Гусак А.А., Бричикова Е.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач
Подождите немного. Документ загружается.
х2
у2
х
2
+4
у
2=8,
или
-+-=1,
вычислим
по
формуле
Sc=1tab(cM.
8 2
пример
5).
Так
как
в
данном
случае
а
=
2.J2
,
ь
=
.J2
,
то
S =
4п
.
Для
вычисления
площади
области
g
воспользуемся
формулой
Решая
систему
уравнений
х
2
+4
у
2
=
8,
х
2
=
4у, находим
х,
=
-2,
Х
2
= 2 -
абсциссы
точек
пересечения
заданных
линий;
следовательно,
а
=
-2,
Ь
= 2 .
Каждое
из
уравнений
разрешаем
относительно
у:
х
2
~
у,
=4'
У2
= 2
Находим
площадь
области
g:
S
=
52[~
_~]dx=~52
~8_x2dx_~52
х
2
dx.
g
2.
4 2 4
~
~
~
Второй
интеграл
вычислим
непосредственно:
1
52
2 1
х312
1 4
S2
="4
Х
dx="4·З
=12(8+8)=з·
-2 -2
Для
вычисления
второго
интеграла
применяем
подстановку
х
=
2.J2
sin
t ;
тогда
dx =
2.J2
cost
dt,
а.
=;
-п/
4,
~
=
п/
4.
{'
1 2 1
nl4
г----
S,
="25~8-X2dx="2
5~8-8Sin2t.2.J2соstdt=
-2
-n14
nl4
1
nl4
=2
5
(1+cos2t)
dt
=2(t+"2sin2t)
=п+2.
-n14
-nI4.
Итак,
4 2
S
=S,
-S2
=п+2--=п+-
g 3 3
В
соответствии
с
формулой
(1.5.1)
находим
искомую
вероятность
31
Y
j
О
о
(х,у)
Р(А)
=
~
=
n+
2/3
=
~+_1
'"
0,303.
SG
4n 4 6n
~
х
При
м
е
р
7.
На
отрезок
единичной
длины
бросают
наудачу
две
точ1<и.
Они
разбивают
отрезок
на
три
части.
Какова
вероятность
того,
что
из
этих отрезков
можно
построить
треугольник?
Реш
е
н
и
е.
Заданный
отрезок
рассматри
ваем
как
отрезок
[О;
1]
числовой
прямой.
Координаты
брошенных
точек
обозначим
через
х и
у;
это
числа
из
отрезка
[0,1].
Числа
Рис.
1.8
х и
У
можно
рассматривать
как
координаты
точки
на
плоскости
(рис.]
.8)
..
Так
как
О
~
х
~
1,
О
~ у
~
1,
то
точки
(х;
у)
наудачу
брошены
в
квадрат
со
сторо-
х
:
..
"j4
,
,
,
I I
О
Х
у-х
"l"
1-у
I
У
~'
о
,
о
,
I
1
х
HO~
а
=
1.
Чтобьi
из
трех
отрезков
можно
было
по
строить
треугольник,
необ
ходимо
и
достаточно
вы
полнение
неравенства
тре-
Рис.
1.9
угольника
для
длин
его
сто-
рон:
каждая
сторона
тре
угольника
меньше
суммы
двух
других
его сторон.
При
х
~
у
(рис.
1.9)
получаемнеравенства
х«у-х)+(1-у),
y-x<x+(l-y),
l-у<х+(у-х),
откуда
после
преобразования
имеем
систему
неравенств
х<0,5,
у<х+0,5,
0,5<у,
x~y.
У
о
Рис.
1.10
32
х
Эта
система
неравенств
определяет
на
плоскости
треугольник
(рис.
1.1
О,
верхний
треугольник).
При
х
>
у
(рис.
] .11)
получаем
систему
неравенств
х
> 0,5,
У
< 0,5,
у
>
х
- 0,5,
х
>
у
,
которая
определяет
на
плоскости
второй
(нижний)
треугольник
(рис.
1.]
О).
Поскольку
SG
= 1
(площадь
единичного
квадрата),
Sg
= 0,25
(площадь
двух
треугольников,
заштрихованных
на
рис.
1.1
О),
то
вероят-
ность
получить
треугольник
из
указанных
отрезков
равна
О,
25.
