Князев В.С. Линейные электрические цепи однофазного переменного тока

Все токи ветвей электрической цепи связаны соотношением (на

основании первого закона Кирхгофа в комплексной форме):

0

321





III

, или





321

III

.

Проверка правильности выполненного расчёта может быть сделана

на основании составления баланса мощностей – равенства комплексных,

активных и реактивных мощностей источника электрической энергии и

приёмников:

приёмн.ист.

SS 

;

приёмн.ист.

PP 

;

приёмн.ист.

QQ 

.

Комплексная мощность, отдаваемая источником энергии в

электрическую цепь:

.QPsincos

S

ист.ист.11

1

)

1

ист.

(

















jIUjIU

eIUeIUeIeUIU

j

jj

j

II









Здесь

1

I

j

eII









– сопряжённый комплекс тока в источнике.

Активная и реактивная мощности приёмников энергии:

2

14

2

33

2

22

2

11.

IRIRIRIRP

приёмн



;

.)()(

)()(

2

1

2

3

2

1.

4433

2211

IXXIXX

IXXIXXQ

CLCL

CLCLприёмн





По найденным комплексным действующим значениям токов ветвей

их законы изменения во времени (мгновенные значения) запишутся:

)(sin)2(sin2)(

11

111 ImI

tItfIti





;

)(sin)2(sin2)(

22

222 ImI

tItfIti





;

)(sin)2(sin2)(

33

333 ImI

tItfIti





.

Векторной диаграммой называют совокупность векторов на

комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяющиеся во

времени величины одной частоты для момента времени

0t

.

Топографической диаграммой называют такую векторную диаграмму

комплексных потенциалов (напряжений), когда каждой точке схемы

соответствует определённая точка на векторной диаграмме.

Топографическую диаграмму для электрической схемы строят, откладывая

на комплексной плоскости векторы комплексных напряжений

последовательно для всех элементов цепи, получая комплексные

потенциалы всех точек схемы.

Алгоритм построения векторных диаграмм

1. Задаются комплексной плоскостью.

11

2. Выбирают масштаб тока m

i

и в этом масштабе на комплексной

плоскости из начала координат откладывают найденные комплексные

действующие значения токов ветвей (построение векторов на комплексной

плоскости удобно выполнять по их проекциям на координатные оси).

3. Определяют комплексные действующие значения напряжений на

всех элементах электрической цепи.

4. Обозначают все точки ветвей схемы (буквами или цифрами). Одну

из точек схемы принимают за точку нулевого потенциала (эта точка

помещается в начало координат комплексной плоскости). Определяют

комплексные действующие значения потенциалов всех остальных точек

схемы по отношению к точке с нулевым потенциалом.

5. Выбирают масштаб напряжений (потенциалов) m

u

и в этом

масштабе последовательно на комплексной плоскости строят комплексные

потенциалы всех точек схемы.

Примечание: При построении топографической диаграммы

целесообразно выбирать последовательность

построения такой, чтобы обход пассивных

элементов схемы осуществлялся против направления

тока в них. В этом случае потенциалы следующих

точек возрастают на величину падения напряжения на

соответствующем элементе и на диаграмме вектора

напряжений суммируются (в противном случае

потенциалы уменьшаются и вектора напряжений

необходимо вычитать).

Пример 1

Исходные данные группового варианта (по данным таблицы 1)

приведены в таблице 5, а исходные данные индивидуального варианта

задания (по данным таблицы 2) приведены в таблице 4.

Таблица 4 – Переводные коэффициенты варианта задачи

№

цепи

к

R

к

L

к

С

Отсутствуют

элементы в

схеме рисунка 1

и рисунка 2

Отсутствуют

источники

в схеме

рисунка 2

Определить

ток

в схеме

рисунка 2

0 0,90 1,00 1,40

L

3

, L

4

, C

4

e

2

, e

4

i

4

12

Таблица 5 – Базовые параметры элементов варианта задачи

U

m

,

B

, град

R

10

,

Ом

R

20

,

Ом

R

30

,

Ом

R

40

,

Ом

L

10

,

мГн

L

20

,

мГн

C

10

,

мкФ

C

20

,

мкФ

C

30

,

мкФ

212,13 – 30 30 40 50 10 35 89,13 90,95 162,4 41,34

Для рассматриваемого варианта схема заданной электрической цепи

показана на рисунке 5.

