Кантор С.А. Основы вычислительной математики

Подождите немного. Документ загружается.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

"Алтайский государственный технический

университет им. И.И. Ползунова"

С.А. КАНТОР

ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Учебное пособие

Барнаул, 2010

УДК 519.6

Кантор С.А. Основы вычислительной математики: Учебное пособие. / Алт. госуд.

технич. ун-т им. И.И.Ползунова. Барнаул, 2010. — 357с.

Учебное пособие является исправленным и дополненным вариантом вышедшего в

2005 году учебного пособия ”Вычислительная математика”. Оно предназначено для

студентов вуза с повышенным объемом математической подготовки, в частности,

для обучения специалистов по специальности 230105 - ”Программное обеспечение

вычислительной техники и автоматизированных систем”, магистров по направле-

нию 230100 ”Информатика и вычислительная техника”, бакалавров по направлению

231000 ”Программная инженерия ”. Кроме того, пособие может использоваться при

получении дополнительного образования.

Первое издание учебного пособия ”Вычислительная матемтика” было рекомендо-

вано Научно-методическим Советом по проблемам подготовки преподавателей выс-

шей школы в качестве учебного пособия для студентов, аспирантов и преподавателей

высших учебных заведений при освоении дополнительной квалификации ”Препода-

ватель” и ”Преподаватель высшей школы” (протокол №18 от 7.04.2005 г.).

Рецензенты:

д.п.н., профессор Г.В. Лаврентьев (АлтГУ),

д.ф.-м.н., профессор Г.В. Пышнограй (АлтГТУ)

ВВЕДЕНИЕ

С момента своего рождения наиболее эффективное применение вычислительная

техника нашла при проведении трудоемких расчетов в научных исследованиях. В на-

стоящее время выработалась технология исследования сложных проблем с помощью

ЭВМ, которая получила название вычислительный эксперимент. Эта техноло-

гия все чаще вытесняет дорогостоящий натурный эксперимент. Можно указать такие

крупные области применения вычислительного эксперимента, как энергетика, аэро-

космическая техника, обработка данных научного эксперимента, совершенствование

технологических процессов.

Постановка вычислительного эксперимента делится на ряд этапов.

∙ 1. Постановка задачи. На этом этапе содержательно формулируется задача

исследования, определяются конечные цели ее решения.

∙ 2. Построение математической модели. Здесь осуществляется математиче-

ская формулировка задачи в виде некоторых математических соотношений.

При построении математической модели обычно пренебрегают целым рядом

свойств, не оказывающих существенного влияния на ход исследуемого явления.

При этом модель должна правильно (адекватно) описывать основные свойства

изучаемого процесса. Примером математической модели, описывающей распро-

странение тепла в некотором теле, служат краевые задачи для уравнения теп-

лопроводности. Исследование математической модели зачастую провести очень

сложно. Например, в явном виде решить многие типы уравнений, как прави-

ло, бывает трудно или вообще невозможно. Возникает проблема найти те или

иные количественные характеристики решения. Они могут быть получены с

помощью ЭВМ. Для этого требуется осуществление следующего этапа.

∙ 3. Разработка численного метода. Под численным методом понимается такая

интерпретация математической модели, которая доступна для реализации на

ЭВМ. Разработкой численных методов занимаются специалисты в области вы-

числительной математики. Исследователю же, занимающемуся прикладными

вопросами, из имеющегося арсенала методов достаточно уметь выбрать тот,

который наиболее пригоден в данном конкретном случае.

∙ 4. Разработка алгоритма и построение программы для ЭВМ. Вопрос о выборе

алгоритма решения тесно связан с разработанным численным методом и часто

их трудно разделить. Построение программы для ЭВМ, как правило, является

одним из самых простых этапов.

∙ 5. Проведение расчетов и анализ результатов. Полученные результаты вы-

числений изучаются с точки зрения их соответствия исследуемому явлению,

при необходимости вносятся коррективы в численный метод или математиче-

скую модель. В случае, когда полученные результаты расчетов имеют большой

объем, возникают проблемы представления их в виде, удобном для анализа.

Основным содержанием данного курса является вопрос построения и исследова-

ния численных методов, поэтому курс часто называют "Численные методы".

