j

e

Z

Y

См.

Комплексные действующие значения ЭДС источников энергии и

тока источника тока:

 

7575066,106

2

150

2

4545

1









jeee

E

jj

e

j

m





В;

 

24,1210,700,140

2

198

2

120120

3







jeee

E

jj

e

j

m





В;

071,7071,7

2

10

2

9090







jeee

J

jj

j

m

j





А.

Расчётная схема заданной электрической цепи приведена на рисунке 10.

Рисунок 10 – Расчётная схема электрической цепи

При условии, что опорным является узел 3 (узел 0), уравнения по

методу узловых напряжений для электрической цепи (рисунок 10) для

узловых напряжений

20231013

;



 UUUU

запишутся:



















.

;

3

20

22

10

21

1

120

12

10

11

JYEUYUY

YEUYUY

25

Собственные узловые проводимости для узлов электрической цепи:

   



 33

42111

10383,9129,2410136,15189,29 jjYYYY

 



0,233

16453,010753,5429,16410111,111

j

ej 



См;

 



 33

4322

10111,11110891,10911,8 jYYY

 



18,53

120515,010891,10022,120

j

ej 



См.

Общие узловые проводимости цепи:



0

42112

111111,0

j

eYYY 

См.

Узловые токи электрической цепи (правые части уравнений):



59,1741,27345

1

4875,31088,32066,106

jjj

eeeYE







А;

 

.A6405,738903,794424,131803,094424,1

071,7071,710072,14140

74,104

71,503120

3





j

jj

ejj

jjeeJYE









Узловые напряжения

10



U

и

20



U

определятся решением

полученной системы уравнений:





















.6405,7120515,0111111,0

;4875,3111111,0164530,0

74,104

20

18,5

10

0

59,17

20

0

10

2



jjj

eUeUe

Решение системы уравнений относительно узловых напряжений

выполним с помощью программы компьютерной математики MathCAD:

.

785.132909.45

429.81084.54

U;BA:U

;

6405.7

4875.3

:B

;

120515.0111111.0

111111.016453.0

:A

k0

1

k0

deg74.104

deg59.17

deg18.5de g0

deg0deg2

i

e

ee

j

jj























Таким образом, узловые напряжения электрической цепи:

.497,140785,132909,45

;754,97429,81084,54

93,70

20

41,56

10



j

ejU





По найденным узловым напряжениям определятся на основании

закона Ома токи в ветвях электрической цепи:

 



 



 

A;249,4978,2189,57575

429,81084,541088,32

97,54

41,273

1

10

1























jej

jeEUYI

j



26

 

 

A;457,1069,2531,2

754,9710889,25

84,144

41,5625,213

10

2

























je

eeUYI

j

jj





 



 



 

A;365,1907,0639,124,1210,70

785,132909,4510072,14

60,123

71,503

3

20

3























jej

jeEUYI

j



 



 



 

A.706,5908,0778,5785,132909,45

429,81084,54111111,0

96,80

0

2010

4























jej

jeUUYI

j



Баланс комплексных, активных и реактивных мощностей источников

электрической энергии и приёмников запишется:

.. приёмнист

SS 

;

.. приёмнист

PP 

;

.. приёмнист

QQ 

.

Комплексная мощность источников энергии:

     

 

BA.826,434973,1378

584,324934,938530,205026,102288,95065,542

071,7497,140

639,10,140189,5066,106

9093,70

60,12312097,5445

20

3

1

31.































j

jjj

ee

eeee

JUIEIESSSS

jj

jjjj

Jист





Активная и реактивная мощности источников энергии:

973,1378

.



ист

P

Вт;

826,434

.



ист

Q

ВАр.

Активная мощность приёмников энергии:

Вт.961,1378468,300884,120615,230994,726

778,59639,145531,236189,527

2222

2

44

2

33

2

22

2

11.





 IRIRIRIRP

приёмн

Реактивная мощность приёмников энергии:

ВАр.025,435748,147683,89960,376

639,155531,2)1428(189,5)2511(

)()()(

222

2

3

2

1.

32211





 IXIXXIXXQ

CCLCLприёмн

Относительные погрешности выполненного расчёта:

%1%0009,0%100

973,1378

012,0

%100

Р

РP

ΔP

ист.

приёмн.ист.

