Храмов Г.Н. Опасные природные процессы
Подождите немного. Документ загружается.
20
δτ
ik
= λθδ
jj
+ µδε
ik
; i,k=1, 2, 3; j=1, 2, 3 ( 1.23 )
где δτ
ik
– тензор напряжений;
δε
ik
– тензор деформаций;
δ
jj
– единичный тензор Кронекера;
θ – объемная деформация;
µ, λ - упругие константы Ламе.
Значения δ
jj
и θ соответствуют
1 0 0
δ
jj
= 0 1 0 ( 1.24 )
0 0 1
θ= ε
11
+ ε
22
+ ε
33
Упругие константы Ламе λ, µ связаны с модулем Юнга Ε,
коэффициентом Пуассона ν и модулем сдвига G соотношениями
()()( )
νν
ν
ν
ν
λ
⋅−+
⋅
=
⋅−
⋅
⋅
=
21121
2
EG
()
ν
µ
+
==
12
E
G
( 1.25 )
С учетом правил сложения тензоров и умножения скаляра на
тензор компоненты тензоров (1.23) могут быть записаны в виде
системы уравнений
τ
11
= λ(ε
11
+ ε
22
+ ε
33
) +2µε
11
τ
22
= λ(ε
11
+ ε
22
+ ε
33
) +2µε
22
τ
33
= λ(ε
11
+ ε
22
+ ε
33
) +2µε
33
( 1.26 )
τ
12
= 2µε
12
τ
23
= 2µε
23
τ
31
= 2µε
31
Согласно закону парности касательных напряжений
τ
21
= τ
12
; τ
32
= τ
23
; τ
13
= τ
31
.
Соотношения (1.26) представляют собой обобщенный закон
Гука. Они устанавливают связь между деформациями и
напряжениями в случае сложного напряженного состояния тела.
Можно показать, что в важных частных случаях
одностороннего сжатия (растяжения) и сдвига они переходят в
известные состояния (1.1) – (1.3).
21
Пусть, например, имеет место одностороннее сжатие тела. При
этом напряжения
τ
11
0≠ , τ
22
= τ
33
= τ
12
=τ
23
= τ
31
=0.
и система уравнений (1.26) принимает вид
τ
11
= λ(ε
11
+ ε
22
+ ε
33
) +2µε
11
0 = λ(ε
11
+ ε
22
+ ε
33
) +2µε
22
0 = λ(ε
11
+ ε
22
+ ε
33
) +2µε
22
( 1.27 )
0 = ε
11
= ε
22
= ε
33
Вычитая из второго уравнения этой системы третье уравнение,
нетрудно получить
2µ(ε
22
– ε
33
)= 0
Следовательно, деформации ε
22
= ε
33
, и из второго уравнения
(1.27) можно получить
0= λε
11
+ 2λε
22
+ 2µε
22
Отсюда с учетом соотношения (1.25)
ε
22
= ε
33
=
()
1111
2
νεε
µλ
λ
−=
+
−
( 1.28 )
Подстановка значений ε
22
и ε
33
в первое уравнение (1.27) с
учетом соотношений (1.25) приводит к выражению
τ
11
=
1111
2
32
εε
µλ
λµµ
E=
+
+
( 1.29 )
Соотношения (1.29), (1.28) есть не что иное, как формулы (1.1)
и (1.2), причем знак минус в соотношении (1.28) перед
коэффициентом Пуассона ν указывает, что при произвольном сжатии
тела происходит увеличении его размеров в поперечном направлении
и, наоборот, при растяжении в продольном направлении имеет место
сужение тела в поперечном направлении.
Пусть имеет место односторонний сдвиг
при τ
12
>0. В этом
случае
τ
11
= τ
22
= τ
33
= τ
23
= τ
31
= 0
При сдвиге изменение объема тела не происходит.
Следовательно
θ= ε
11
+ ε
22
+ ε
33
= 0
С учетом данных соотношений из уравнений (1.27) можно
получить
22
τ
12
= 2µε
12
ε
11
= ε
22
= ε
33
= ε
23
= ε
31
= 0
Учитывая, что ε
12
2
1
=
γ
12
, µ= G, где γ
12
– угол сдвига, G –
модуль сдвига, первое из этих соотношений принимает вид
τ
12
= Gγ
12
,
что полностью совпадает с формулой (1.3)
§ 1.5. Распространение колебаний в упругой среде.
Распространение упругих возмущений в изотропной среде
описывается уравнением Ламе [10]
()
,
2
2
FWgraddivW
t
W
ρµµλρ
+∆++=
∂
∂
( 1.30 )
где ρ – плотность среды (грунта);
W – смещение точек среды;
F – массовая сила (например, для силы тяжести F=g);
λ, µ – упругие константы Ламе.
