Гулякина Н.А. Общая теория систем

Подождите немного. Документ загружается.

исследователя. Однако выбор высокого уровня абстракции имеет

существенные преимущества.

Примером, демонстрирующим преимущества общего подхода,

служит исследование изменений характеристик нижестоящего уровня с

помощью операторов оценки эффекта внутриуровневого

взаимодействия, которые обычно приводят к нелинейностям.

Роль математической теории абстрактных систем в методологии

системотехники схематически показана на рис. 7.1. Вербальное

описание системы позволяет построить ее блок-схему, показывающую

взаимодействие подсистем, а также связи между ними. Блок-схему

вместе с сопровождающим ее описанием можно затем формализовать и

получить модель в виде абстрактной системы. Для такой модели уже

легко построить математическое описание и изучать поведение

системы аналитически или на ЭВМ. Здесь мы не будем детально

рассматривать общую теорию систем, а введем только те понятия,

которые нам понадобятся далее в настоящей работе.

Рисунок 7.1. Основные этапы формулирования и анализа задач.

Тема 7.1. ФОРМАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ АБСТРАКТНОЙ

СИСТЕМЫ

Введем, прежде всего, следующие исходные понятия:

1. Системой (абстрактной) S называется отношение над

абстрактными множествами Х и У:

2. Если S — функция, S: Х -> У, мы будем называть систему

функциональной.

Для простоты мы будем писать просто “система” без указания на

то, является ли она функциональной, когда это свойство

несущественно или когда оно вытекает из контекста.

Входящие в определение системы множества Х и У

характеризуют входные и выходные объекты и называются

соответственно входным и выходным множествами, а их элементы —

входами и выходами. Таким образом, представление системы в виде

отношения есть представление в форме “вход — выход”. Входы

функциональной системы могут рассматриваться как причины, а

выходы как следствия; в этом случае входное и выходное множества

мы будем иногда называть множествами причин и следствий

(объектами-причинами и объектами-следствиями). Эта терминология

относится к моделированию явлений, содержащих причинно-

следственные связи. Если система описывается отношением, а не

однозначной функцией, причиной служит пара “вход — начальное

состояние”. В дальнейшем мы не будем, как правило, использовать

отношения, а ограничимся рассмотрением функциональных подсистем

даже при развитии общей теории. Мы будем употреблять термин

“множество входных сигналов”, а не “множество причин”,

подразумевая, что в рассматриваемой системе начальное состояние

задано. Это едва ли ограничит общность результатов; в то же время

использование функций вместо соответствующих отношений

значительно упрощает рассуждения. Избегая длительного обсуждения

вопроса о том, почему вводится именно такое понятие системы, мы

приведем несколько примеров, показывающих, каким образом это

понятие охватывает различные специальные случаи.

Рассмотрим разностное уравнение

(1)

описывающее некоторые наблюдения, которые проводятся в

дискретные моменты времени Т = {1, 2. .... п}. Для заданного

начального условия y

=  каждому набору из п чисел х = (x

,..., x

) 

соответствует единственный набор у = (y

, .... y

)  R

, который

удовлетворяет уравнению (1) для каждого k = 1, .... п. Таким образом,

определено отображение S



: R

->R

, такое, что для всех х из R

-образ

у = S



(x) является единственным решением уравнения (1) при

заданном начальном условии у

= . Если допустимые начальные

условия образуют множество Y

 R, мы получаем отношение S  R

* R

, причем S =  S



. Таким образом, приведенное выше уравнение

описывает и общем случае систему S  R

* R

и, в частности,

определяет функциональную систему S



, когда задано начальное

условие y

=.

Рассмотрим автомат для продажи кока-колы, и который можно

опускать пяти- и десятицентовые монеты, причем стакан кока-колы

стоит пятнадцать центов и автомат, когда это требуется, выдает сдачу.

Введем следующие множества:

А = {5, 10} — множество монет, которые принимает автомат;

={, кока-кола}, где  означает “кока-колы на выходе нет”;

={0, 5} - множество монет, которыми автомат выдаст сдачу.

Тогда множество выходов представляется декартовым

произведением B=B1 * B2.

Введем также множество Q = {q

, q

}— множество

“состояний” автомата. Теперь функцию переходов f: А* Q->Q и

функцию выходов h: А* Q —> В можно задать следующей таблицей:

Таблица 7.1

Рассмотрим случай, когда в автомат опускают подряд п монет.

