Кантор С.А. Основы вычислительной математики

Подождите немного. Документ загружается.

К сегодняшнему дню издано большое количество учебников и задачников по вы-

числительной математике различного уровня сложности. В списке литературы при-

ведены тех из них, которые использовались при написании данного учебного пособия.

Во втором издании учебного пособия были добавлены примеры, задачи, рассмот-

рены дополнительные вопросы, в частности, методы нахождения собственных чисел

не симметрических матриц, исследована проблема обусловленности задачи нахожде-

ния собственных чисел и собственных векторов.

1 МАШИННАЯ АРИФМЕТИКА И

ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ

1.1 ПОГРЕШНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТА ЧИСЛЕННОГО

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1.1.1 Источники и классификация погрешностей

Процесс исследования исходного объекта математическими методами неизбеж-

но носит приближенный характер, так как на каждом этапе вычислительного экс-

перимента вносятся те или иные погрешности. Эти погрешности обусловливаются

следующими причинами:

∙ математическое описание задачи является неточным, так как сама математиче-

ская модель описывает лишь приближенно физическую модель и, кроме того,

приближенно определяются исходные данные, входящие в описание задачи, так

как они берутся из физического эксперимента;

∙ применяемый метод численного решения заменяет непрерывную модель дис-

кретной;

∙ при вводе чисел в ЭВМ, при выполнении ею арифметических операций возни-

кают ошибки округления.

В соответствии с этими причинами появляющиеся ошибки делят на:

∙ неустранимые погрешности;

∙ погрешности метода;

∙ вычислительные погрешности.

Неустранимые погрешности часто, в свою очередь, делят на:

∙ погрешности, которые являются следствием неточного задания числовых дан-

ных, входящих в математическое описание задачи (погрешности исходных

данных);

∙ погрешности, связанные с несоответствием математического описания задачи

реальности (погрешности математической модели).

Как уже отмечалось во введении, после выбора численного метода возникает

необходимость выбора алгоритма численной реализации этого метода. Например, ес-

ли исходная математическая модель является системой дифференциальных уравне-

ний, то численным методом может служить построенная по определенным правилам

система алгебраических уравнений, а алгоритм — метод решения этой системы.

Вычислительный алгоритм называют устойчивым, если в процессе работы по-

грешности округлений возрастают незначительно, и неустойчивым в противном

случае

. Применение неустойчивого алгоритма зачастую приводит к появлению в

процессе вычислений чисел, выходящих за пределы чисел, представимых на ЭВМ.

Зачастую типичной является такая ситуация, когда неустранимая погрешность

больше погрешности метода, а погрешностью округлений в случае использования

устойчивых алгоритмов можно пренебречь по сравнению с погрешностью метода. В

общем случае надо стремиться, чтобы все указанные погрешности имели один и тот

же порядок. Например, бессмысленно стремиться построить численный метод, кото-

рый обеспечивал бы точность порядка 10

−10

, когда сама неустранимая погрешность

имеет порядок 10

−1

Далее в этом разделе будут обсуждаться вопросы, связанные с природой вычис-

лительной погрешности и оценкой ее величины.

1.1.2 Абсолютная и относительная погрешности

Определение 1.1.1 Если