Рисунок 5 – Расчётная схема электрической цепи

Активные и реактивные сопротивления элементов электрической

цепи токам заданной частоты f = 50 Гц с учётом значений переводных

коэффициентов параметров элементов определятся:

0,273090,0

101

 RkR

R

Ом;

0,364090,0

202

 RkR

R

Ом;

0,455090,0

303

 RkR

R

Ом;

0,91090,0

404

 RkR

R

Ом;

0,11100,3500,1502

3

101

1







LkLX

LL

Ом;

0,281013,8900,1502

3

202

2







LkLX

LL

Ом;

0,25

1095,9040,1502

1

2

11

6

101

1





















СkfС

X

C

С

Ом;

0,14

104,16240,1502

1

2

11

6

202

2





















СkfС

X

C

С

Ом;

0,55

1034,4140,1502

1

2

11

6

303

3





















СkfС

X

C

С

Ом.

13

Комплексные сопротивления ветвей электрической цепи (рисунок 3):



41,27

1

414,301427)2511(27)(

11

j

CL

ejjXXjRZ





Ом;



25,21

2

626,381436)1428(36)(

22

j

CL

ejjXXjRZ 

Ом;



71,50

3

063,715545

3

j

C

ejXjRZ





Ом;



0

4

0,99

j

eRZ 

Ом.

Эквивалентное комплексное сопротивление участка электрической

цепи с параллельным соединением ветвей (рисунок 4) определится:

.Ом)377,1204,30(235,30

785,90

88,2744

4181

88,2744

)5545()1436(

063,71626,38

,

61,2

85,26

46,29

46,2971,5025,21

32





























je

e

j

e

jj

ee

ZZ

Z

j

jjj





Эквивалентное комплексное сопротивление всей электрической

цепи:



08,13

4321

966,67377,15204,66

,

j

ejZZZZ





Ом.

Комплексное действующее значение напряжения на входе цепи:

)0,75904,129(150

2

13,212

2

30)30(









jeee

U

jj

j

m





В.

Комплексные действующие значения токов ветвей цепи:

)642,0111,2(207,2

966,67

150

92,16

08,13

30

1











je

e

Z

U

I

j



А.



53,1992,1661,2

1

3,2

729,66207,2235,30

jjj

eeeIZU







B.

)128,1308,1(728,1

626,38

729,66

78,40

25,21

53,19

2

3,2

2











je

e

Z

U

I

j



А;

)486,0803,0(939,0

063,71

729,66

18,31

71,50

53,19

3

3,2

3











je

e

Z

U

I

j



А.

Проверка найденных значений токов по первому закону Кирхгофа:

   





132

642,0111,2486,0803,0128,1308,1 IjjjII

.

Баланс мощностей источника и приёмников:

приёмн.ист.

SS 

;

приёмн.ист.

PP 

;

приёмн.ист.

QQ 

.

14

Комплексная мощность, отдаваемая источником энергии в цепь:















08,1392,1630

1

ист.

05,331207,2150S

jjj

eeeIU

)920,74461,322()08,13sin(05,331)08,13cos(05,331  jj



ВА.

Таким образом, активная и реактивная мощности, отдаваемые

источником электрической энергии в цепь:

461,322P

ист.



Вт;

920,74Q

ист.



ВАр.

Активная мощность приёмников энергии:

.Вт523,322

838,43677,39495,107513,131207,29939,045

728,136207,227P

22

222

14

2

33

2

22

2

11приёмн.





 IRIRIRIR

Реактивная мощность приёмников энергии:

.ВАр883,74495,48804,41192,68

939,055728,1)1428(207,2)2511(

)()()(Q

222

2

3

2

1приёмн.

32211





 IXIXXIXX

CCLCL

Относительные погрешности выполненного расчёта:

%1%0192,0%100

461,322

062,0

%100

Р

РP

ΔP

ист.

приёмн.ист.

%







;

%1%0494,0%100

920,74

037,0

%100

Q

QQ

ΔQ

ист.

приёмн.ист.

%







.

Расчёт режима электрической цепи выполнен верно, баланс

мощностей соблюдается с требуемой точностью.