При
м
е
р
8.
на
отрезке
[0;2]
наудачу
выбраны
два
числа
х
и
у.
Найти
верояiность
того,
что
эти
числа
удовлетворяют
не-
равенствам
х
2
~ 4у ~
4х
.
Реш
е н
и
е.
По
усло-
о
у
х
1
х
Рис.
1.11
вию
задачи
координаты
точки
(х,
у)
удовЛетворяют
системе
неравенств
Это
означает,
что
точка
(х,
у)
наудачу
в'ыираетсяя
из
множества
у
точек
квадрата
со
стороной
а
= 2
(рис.
1.12). 2
f-------7f'
Точки
квадрата,
координаты
которых
удовлетворяют
неравенст-
вам
прин·адлежат фигуре,
заштрихо
ванной
на
рис.
1.12.
Найдем
пло-,
щадь
S g
этой
фИгуры
f
2
х2
х
2
2
S =
(х--)ш=--
g 4 2
о
2
Рис.
1.12
х
3
2 4
=
12
3
Поскольку
площадь
квадрата
Sc
= 4 ,
то
искомая
вероятность
Sg
4 ]
Р=-=-:4=-.
Sc
3 3
х
При
м
е р
9.
Два
парохода
должны
подойти
к
одному
и
тому
же
при
чалу.
Время
прихода
обоих
пароходов
независимо
и
равновозможно
в
течение
данных
суток.
Определить
вероятность
того,
что
одному
из
па
роходов
придется
ожидать
освобождения
причала,
если
время
стоянки
первого
парохода
равно
одному
часу,
а
второго
-
двум
часам.
Реш
е
н
и е.
Обозначим
через
х
и
у
время
прибытия
пароходов.
Воз
можные
значения
х
и
у:
О
~
х
~
24,
O~
у
~
24.
Блаюприятствующие
2
3ак.
1874
33
значения
у
-
х
~
1,
х
-
у'
~
2 .
Эти
неравенства
определяют
область,
за
штрихованную
на
рис.
1.13.
ПЛощадь
этой
области
Sg
=24·24-0,5·23·23-0,5·22·22=69,5.
Поскольку
Sc
=24·24=576,
то
p=~=69,5
",0121.
Sc
576 '
у
24~--------------------~
1
о
х
Рис.
1.13
При
м
е
р
1
О.
Взяты
наугад
два
положительных
числа,
каждое
из
которых
не
больше
единицы.
Какова
вероятность
того,
что
их
сумма
не
превзойдет
единицы,
а
произведение
будет
не
больше
2/9?
Реш
е
н
и
е.
Обозначим
взятые
числа
через
х
и
у.
их
возможные
зна
чения
удовлетворяют
неравенствам:
О
~
х
~
1,
О
~
У
~
1,
которые
на
плоскости
определяют
единичный
квадрат
с
площадью
Sc
= 1.
Благо
приятствующие
значения
х
и
у
определены
условиями:
х
+
у
~
1 ,
х
.
у ~
2/9;
область
g
ограничена отрезками
прямой
х
+
у
= 1
и
дугой
гиперболы
Х·
у
=
2/9.
Абсциссы
точек
пересечения
прямой
и
гипербо-
34
лы:
Х
1
=
l/3,
Х
2
=
2/3.
Прямая
Х
+
у
= 1
делит
квадрат
пополам,
причем
область
Х
+
у ~
1
представля
ет
собой
нижний
треугольник
(рис.
1.14).
Область
g
состоит
из
тра
пеции,
криволинейной
трапеции
и
треугольника,
ее
площадь
Sg=SI+
S
2+
S
З'
причем
SI
=5118,
Sз
=1118,
у
1
k--.------,
о
1/
2/
3 3
Рис.
1.14
2
2/З
dx 2 2 .
S = - J - =
-ln
2
'"
_.
О
6931
'"
О
154 .
29
Х
99'
"
1/3
Следовательно,
искомая
вероятность
S
Р
=-L=
0,467.
SG
х
При
м
е
р
1
1.
В
прямоугольник
С
вершинами
К
(-1,
О),
L( -1, 5),
М(2,
5), N(2,
О)
брошена
точка.
Какова
вероятность
того,
что
ее
коорди-
наты
(х,
у)
будут
удовлетворять
неравенствам
х
2
+ 1
~ у
~
х
+ 3 ?