Пусть A

и B

обозначают множества наборов длины п из элементов

множества А и В соответственно. Тогда легко видеть, что для

заданного начального состояния q = q

каждому х  А

соответствует

единственный элемент у B

. Другими словами. мы определили

отображение Sq: А

-> B

, такое, что для всех х из A

образ у = S

(х)

является однозначно определенным выходом, зависящим от х и

начального состояния q = q

. Таким образом, данный автомат

представляется системой S  A

* В

, такой, что S=  S

. Иногда мы

можем получить стакан кока-колы за пять или десять центов, но если

автомат исправен, его начальным состоянием является q

и,

следовательно, данный автомат может рассматриваться как

функциональная система Sq, где q=q

Рассмотрим простую динамическую систему:

Обозначим коэффициент упругости невесомой пружины через k,

смещение тела массы т из положения равновесия в момент времени t —

через у'' (t), а внешнюю силу, действующую на тело в момент времени

t, через х (t). Предположим, что трение отсутствует. Тогда связь между

х (t} и у (t) задается следующим дифференциальным уравнением:

my'' (t) = x(t) - ky(t) (2)

Предположим, что мы наблюдаем х (t) и у (t) в интервале

времени Т= [0, ). Пусть Х — множество всех интегрируемых

вещественных функций, определенных на Т, а Y — множество всех

вещественных функций на Т. Тогда для заданных начальных условий 

= (у (0), у' (0)) каждому х  Х соответствует единственным образом

определённое у  Y, такое, что для каждого t  T

где w= (k/m)

1/2

. Таким образом, это уравнение описывает

однозначное отображение S



: Х —> У.

Если множеством допустимых начальных условий является A

R * R, то данная система представляется отношением

Рассмотрим одномерную задачу теплопроводности,

соответствующую помещенному ниже рисунку:

В общем случае, если в пластине имеются источники тепла,

функция распределения температуры  (t, u) задается следующим

уравнением в частных производных:

где z (t, и) описывает источники тепла внутри пластины, а a и b

— константы; ради простоты мы примем, однако, что z  0.

Предположим также, что функция  (0, и) = f (и) задана на отрезке [0,

], а тепловой источник с температурой х° С начинает действовать у

левого конца пластины в момент времени t=0. Пусть Y — множество

всех вещественных функций, определенных на [0, ) * [0, ]. Если для

начального распределения температуры f существует разложение в

ряд Фурье, то для заданного распределения f каждому х  R

соответствует единственное   Y. Например, когда f = 0,

Эта зависимость представляет собой отображение S

: R -> Y, где

f — заданное начальное распределение. Обозначим через F множество

вещественных функций, определенных па [0, ], для которых

существует разложение Фурье. Тогда отношение

описывает данную физическую систему.

Тема 7.2 СТРАТИФИЦИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ

Стратификация связана с тремя основными свойствами

иерархических систем: вертикальной декомпозицией, приоритетом

действий и взаимосвязью характеристик качества функционирования

системы. Стратифицированная система изображена на рис 1.

Отправным пунктом для стратифицированного описания

системы S: Х —> Y служит предположение о том, что множество

внешних стимулов Х и множество откликов У представимы в виде

декартовых произведений; а именно считаются заданными два

семейства множеств: Xi, 1 <=i<= п, Yi, 1 <= i <= п, таких, что

(1)

Это предположение означает возможность разбиения откликов и

входных стимулов на компоненты.

Если множества Х и У представимы в виде (1), то каждая пара

(Xi, Yi), 1 <= i <= п, приписывается определенной страте. i-я страта

системы S — это система, представленная как отображение Si:

(2)

Семейство определенных таким образом систем Si, 1 <= i <= п,

называется стратификацией S, если существуют два семейства

отображений h

: Y

-> W

+1, 1 <=i<= п, и с

: Y

—> W

i-1

, 1 <= i<= n,

такие, что для каждого элемента x из Х и у = S (х)

(3)

Множество Y

состоит из откликов i-й страты. 

и W

представляют собой множества стимулов, исходящих от страт,

примыкающих к i-й страте соответственно сверху и снизу.

Отображения h

и c

называются соответственно информационной

функцией и распределительной функцией i-й страты; они связывают

страты вместе, как, например, в (3), образуя систему S.

Рассматривая конкретные свойства отображений h

и c

попытаемся формально определить, насколько “удачны” различные

варианты разбиения системы на страты; при этом мы будем различать

несколько степеней стратификации.