По найденным комплексным действующим значениям токов ветвей

их законы изменения во времени запишутся:

)92,16314(sin121,3)92,16(sin207,22)(

1



 ttti



А;

)78,40314(sin444,2)78,40(sin728,12)(

2



 ttti



А;

)18,31314(sin328,1)18,31(sin939,02)(

3



 ttti



А.

Для построения топографической векторной диаграммы находим

напряжения на всех элементах цепи:

15

;В)343,17010,57(

589,59207,227

92,1692,160

11

1









j

eeeIRU

jjj

R



;В)226,23065,7(

277,24207,211

08,7392,1690

1









j

eeeIXjU

jjj

L



;В)787,52058,16(

175,55207,2

92,10692,1690

1

25

1









j

eeeIXjU

jjj

С



;В)632,40105,47(

208,62728,136

78,4078,400

22

2









j

eeeIRU

jjj

R



;В)637,36602,31(

384,48728,128

22,4978,4090

2









j

eeeIXjU

jjj

L



;В)319,18801,15(

192,24728,114

78,13078,4090

2









j

eeeIXjU

jjj

С



;В)877,21151,36(

255,42939,045

18,3118,310

33

3







j

eeeIRU

jjj

R



;В)185,44738,26(

645,51939,055

82,5818,3190

3









j

eeeIXjU

jjj

С



.В)781,5003,19(

863,19207,29

92,1692,160

14

4









j

eeeIRU

jjj

R



За точку нулевого потенциала принимаем точку наименьшего

потенциала схемы – точку “ а ”, таким образом:

0



a



.

Тогда комплексные потенциалы остальных точек схемы определятся:



92,16

863,19781,5003,19

4

j

R

ab

ejU









В;



43,82

312,24100,24202,3

2

j

C

bc

ejU









В;



15,52

982,81732,64307,50

2

j

R

cd

ejU









В;



93,18

593,86095,28909,81

2

j

L

de

ejU









В;



85,50

299,104882,80851,65

1

j

C

ef

ejU









В;



64,38

299,157225,98861,122

1

j

R

fg

ejU









В;







 UejU

j

L

gh

В019,150999,74926,129

30

1





;



27,16

455,57096,16154,55

3

j

R

bm

ejU 





В.

16

По найденным напряжениям на элементах цепи и комплексным

потенциалам точек схемы строится для электрической цепи в масштабе

топографическая векторная диаграмма напряжений.

Векторная диаграмма токов и топографическая векторная

диаграмма напряжений для заданной цепи (рисунок 5) показана на рисунке

6.

Рисунок 6 – Векторная диаграмма токов и топографическая

векторная диаграмма напряжений

Методические указания к решению задачи 2.

Исходная цепь синусоидального тока (рисунок 2) содержит

несколько источников энергии (один из них – источник тока). Цепь имеет

три узла (у = 3) и пять ветвей (в = 5), причём одна из ветвей электрической

цепи содержит источник тока (в

и

т

= 1).

Метод узловых напряжений (потенциалов) основан на применении

первого закона Кирхгофа и закона Ома. По методу узловых напряжений

составляются уравнения для узловых напряжений, при условии, что один

из узлов цепи принимается за опорный. (По методу узловых потенциалов

опорный узел заземляется, его потенциал принимается равным нулю, а

17

уравнения составляются для относительных потенциалов остальных

узлов). Число уравнений, которые должны быть составлены для цепи по

методу узловых напряжений (потенциалов) на единицу меньше числа

узлов (у – 1 = 2).

В общем виде по методу узловых напряжений уравнение для k-того

узла электрической цепи запишется:











































к

у

к

кк

к

YEJYUYU

0

1

0

,

где

0

к

U



,…,

0





U

– напряжения узлов электрической цепи по

отношению к узлу, выбранному за опорный (индекс “ о ”);



к

у

к

у

к

кк

Z

YY

1

















– собственная узловая

проводимость узла “ к ” , равная арифметической сумме

комплексных проводимостей ветвей, присоединённых к этому

узлу;

кк

YY





– общая узловая проводимость узлов “к” и “



”,

равная арифметической сумме комплексных проводимостей

ветвей, соединяющих между собой рассматриваемые узлы;





к

J

– алгебраическая сумма комплексных действующих

значений токов источников тока ветвей, подходящих к узлу “ к

” ;



















к

к

YE

– алгебраическая сумма произведений

комплексных действующих значений ЭДС источников ветвей,

сходящихся в узле “ к ”, на комплексную проводимость этих

ветвей.