В уравнении (1.30) величина div W – это дивергенция, то – есть
расхождение векторного поля W в точке (x, y, z). Если обозначить
проекции векторного поля W на координатные оси через W
x
, W
y
, W
z
,
то можно представить
Div W=
z
W
y
W
x
W
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
Величина graddiv W ( градиент div W) – это вектор,
показывающий направление наиболее быстрого изменения div W
graddiv W
() () ()
kdivW
z
jdivW
y
idivW
x
⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
= ,
где i, j, k – орты координатных осей x, y, z.
Величина ∆ в уравнении (1.30) – это оператор Лапласа
∆
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
23
При распространении упругих возмущений неограниченной
изотропной среде массовой силой F обычно пренебрегают по
сравнению с упругими силами и силами инерции. Тогда с учетом
пояснений относительно значений graddiv W и ∆W уравнение (1.30)
можно записать в проекции на координатные оси в виде
()
()
()
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+=
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+=
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+=
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
W
y
W
x
W
z
W
y
W
x
W
zz
W
z
W
y
W
x
W
z
W
y
W
x
W
yy
W
z
W
y
W
x
W
z
W
y
W
x
W
xt
W
zzzz
y
xz
yyy
z
y
x
y
xxxz
y
xx
µµλρ
µµλρ
µµλρ
( 1.31 )
При распространение упругих возмущений на большие
расстояния движение среды можно рассматривать как плоское
движение. В этом случае смещение W зависит только от одной из
декартовых координат, например x, и времени t.
() ()
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+=
∂
∂
+
∂
∂
+=
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
W
t
W
x
W
t
W
x
W
x
W
x
W
t
W
zz
yy
xxxx
µρ
µρ
µλµµλρ
( 1.32 )
Обозначив
2
2
a=
+
ρ
µ
λ
;
2
b=
ρ
µ
, ( 1.33 )
нетрудно получить
2
2
2
2
2
x
W
a
t
W
zz
∂
∂
=
∂
∂
;
2
2
2
2
2
x
W
b
t
Wy
y
∂
∂
=
∂
∂
;
2
2
2
2
2
x
W
b
t
W
zz
∂
∂
=
∂
∂
( 1.34 )
Уравнения (1.34) представляют собой волновые уравнения, где
величины a, b являются скоростями распространения возмущений.
Видно, что скорости распространения составляющей смещения W
x
и
составляющих W
y
, W
z
различны. Следовательно, в рассматриваемом
случае движения возмущений в упругой грунтовой среде формируется
волновая система, состоящая из двух волн [10]. В одной из них
смещение (W
x
) совпадает с направления распространения самой
волны. Такая волна называется продольной и распространяется со
скоростью а=
ρ
µλ
2+
. В другой – смещение (
22
zy
WW +
) лежит в
плоскости, ортогональной к направлению ее распространения. Такая
24
волна называется поперечной и распространяется со скоростью
ρ
µ
=b
.
§ 1.6. Потенциальная энергия деформаций.
Потенциальная энергия деформаций численно равна работе
внутренних усилий (напряжений) на перемещениях, вызванных
действием этих усилий. [7]
Рассмотрим, например, работу напряжения σ
x
при деформации
ε
x
xxxxxxx
EdEdQ
xx
εσεεεεσ
εε
2
1
2
1
2
00
====
∫∫
•
, ( 1.35 )
где Е – модуль Юнга, Q
*
– работа напряжения.
Рассмотрим далее работу напряжений σ
x
, σ
y
, σ
z
, τ
xy
, τ
yz
, τ
zx
,
действующих на гранях элементарного (бесконечно малого) объема,
например, куба с ребрами dx, dy, dz, при деформациях ε
x
, ε
y
, ε
z
, γ
xy
, γ
yz
,
γ
zx
соответственно. По аналогии с выражением (1.35) нетрудно
получить [7].
()
zxzxyzyzxyxyzzyyxx
Q
γτγτγτεσεσεσ
+++++=
2
1
0
( 1.36 )
Используя зависимости между деформациями и напряжениями
(1.26), с учетом соотношений (1.25) можно найти
()
()
(
)
222222
0
2
1
2
1
yxyzxyxzzyxzyx
G
y
EE
Q
τττσσσσσσ
µ
σσσ
+++++−++= (1.37)
Если координатные оси x, y, z – главные оси деформации тогда
γ
xy
=γ
yz
=γ
zx
=τ
xy
=τ
yz
=τ
zx
= 0; при этом соотношение (1.37) принимает вид
(
)
()
[]
133221
2
3
2
2
2
10
2
2
1
σσσσσσµσσσ
++−++=
E
Q , ( 1.38 )
где σ
1
, σ
2
, σ
3
– главные напряжения.