Реш
е
н
и
е.
Точки,
координаты
которых
удовлетворяют
указанным
неравенствам,
принадлежат
области
g,
ограниченной
параболой
у
=
х
2
+ 1
и
прямой
у
=
х
+ 3
(рис.
1.15).
эти
линии
пересекаются
в
точках
Q(
-1
, 2)
и
М
(2 , 5) .
Вычислим
площадь
области
g:
2 2 2
Sg
=
f(Y2-УI)dx=
f(x+3-(x
2
+1»dx=
f(x-x
2
+2)dx=
-1
-1
-1
=(~-~+2хJI2
=_Ц2
2
-(-IУ
)_.ц2
3
-(-IУ
)+2(2-(-1))=
2
3.
-1 2 3
=~·3-.!..·9+2.3
=2.-3+6
= 4
5.
2 3 2 '
35
у
L
--
5
к
N
-1
О
2
х
Рис.
1.15
Областью
G
здесь
является
прямоуголь
ник
с
вершинами
К,
L,
М,
N.
Поскольку
а
=
Iкмl
=
12-(-1~
=
3,
h =
NM
=
15
-
01
=
5,
то
площадь
об.[IастиG
оп
ределяется
формулой
SG
= ah =
3·5
=
15
.
в
соответствии
с
формулой
(1.5.1)
нахо
дим
искомую
вероят
ность
события
А
-
"по
падания
точки
в
об
ластьg":
P(A)=~=
4,5
=03.
S
15
'
G
х
2
у2
Z2
При
м
е
р
1
2.
Область
G
ограничена
эллипсоидом
- + - + - = 1
16
9 4
а
область
g -
этим
эллипсоидом
и
сферой
х
2
+
у2
+
Z2
=
4.
В
области
G
наудачу
зафиксирована
точка.
Какова
вероятность
того,
что
она
принад~
лежит
области
g
(событие
А)?
Реш
е н и
е.
Объем
V
тела,
ограниченного
эллипсоидом
х
2
у2
z2.
- + - + - = 1
выражается
формулой
а
2
Ь
2
с
2
поэтому
4
V
=-п
аЬс,
3
4
V
G
=
-п
4 .
3·2
=
32п
.
3
Объем
шара
радиуса
R
определяется
формулой
V=i
1tR
З
3 '
36
поэтому
при
R = 2
имеем
4
з
32
V
1
=-п·2
=-п.
3 3
Объем
области
g:
32
96-
32 64
V - V =
321t--1t
=
1t
=-п
G 1 3 3
з'
64
V
G
=-п.
3
По
формуле
(1.5.2.)
вычисляем
искомую
вероятность:
P(A)=~=~.
V
G
3
Задачи
1.
На
плоскости
начерчены
две
концентрические
окружности,
ра
диусы
которых
6
и
12
см
соответственно.
Какова
вероятность
того,
что
точка,
брошенная
наудачу
в
большой
круг,
попадет
в
кольцо,
образован
ное
указанными
окружностями?
2.
В
круг
радиуса
R
вписан
правильный
треугольник.
Найти
вероят
ность
того,
что
точка,
брошенная
в
этот
круг,
попадет
в
данный
тре
угольник.
3.
В
квадрат
с
вершинами
0(0,
О),
К(О,
1),
Ц1,
1),
М(1,
О)
наудачу
брошена
точка
Q(x,
у).
Какова
вероятность
TOГQ,
что
координаты
этой
точки
удовлетворяют
неравенстау
)' >
2х?
4.
В
шар
вписана
правильная
треугольная
пирамида.
Точка
наудачу
зафиксирована
в
шаре.
Найти
вероятность
попадания
точки
в
пирамиду.
5.
Стержень
длиной
l
произвольным
образом
сломан
на
три
части.
Какова
вероятность
того,
что
из
этих
частей
можно
составить
треуголь
ник?
6.
На
плоскости
область
G
ограничена
эллипсом
х
2
/36+)'2/25
=
1,
а
область
g -
этим эллипсом
И
эллипсом
х
2
/9
+ /
/4
=
1.
В
область
G
брошена
точка.
Какова
вероятность
<rOго,
что
точка
попадет
в
область
g?