Примечание: Если положительные направления ЭДС или токов

источников тока направлены к узлу, то в правой части уравнения

составляющие для них записывают со знаком “ плюс ” (в противном

случае – со знаком “ минус ”).

Решая полученную систему уравнения, определяют узловые

напряжения относительно опорного. После определения узловых

напряжений для ( у – 1) узлов электрической цепи по закону Ома найдутся

токи ветвей цепи.

Для ветви, расположенной между узлами “ k ” и “



”, комплексное

действующее значение тока определится:



k

Z

EU

I









.

18

В уравнении по закону Ома:

00





 UUU

kk

– комплексное

напряжение между началом и концом ветви;

k

E



– комплексное

действующее значение ЭДС источника – записывается со знаком “ плюс ”

при совпадении положительного направление ЭДС в ветви с

положительным направлением тока в ветви

k

I



;

k

Z

– комплексное

сопротивление ветви.

Заданная цепь (рисунок 2, рисунок 7) имеет три узла,

следовательно, по методу узловых напряжений для цепи необходимо

составить два уравнения для узловых напряжений (у – 1 = 2). Если в

качестве опорного принять узел 3 схемы, то система уравнений для цепи

по методу узловых напряжений для узловых напряжений

2313

,



UU

запишется:

















4

3

23

22

13

21

4

2

1

123

12

13

11

;

YEYEJUYUY

YEYEYEUYUY

Собственные узловые проводимости для узлов цепи (два

одинаковых индекса):

421

42111

111

ZZZ

YYYY 

;

43

4322

11

ZZ

YYY 

.

Общие узловые проводимости цепи (два различных индекса):

4

42112

1

Z

YYY 

.

Решение полученной системы уравнений определит значения

узловых напряжений цепи:

13



U

и

23



U

.

Токи в ветвях цепи определятся на основании закона Ома:























1

13

1

13

1

EUY

Z

EU

I

;























2

13

2

13

2

EUY

Z

EU

I

;























3

23

3

23

3

EUY

Z

EU

I

;





























4

2313

4

2313

4

12

4

EUUY

Z

EUU

Z

EU

I

.

В общем виде уравнение по методу контурных токов для k-того

контура электрической цепи запишется:

кк

к

кк

EZIZI

N

































 1

,

19

где N – число независимых контуров электрической цепи,

определяемое соотношением:

 

 

1уN

ИТ

вв



;

кк

I



,





I

– контурные токи независимых контуров цепи;

кк

Z

– собственное сопротивление контура “ к ” с контурным

током

кк

I



, равное арифметической сумме комплексных

сопротивлений ветвей, входящих в рассматриваемый контур;

кк

ZZ





– общее сопротивление смежных контуров с

контурными токами

кк

I



и





I

, равное арифметической сумме

комплексных сопротивлений ветвей, расположенных между

соответствующими контурами (эти сопротивления

положительны, если направления контурных токов смежных

контуров в них совпадают, и отрицательны – если не

совпадают);



кк

E

– контурная ЭДС, равная алгебраической сумме

комплексных действующих значений ЭДС источников,

входящих в контур (ЭДС положительны, если их направления

совпадают с направлением собственного контурного тока).

Примечание: 1. Обход контура выбирается совпадающим с

направлением собственного контурного тока.

2. Если электрическая цепь содержит источники тока,

то ветви с источником тока включают в

дополнительный контур с известным контурным

током, уравнение для которого не составляется.

На основании метода контурных токов для заданной электрической

цепи (рисунок 2, рисунок 7) необходимо составить два уравнения

 

 

21уN

ИТ

вв



для неизвестных двух контурных токов

11



I

и

22



I

.

Ветвь с источником тока включается в дополнительный контур, контурный

ток которого известен и равен току источника тока:



JI

33

.

Задаёмся независимыми контурами, указываем в них произвольно

направления их контурных токов (рисунок 7).

Составляем уравнения для контуров электрической цепи по методу

контурных токов:















.

;

2233

23

22

11

21

1133

13

22

12

11

EIZIZIZ

20

Князев В.С. Линейные электрические цепи однофазного переменного тока

Подождите немного. Документ загружается.