Потенциальная энергия напряженного тела может быть
определена интегрированием соотношений (1.36) – (1.38) по всему
объему тела.
∫∫∫
=
V
dxdydzQQ
0
( 1.39 )
При землетрясении очаг землетрясения находится обычно на
глубинах от нескольких километров до нескольких сот километров.
На таких глубинах напряжения в грунте могут достигать больших
значений. Область, занятая очагом, также может иметь значительные
размеры. Указанные обстоятельства объясняют выделение большого
количества энергии при землетрясении.
25
§ 1.7. Волновая система при землетрясении.
Высвобождение накапливающейся длительное время в земной
коре энергии напряжений сжатия, растяжения, сдвига обычно
происходит в некотором объеме, называемом очагом землетрясения. В
пределах очага имеет место разрушение земных пород. В геологии
используется специальный термин – разлом.[1,12]
Протяженность разлома (а значит и очаговой области) может
достигать десятков, в отдельных случаях – сотен километров.
Образование
разлома часто сопровождается смещением земных
пород. Если при этом образование разлома происходит в результате
действия растягивающих усилий, то некоторый объем породы может
соскользнуть вниз – возникает так называемый нормальный сброс.
При сжатии часть породы может быть выдавлена вверх – такой
разлом называют обращенным сбросом. Возможно также
горизонтальное перемещение некоторого объема породы при
наличии
сдвигающих усилий; в этом случае говорят о поперечном сбросе.
Указанные типы сбросов поясняет рис. 6.
а) б) с)
Рис. 6. Схемы разломов при землетрясении.
а – нормальный сброс, б – обращенный сброс, с – поперечный
сброс.
В очаге землетрясения выделяется точка, в которой начинается
разрушение земной породы, именуемая
гипоцентром. Проекция
гипоцентра на земную поверхность называется эпицентром.
Возмущения грунтовой среды, порожденные в гипоцентре,
распространяются во все стороны в виде упругих продольной (Р) и
поперечной (S) сейсмических волн. Взаимодействие этих волн с
26
поверхностью земли возбуждает поверхностную волну (R). Схема
распространения волн P, S, R в случае однородного грунтового
полупространства показана на рис. 7.[13]
L
Эпицентр Точка наблюдений
R
H
Гипоцентр
S P
Рис 7. Волновая картина при землетрясении.
Согласно приведенным ранее в § 1.6. пояснениям продольная
волна Р характеризуется объемными деформациями сжатия и
разрежения. Частицы грунта совершают колебания в направлении,
совпадающем с направлением распространения волн.
Поперечная волна S связана с деформациями сдвигового
характера. Частицы грунта совершают колебания в направлении,
перпендикулярном направлению распространения волн.
В поверхностной волне R
частицы грунта совершают
колебания по эллиптическим орбитам в вертикальной плоскости.
Скорости распространения продольной и поперечной волн
определяются по соотношениям (1.33). Скорость распространения
поверхностной волны составляет ~ 0,9 от скорости поперечной волны.
В дальнейшем будем обозначать скорости распространения
волн P, S, R через N
P
, N
S
, N
R
соответственно. С учетом соотношений
(1.33) и (1.25) можно получить [13]
()
()( )
()
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
≈
+
==
−+
−
=
+
=
S
S
P
N
м
E
N
м
E
N
9,0N
/c,
12
/c,
211
12
R
νρρ
µ
ννρ
ν
ρ
µλ
( 1.40 )
где ρ – плотность грунта, кг/м
3
;
Е – модуль Юнга, Па;
ν – коэффициент Пуассона
Значения ρ, Е, ν для некоторых грунтов приведены в табл. 2
27
Таблица 2
Значения плотности грунта, Модуля Юнга, коэффициента
Пуассона.
Грунт
Е, Па V
ρ
, кг/м
3
Гранит
Известняк
(3.5…5)
⋅
10
10
3.5
⋅
10
10
0.1…0.15
0.2
(2.5…3)
⋅
10
3
2.3
⋅
10
3
Пример.
Определить скорости распространения продольной, поперечной
и поверхностной волн по скальному грунту ( гранит ρ=
3
105.2 ⋅= кг/м
3
;
Е
10
105⋅= Па; ν 15.0= ).
Решение.