С развитием вычислительной техники развивались библиотеки научных программ

и пакеты прикладных программ, которые являются важнейшим инструментом вы-

полнения типовых расчетов во многих областях знаний. Каждый такой пакет яв-

ляется комплексом взаимосвязанных прикладных программ, специальных и общих

средств системного обеспечения. Многие пакеты позволяют проделать, не выходя из

них, всю нужную работу или весьма значительную часть: провести моделирование,

расчеты, оформить результаты, подготовить презентацию. В последние десятилетия

наметился существенный прогресс в разработке интегрированных математических

систем, резко уменьшивший затраты времени на их освоение и программирование

(Eureka фирмы Borland, Mathcad фирмы MathSoft, MatLab фирмы MathWorks, Scilab

- фирмы Scilab, Maxima - группа независимых разработчиков и другие).

Среды общения с ЭВМ на естественном для математика языке позволяют больше

внимания уделять постановке проблемы, математическому моделированию реальных

ситуаций, анализу ответа. Для записи команд и отдельных выражений в математи-

ческих пакетах используется входной язык, напоминающий Бейсик с примесью Фор-

трана и Паскаля. Он может рассматриваться как функциональный язык высокого

уровня и легко осваивается пользователями с опытом процедурного программирова-

ния. Его версии в отдельных пакетах различаются в некоторых деталях. Применяет-

ся он либо непосредственно (MatLab, Derive, Scilab), либо в комбинации с "кнопочно-

шаблонным" интерфейсом (Maple, Mathematica, Mathcad, Scientiﬁc Workplace).

Последние версии современных пакетов реализуют основные концепции объектно

ориентированного программирования: производные типы объектов, иерархическое

наследование свойств, возможность определения над объектами новых операций и

переопределения стандартных, модульное программирование.

Значительное сходство в возможностях и технологии применения пакетов соче-

тается с множеством заметных различий во входном языке. Самыми богатыми воз-

можностями обладают профессиональные пакеты Mathematica и Maple. Подмноже-

ства символьной математики из Maple входят в последние версии Mathсad, MatLab,

Scientiﬁс Workplace.

Остановимся кратко на характеристиках наиболее распространенных пакетов.

Система Mathematica разработана фирмой Wolfram Research и является мощным

средством выполнения математически исследований как в символьной, так и в чис-

ленной форме. Система справедливо считается мировым лидером среди компьютер-

ных систем символьной математики. Она используется во многих ведущих универ-

ситетах мира и получила широкое распространение в образовательных учреждениях

всех континентов. Список монографий, посвященных применениям Mathematica, со-

держит сотни наименований; издаются журналы, проводятся ежегодные конферен-

ции. Разработчик поддерживает в сети Internet свободный доступ к громадному чис-

лу научных, методических и учебных продуктов, созданных сотрудниками фирмы и

пользователями, число которых превысило миллион. На базе Mathematica создано

около 100 специализированных коммерческих пакетов. Из вычислительных возмож-

ностей пакета отметим

∙ проведение различных вычислений с высокой степенью точности;

∙ алгебраические и численные вычисления производных и интегралов;

∙ решение систем алгебраических, дифференциальных и разностных уравнений;

∙ поддержка целого ряда функций матричных и векторных вычислений;

∙ поддержка интервальной арифметики;

∙ широкий набор встроенных математических функций;

∙ вычисления вычетов и преобразований на их основе.

Пакет обеспечивает вычисления как в действительной, так и в комплексной области.

Он имеет стандартный оконный интерфейс работы с файлами и редактирования

набора, выбора размера и начертания шрифтов, управления графическим выводом

(двумерным и трехмерным), звукового сопровождения и анимации. Представляя в

среде пакета Mathematica вычислительный алгоритм и поясняющее его описание,

пользователь формирует так называемый блокнот (notepad), который можно затем

сохранять для последующего использования, выполнять полностью или по частям

(ячейкам). В дальнейшем документ можно модифицировать как в вычислительной

части, так и в части имеющейся в нем текстовой, графической и формульной инфор-

мации. Допускается включение в документ чертеже рисунков, полученных в других

вычислительных и графических пакетах. Выходной документ может быть подготов-

лен совместимым с MS Word, MS Exсеl , PowerPoint и т.д. Выход системы можно

преобразовать для вывода на печать в форматы упомянутых систем, а также T

и построенных на его базе издательских систем L