7.В
прямоугольник
с
вершинами
К(-2,0),Ц-2,5),
М(1,5),
N(l,
О)
брошена
точка.
Какова
вероятность
того,
что
ее
координаты
(х,
у)
будут
удовлетворять
неравенствам
х
2
+ 1
~
у
~
3 -
х?
х2
у2
2
8.
В
области
G,
ограниченной
эллипсоидом
- + - +
~
=
1,
нау-
16
9 4
дачу
зафиксирована
точка.
Какова
вероятность
того,
что
координаты
х,
у,
Z
этой
точки
будут
удовлетворять
неравенству
х
2
+ / + z 2
~
4 ?
37
9.
В
прямоугольник
С
вершинами
R(-2,
О),
L(-2,9),
М(4,9),
N(4,
О)
брошена
точка.
Найти
вероятность
того,
что
ее
координаты
будут
удов-
летворять
неравенствам
0:5
У
:5
2х
-
х'
+ 8 .
10.
Область
G
ограничена
окруЖностью
х'
+
у'
=
25,
а
область
g -
этой
окружностью
и
параболой
16х
- 3
у'
=
О.
В
область
G
брошена
точка.
Какова
вероятность
того,
что
она попадет
в
область
g?
Ответы
1.0,75.2.
3..[3/
4п
'" 0,4137.
Указание.
Сторона
а
треугольника
через ради
ус
R
описанной
окружности
выражается
формулой
а
=
J3R.
3.0,25.
4.
2/з..Гз1t
'"
0,123.
Указание.
а
=
4R/..[6.
5.0,25. 6.5/6. 7.0,3. 8.1/3. 9.2/3.
10.
'"
0,352.
Вопросы
1.
Как
определяется
Геометрическая
вероятность
в
общем
случае?
2.
Как
определяется
геометрическая
вероятность
в
пространствен
ном
случае?
3.
Как
определяется
геометрическая
вероятность
в
плоском
случае?
4.
Как
определяется
геометрическая
вероятность
в
линейном
слу
чае?
5.
Каковы
свойства
геометрической
вероятности?
6.
Приведите
собственный
пример
на
геометрическую
вероятность.
§ 1.6.
Действия
над
событиями.
Соотношения
между
событиями
Суммой,
или
объединением,
двух
событий
называется
событие,
со
стоящее
в
появлении
хотя
бы
одного
из
них.
Сумма
двух
событий
А
и
В
обозначается
через
А
+
В
или
А
u
В
.
Аналогично
определяется
и
обозна
чается
сумма
n
событий
-
событие,
состоящее
в
появлении
хотя
бы
од
ного
из них.
Сумму
n
событий
А),
Az,
...
,
А
n
обозначают
так:
А)
+
А
2
+
...
+
А
"
=
~
A
k
,
или
А
1
U
Az
u ... u
А
"
=
~
A
k
•
~
k=1
*=)
Проuзведением,
или
пересечением,
двух
событий
называется
собы
тие,
состоящее
в
одновременном
их
появлении.
Произведение
двух
со
.бытиЙ
А
и
В
обозначается
через
АВ
или
А
n
В
.
Аналогично
определяет
ся
и
обозначается
про
изведение
в
случае
большего
числа
событий.
Про
изведение
n
событий
Ар
А
2
,
...
,
А
"
обозначают:
38
А
1
А
2
•••
А"
или
А
1
п
А
2
п
...
п
А
"
.
Понятия
суммы
и про
изведения
событий
распространяются
и
на
бесконечные
последовательности
событий.
В
этих
случаях,
например,
применяют
соответственно
обозначения:
А
1
U
А
2
U
...
U
А
"
u
...
= u A
k
,
k=1
Если
событие
А
обязательно
про
изойдет
при
появлении
некоторого
другого
события
В,
то
говорят,
что
событие
В
представляет
собой
част
ный
случай
события
А,
и
пишут
В
с
А,
или
А::::>
В
(говорят
также, что
В
влечет
А).
Если
В
с
А
и
А
с
В
,
т.е.
события
А
и
В
в
данном
опыте
могут
поя
виться
или
не
появиться
вместе,
то
их
называют
равНОСUJIьными,
или
эквивалентными,
и
пишут
А
=В.
Операции
объединения
и
пересечения
событий
обладают
некоторы
ми
свойствами,
аналогичными
свойствам
сложения
и
умножения
чисел.