%







;

%1%046,0%100

826,434

199,0

%100

Q

QQ

ΔQ

ист.

приёмн.ист.

%







.

27

Расчёт режима электрической цепи выполнен верно, баланс

мощностей соблюдается с требуемой точностью.

На основании метода контурных токов для заданной электрической

цепи (рисунок 10) необходимо составить два уравнения

 

 

21уN

ИТ

вв



для неизвестных контурных токов

11



I

и

22



I

. Ветвь

с источником тока включена в дополнительный контур, контурный ток

которого известен и равен току источника тока:



JI

33

.

Задаёмся независимыми контурами, указываем в них направления

контурных токов (рисунок 10). Уравнения для контуров по методу

контурных токов запишутся (с учётом того, что



JI

33

):

 



















.

;

3

322

432

11

2

1

22

2

11

21

JZEIZZZIZ

EIZIZZ

Собственные сопротивления контуров:

.4190

;063

43222

2111





jZZZZ

jZZZ

Общие сопротивления смежных контуров:

 

.5545

;0

;1436

323

13

22112







jZZ

Z

jZZZ

Правые части уравнений, записанных для контурных токов:

.435,439905,318

;7575

3

322

111









jJZEE

jEE

Решение системы уравнений относительно контурных токов с

помощью программы компьютерной математики MathCAD:

.

706.5908.0

249.4977.2

;:

;

435.439905.318

7575

:;

41901436

1436063

:

1

i

IBAI

j

B

jj

A

kkkk





















Таким образом, контурные токи для электрической цепи равны:

;249,4977,2

11





jI

.706,5908,0

22





jI

По найденным контурным токам определятся токи в ветвях цепи:

28

;249,4977,2

111





jII

;457,1069,2

22112





jIII

;365,1908,0

223





jJII

.706,5908,0

224





jII

Значения токов ветвей, найденные методом контурных токов,

совпали со значениями токов, определёнными методом узловых

напряжений.

На основании теоремы об эквивалентном генераторе искомый ток в

сопротивлении

4

Z

определится по формуле:

4

..

ZZ

U

I

вх

хх







.

Напряжение холостого хода

..хх

U



определится на основании

режима холостого хода электрической цепи при Z

4

=  (рисунок 11).

Рисунок 11 – Режим холостого хода электрической цепи при





4

Z

Для левого контура схемы (рисунок 11) по второму закону

Кирхгофа получаем:

   

А.684,1

63

066,106

14361427

066,106

45

0

45

21

1

..



j

e

jj

e

ZZ

E

I

хх





















По второму закону Кирхгофа для внутреннего контура

электрической цепи (рисунок 11) имеем:

3

23

..



 EIZJZU

хх

.

29

Таким образом, напряжение холостого хода

.

.хх

U



определится по

формуле:

 

В.0,533634,465362,259

684,1626,38071,7063,71

24,12100,70

12,119

4525,219071,50

23

3

..





j

jjjj

ej

eeee

jIZJZEU

хх













Входное сопротивление пассивного двухполюсника

вх

Z

относительно зажимов, к которым подключено сопротивление

4

Z

в ветви

с искомым током, определится на основании схемы электрической цепи

(рисунок 10) при исключении из неё источников энергии (рисунок 12).

Рисунок 12 – Схема для определения входного сопротивления цепи

Входное сопротивление электрической цепи относительно

рассматриваемой ветви определится:

 

















5545

)1436()1427(

626,38414,30

25,2141,27

3

21

j

jj

ee

Z

ZZ

Z

jj

вх



   









5545647,185545

63

77,1174

16,6

jej

e

j



   



90,41

359,850,57539,6355452539,18

j

ejjj





Ом.

Тогда искомый ток в ветви с сопротивлением

4

Z

определится:

   

 

A.706,5908,0778,5

255,92

0,533

0,57539,72

0,533

957539,63

0,533

96,80

16,38

12,119

12,11912,119

4

..





























je

e

j

e

j

e

ZZ

U

I

j

jj

вх

хх





Ток в ветви будет иметь наибольшее значение, если комплексное

сопротивление заданной ветви будет равно и противоположно по знаку

мнимой части входного сопротивления (режим резонанса напряжений).

Таким образом:

30

Князев В.С. Линейные электрические цепи однофазного переменного тока

Подождите немного. Документ загружается.