Карп Д.Б. Эконометрика: основные формулы с комментариями: учебно-методическое пособие
Подождите немного. Документ загружается.
u = (e
2
1
, e
2
2
, . . . , e
2
n
) i
n × 1 u = e
T
e/n σ
2
V =
1
n
n
X
i=1
e
2
i
−
e
T
e
n
2
= (u − ui)
T
(u − ui)/n.
LM =
1
V
(u − ui)
T
Z(Z
T
Z)
−1
Z
T
(u − ui).
G
X =
X
1
X
2
X
G
, Y =
Y
1
Y
2
Y
G
.
n
g
g
n =
P
G
g=1
n
g
s
2
=
e
T
e
n
,
e
e = Y −X
ˆ
β
g
s
2
g
=
e
T
g
e
g
n
g
.
e
∗
e
g
g = 1, . . . , G
e
∗
= Y − X
ˆ
β
∗
ˆ
β
∗
LR = n ln s
2
−
G
X
g=1
n
g
ln s
2
g
.
χ
2
G−1
χ
2
G−1
Ω
P 1/
√
ω
i
i
X Y
√
ω
i
β
∗
=
"
n
X
i=1
1
ω
i
x
i·
x
T
i·
#
−1
"
n
X
i=1
1
ω
i
x
i·
Y
i
#
.
σ
2
i
ˆσ
2
i
ˆσ
2
=
n
X
i=1
ˆσ
2
i
/n, ˆω
i
= ˆσ
2
i
/ˆσ
2
.
ˆσ
2
i
σ
2
i
= σ
2
X
2
im
σ
2
i
= σ
2
ln(X
im
)
σ
2
i
= σ
2
(X
im
)
−1
X
m
z σ
2
i
= z
i
α z
i
i z
X
α
e
i
= Y
i
− x
i
ˆ
β
ε
i
ε
2
i
= σ
2
i
+ ν
i
ν
i
e
2
i
= z
i
α + ν
∗
i
, i = 1, . . . , n,
ν
∗
i
ˆ
α = (Z
T
Z)
−1
Z
T
u
ˆσ
2
i
= z
i
ˆ
α.
σ
2
i
= exp(q
i
γ) ⇔ σ
2
i
= σ
2
exp(z
i
α),
γ =
ln σ
2
α
q
i
= [1, z
i
] z
i
α
β
u = (e
2
1
, e
2
2
, . . . , e
2
n
)
β
e = Y − X
ˆ
β
ln(e
2
i
) q
i
i = 1, . . . , n
ˆ
γ ˆγ
1
ˆ
γ 1.2704
ˆσ
2
i
= exp(q
i
ˆ
γ)
ˆ
β
∗
e
∗
= Y−X
ˆ
β
∗
γ [e
2
∗i
exp(−
ˆ
γq
i
) − 1] q
i
ˆ
γ :=
ˆ
γ + (Q
T
Q)
−1
"
n
X
i=1
q
T
i
(e
2
∗i
exp(−
ˆ
γq
i
) − 1)
#
.
[
ˆ
β
∗
,
ˆ
γ]
ˆ
β
∗
β (X
T
ˆ
Ω
−1
X)
−1
ˆ
Ω
ˆσ
2
i
G
β
β
ˆ
β
∗
e
g
= Y
g
− X
g
ˆ
β
∗
g = 1, . . . , G ˆσ
2
g
= e
T
g
e
g
/n
g
n
g
g
ˆ
β
∗
=
"
G
X
g=1
1
ˆσ
2
g
X
T
g
X
g
#
−1
"
G
X
g=1
1
ˆσ
2
g
X
T
g
Y
g
#
;
ˆγ
1
γ
1
ˆγ
0
1
= ˆγ
1
+ 1.2704
ˆ
β
∗
β
ˆ
Ω
ˆ
β
∗
= [X
T
ˆ
Ω
−1
X]
−1
X
T
ˆ
Ω
−1
Y
ˆ
Ω Ω
Var
ˆ
β
∗
= σ
2
[X
T
ˆ
Ω
−1
X]
−1
X
T
ˆ
Ω
−1
Ω
ˆ
Ω
−1
X[X
T
ˆ
Ω
−1
X]
−1
.