Система S называется полностью стратифицированной, если

каждая ее страта S

, 1 <=i<=п, такова, что для любой пары (

, W

) из



* W

и любых двух элементов х

и х'

из X

(4)

Это означает, что для данного воздействия (вмешательства) 

обратной связи w

отклик подсистемы S

на произвольное изменение

стимула X

будет таким, что w

i+1

и 

i-1

не изменяются; другими

словами, отклик не выходит за пределы i-й страты. Отметим, что

полная стратификация зависит не только от преобразований S

, но

также и от отображений h

и с

. Иначе говоря, чтобы полностью

описать такое разбиение, необходимо задать не только страты, но и

взаимные связи межу ними.

Требование полной локализации откликов каждой страты есть,

несомненно, сильное условие. Более слабым является понятие

устойчивой стратификации, при которой такая локализация имеет

место не для всех, а лишь для некоторых пар “воздействие — обратная

связь”.

Следует отметить особое положение верхней страты. Она имеет

собственное множество внешних стимулов Х

, а ее отклик зависит от

всей иерархии, расположенной ниже. В этом случае требования,

которые верхний уровень накладывает на нижние, формулируются на

основе информации, поступающей по линиям обратной связи wп,

поскольку это единственный канал для сообщений, идущих снизу.

Таким образом, устойчивую стратификацию можно

характеризовать следующим условием: для некоторых х из X, у = S (х)

при всяком i, 1<= i<= п, существует пара (

, 

), такая, что

и, кроме того, для всех х' из Х при любом i, 1 <=i<= п, имеют

место равенства (4).

Различие между полной и устойчивой стратификациями

заключается в том, что в определении последней не требуется, чтобы

страты были независимы для любой пары “воздействие — обратная

связь”; необходимым считается только существование некоторых

“состояний всей системы”, для которых отклики оказываются

локализованными в соответствующих стратах.

Разумеется, возникает вопрос — как достичь устойчивого

состояния в иерархии, однако для анализа этого вопроса необходимо

более подробное знание структуры системы.

Как полная, так и устойчивая стратификации представляют собой

идеализированные модели, лишь приближенно отражающие структуру

реальных систем. Можно разными способами смягчать условия,

получая в результате не полностью стратифицированные системы. Мы

не будем заниматься формализацией таких ослабленных условий, а

ограничимся лишь несколькими пояснениями.

Равенство (4) может выполняться не для всех возмущений из X, а

лишь для тех, которые соответствуют “нормальным” условиям работы

системы. Для проведения устойчивой или даже полной стратификации

при ограничениях, наложенных на стимулы, может возникнуть

необходимость объединения нескольких соседних страт в одну. В

некоторых случаях вполне может оказаться, что после такого

объединения остается единственная страта и, таким образом,

уничтожается сама стратификация.

Стратификация подразумевает сокращение объема информации,

идущей вверх по иерархии: для вышерасположенных страт многие

стимулы, поступающие от нижних страт, несут сходную информацию.

Такое “сокращение объема информации” по мере продвижения вверх

по иерархической лестнице страт имеет множество интересных

следствий, одно из которых указывает на целесообразность введения

многоэшелонной иерархии организационного типа.

Рассмотрим случай, когда влияние внешних стимулов имеет

место только па нижнем уровне системы. В этом случае чем выше

расположен уровень, тем меньший объем информации ему нужно

обрабатывать. Отсюда вытекают два важных следствия:

1) Если система построена из блоков, обладающих

ограниченной “решательной” способностью, то каждая страта будет

состоять из тем меньшего количествам таких блоков, чем выше она

расположена.

2) Сократить объем информации можно многими

способами. Одним из них является агрегирование. Как говорилось

выше, агрегирование приводит к разбиению семейства переменных на

такие подсемейства, каждое из которых описывается единственной

“агрегированной” переменной. В действительности это означает

разбиение нижней страты на подсистемы. Практически

информационная обратная связь может быть успешно реализована

через переменные, связанные с осуществлением взаимодействия между

подсистемами, как, например, в случае координации с помощью

принципов прогнозирования и согласования взаимодействий.

Таким образом, отметив необходимость уменьшения объема

информации от уровня к уровню, мы приходим естественным путем к

горизонтальной декомпозиции страты на подсистемы. На каждой

страте решающие элементы (блоки принятия решений) имеют дело в