Эти
операции
коммутативны:
AuB=BuA,
АпВ=ВпА;
(1.6.1)
ассоциативны:
(AuB)uC
=
Au(BuC)
=
(AuC)u
В
=
AuBuC;
(1.6.2)
(А
п
В)
пС
=
А
п(В
гtC)
=
(А
п
С)
п
В
=
Ап
В
пС
(1.6.3)
и
дистрибутивны:
(А
u
В)пС
=
(Ап
C)u(Bn
С).
(1.6.4)
Указанные
свойства
следуют
из
определения
действий
объединения
и
пересечения
событий.
.
Не
все
законы
сложения
и
умножения
чисел
справедливы
для
объе
динения
и
пересечения
событий.
Например,
для
любого
события
А
вы
полняются
равенства
AuA=A,
АпА=А.
(1.6.5)
Если
V -
достоверное,
V -
невозможное
собьпие,
А
-
любое
событие,
А
-
событие,
противоположное
А,
то
выполняются
равенства:
А
п
А
= V,
или
А·
А
= V .
АuА=V,илиА+А=V.
(1.6.6)
(I.6.7)
39
А
u V =
А
,
или
А
+ V =
А
.
AIlV
=V,
или
A-V
=V.
AuU
=и,
или
А+и
=и.
А
11 U =
А
,
или
А·
U =
А
.
Л·6.8)
(1.6.9)
(1.6.1
О)
( 1.6.11)
Из
свойств
операций
пересечения
и
объединения
следует,
что
для
любых
событий
А
и
В
имеем
А
=
А
U =
А(В
+
В)
=
АВ
+
АВ,
т.е.
А=АВuАВ,илиА=АВ+АВ.
(1.6.12)
Формула.
(1.6.12)
дает
разложение
любого
события
А
на
сумму
двух
непересекающих:ся
(несовместных)
событий.
Если
В
с
А,
то
АВ
=
В
и
формула
(1.6.12)
принимает
вид
А
=
В
u
АВ
,
или
А
=
В
+
АВ
.
(1.6.13)
РазностБЮ
событий
А
и
В
называется
событие
С,
которое
означает,
что
наступает
событие
А
и
не
происходит
событие
В.
Разность
событий
А
и"
В
обозначается
так:
А
-
В,
или
А
\
В.
При
м
е р
1.
Подбрасывается
игральный
кубик.
Обозначим
события:
А
-
"выпадение
шести
очков",
В
-
"выпадение
трех
очков",
С
-
"выпаде
ние
четного
числа
очков",
D -
"выпадение
числа
очков,
кратного
трем".
Каковы
соотношения
между
этими
событиями?
Реш
е н и
е-.
Если
выпало
шесть
очков,
то
тем
самым
выпало
и
четное
число
очков,
т.е.
событие
А
влечет
событие'
С:
А
с
С
.
Рассуждая
анало
гично,
получаем
А
с
D,
В
с
D,
А
+
В
=
D,
е·
D =
А
.
При
м
е
р
2.
Опыт
-
подбрасывание
игрального
кубика.
События:
A
k
(k
=
1,
2,
3,
4, 5, 6) -
"выпадение
k
очков",
А
-
"выпадение
четного числа
очков",
В
-
"выпадение
нечетного
числа
очков",
С -
"выпадение
числа
очков,
кратного
трем",
D -
"выпадение
числа
очков,
большего
трех".
Выразить
собьпия
А, В,
С
и
D
через
события
А..(:
.
Реш
е-н
и
е.
Событие
А
наступает
тогда
и
только
тогда,
когда
наступа
ет
А
2
,
ИЛИ
А
4
,
ИЛИ
А
6
.
Это
означает,
что
А
=
А
2
+
А
4
+
А
6
.
Рассуждая
аналогичным
образом,
получаем:
В
=
А
1
+
Аз
+
А
5
'
С
=
Аз
+
А
6
,
D =
А
4
+
А
5
+
А
6
•
Пр
им-е
р
3.
Пусть
А,
В,
С
-
произвольные
события.
Что
означают
следующие
собьrrия:
Аве,
АВС,
А+В+С,
АВС+ АВС+
Аве,
АВС
+
Аве+
АВС
+
АВС?
40