ˆ
β
∗
d
Var
ˆ
β
∗
= [X
T
ˆ
Ω
−1
X]
−1
"
n
X
i=1
e
2
∗i
ˆω
2
i
x
T
i·
x
i·
#
[X
T
ˆ
Ω
−1
X]
−1
.
x
·j
j = 2, . . . , k
Y ε
ε
t
E(ε
t
) = µ = const,
E(ε
t
− µ)
2
= γ
0
= σ
2
= const,
E((ε
t
− µ)(ε
t−s
− µ)) = γ
s
= const.
ε
Ω ρ
s
= γ
s
/γ
0
ε
t
= φ
1
ε
t−1
+ . . . + φ
p
ε
t−p
+ η
t
+ θ
1
η
t−1
+ . . . + θ
q
η
t−q
,
η
t
σ
2
ε
t
= φ
1
ε
t−1
+ . . . + φ
p
ε
t−p
+ η
t
p
ε
t
∼ AR(p)
ε
t
= η
t
+ θ
1
η
t−1
+ . . . + θ
q
η
t−q
q ε
t
∼ MA(q)
ε
t
∼ ARMA(p, q)
λ
p
− φ
1
λ
p−1
− . . . − φ
p
= 0
|ρ| < 1
ε
t
= ρε
t−1
+ η
t
.
γ
0
= σ
2
η
/(1 − ρ
2
), γ
s
= ρ
s
,
σ
2
η
η
t
Ω
σ
2
Ω =
σ
2
η
1 − ρ
2
1 ρ . . . ρ
n−1
ρ 1 . . . ρ
n−1
ρ
n−1
ρ
n−2
. . . 1
.
ε
t
= η
t
+ θη
t−1
γ
0
= σ
2
η
(1 + θ
2
), γ
1
= σ
2
η
θ, γ
s
= 0, s > 1,
Ω
σ
2
Ω = σ
2
η
(1 + θ
2
)
1
θ
1+θ
2
0 . . . 0
θ
1+θ
2
1
θ
1+θ
2
. . . 0
0 0 . . . 1
θ
1+θ
2
0 0 . . .
θ
1+θ
2
1
.
X
T
ΩX/n n
X
tm
= Y
t−1
m
X
T
[σ
2
Ω]X/n
ˆ
Q = S
0
+
1
n
L
X
l=1
n
X
t=l+1
w
l
e
t
e
t−l
(x
t·
x
T
t−l·
+ x
t−l·
x
T
t·
), w
l
=
l
L + 1
,
S
0
L
Ω
ε
t
e
t
= Y
t
− x
t·
ˆ
β
d =
n
P
t=2
(e
t
− e
t−1
)
2
n
P
t=1
e
2
t
= 2(1 − r) −
e
2
1
+ e
2
n
n
P
t=1
e
2
t
≈ 2(1 − r),
r
r =
n
P
t=2
e
t
e
t−1
n
P
t=1
e
2
t
.
H
0
: ρ = 0 ρ
r ≈ 0 d ≈ 2 H
0
ρ > 0 d < d
∗
d
∗
d β σ
n k X
d
d
u
d
l
d
u
d
l
n k
α
d
α
u
d
α
l
d
d < d
α
l
d > d
α
u
d
α
l
< d < d
α
u
d > 4 − d
α
l
d < 4 − d
α
u
(4 −d
α
l
, 4 −d
α
u
)
d
4
=
n
P
t=5
(e
t
− e
t−4
)
2
n
P
t=1
e
2
t
.
d 2
H
0
H
1
: ε ∼ AR(p) ε ∼ MA(p).
R
2
e Y Z
n×(k+p)
X
Z =
1 X
12
X
13
. . . X
1k
0 0 . . . 0
1 X
22
X
23
. . . X
2k
e
1
0 . . . 0
1 X
32
X
33
. . . X
3k
e
2
e
1
. . . 0
1 X
t2
X
t3
. . . X
tk
e
t−1
e
t−2
. . . e
t−p
1 X
n2
X
n3
. . . X
nk
e
n−1
e
n−2
. . . e
n−p
.
LM
nR
2
χ
2
p
1 p
Q = n
p
X
j=1
r
2
j
,
r
j
=
n
P
t=j+1
e
t
e
t−j
n
P
t=1
e
2
t
.
Q χ
2
p
Q
Q
0
= n(n + 2)
p
X
j=1
r
2
j
n − j
χ
2
p
Q
0
χ
2
p
Q