1. Скорость распространения продольной волны вычисляем по
первой формуле системы (1.40)
()
()( )
/c,106.4
15.0215.01105.2
15.01105
3
3
10
мN
P
⋅=
⋅−+⋅
−⋅⋅
=
2. Скорость распространения поперечной волны находим по
второй формуле (1.40)
с/м 1095.2
)15.01(105.22
105
N
3
3
10
S
⋅=
+⋅⋅⋅
⋅
=
3. Скорость распространения поверхностной волны определяем
по соотношению (2).
с/м 1066.21095.29.0N
33
R
⋅=⋅⋅=
Большие скорости распространения сейсмических волн создают
значительные трудности с оповещением населения о факте
землетрясения.
Пример.
Оценить возможность оповещения жителями одного
населенного пункта жителей другого населенного пункта о
землетрясении, если первый из них расположен непосредственно в
окрестности эпицентра землетрясения, второй – на расстоянии L=100
км от эпицентра. Глубина очага землетрясения Н = 20 км (величины L,
H соответствуют рис. 7). Условия распространения сейсмических
волн такие же, как и в
рассмотренном выше примере.
Решение.
1.Находим время прихода первой из сейсмических волн –
продольной волны Р к первому
населенному пункту.
с 3.4
]с/км[ 6.4
]км[ 20
N
H
t
P
1
===
28
2.Вычисляем время прихода этой волны ко второму
населенному пункту
с 2.22
]с/км[ 6.4
]км[ 10020
N
LH
t
22
P
22
2
=
+
=
+
= .
3.Находим разность времен
12
ttt
−
=
∆
, определяющую
возможность оповещения
ссс
t
9.173.4 2.22
=
−
=
∆ .
За такое время оповестить население и принять необходимые
меры по защите исключительно сложно.
Как известно, земная кора состоит из различных грунтовых
работ, залегающих, как правило, послойно. При наличии
неоднородных слоев, что, как правило, имеет место в реальной
действительности, волновая картина при землетрясении существенно
усложняется. Особенность распространения сейсмических волн
состоит в том, что при косом падении на границу раздела двух сред
волны одного типа, например
Р, возникают, кроме преломленной
(РР
+
) и отраженной (РР
-
) продольных волн, преломленная (РS
+
) и
отраженная (РS
-
) поперечные волны, рис. 8.
РS
+
РР
+
α′
β′
A A′
β′′
α′′ α
PS
-
PP
-
P
Рис. 8. Схема преломления продольной волны из одного
грунтового слоя в другой.
Положение фронтов волн РР
+
, РР
-
, РS
+
, РS
-
определяется по
закону Снеллиуса
βαβαα
′′
=
′′
=
′
=
′
=
−
−
+
+
sinsinsinsinsin
PS
PP
PS
PP
p
N
N
N
N
N
, (1.41)
где N
P
, N
PP+
, N
PS+
, N
PP-
, N
PS-
- скорости распространения волн Р,
РР
+
, РS
+
, РР
-
, РS
-
соответственно (находятся по формулам (1.40));
α
- угол падения фронта волны Р на границу раздела сред;
β
α
′′
,
- углы преломления волн РР
+
, РS
+
соответственно;
β
α
′′′′
,
- углы отражения волн РР
-
, РS
-
соответственно.
29
Обычно плотность грунта и скорости распространения волн в
верхнем слое меньше, чем в нижнем. В этом случае при косом
падении продольной волны Р
+
на границу АА` в верхнем слое в
результате преломления формируются РР
+
, РS
+
волны. При их
отражении от границы ВВ` верхнего слоя образуются волны РPР
-
,
РPS
-
, РSР
-
, РSS
-
. Здесь индекс (+) при обозначении волн соответствует
волне сжатия, индекс (
_
) – волне разрежения. При отражении волн
РPР
-
, РPS
-
, РSР
-
, РSS
-
от нижней границы АА` верхнего слоя
формируется следующая группа волн и т.д. Волновая система,
формирующаяся в верхнем слое двухслойной грунтовой среды при
распространении сейсмических волн P и S, показана на рис. 9. (с
целью упрощения рисунка отраженные и преломленные волны в
нижнем слое здесь не показаны) [13].
Рис. 9. Сейсмические волны
в двухслойной среде
Таким образом, при наличии неоднородных слоев при
землетрясении имеет место сложная волновая картина. В
приповерхностном слое рассмотренные продольная и поперечная
волны представляют собой по существу волновые пакеты, состоящие
каждый из целой группы различных волн.
На рис. 10. показаны в качестве примера изменения во времени
ускорения, скорости и смещения
грунта при землетрясении 9.02.1971
года в Сан-Фернандо (штат Калифорния, США). [11]