Городов Р.В., Губин В.Е., Матвеев А.С. Нетрадиционные и возобновляемые источники энергии
Подождите немного. Документ загружается.
131
1
1
.
1
u
u
ue z
Vez
µ
µ
−
⋅
=⋅
++
(7.5.2.3)
Преобразуя уравнение (7.5.1.8), находим соотношение между z
u
и
z:
11 1
1
.
111(1)
u
ru r V u V z u
z
VVVVVeVe
ω
ω
ν
⋅
+⋅
==⋅+⋅=+
−
−−−⋅−
Подставим значение
1
u
V
из уравнения (7.5.2.2):
2
1
.
11
u
u
u
ze z
z
eez
µ
µ
−
⋅
=+ ⋅
−− +
(7.5.2.4)
2
1
(1 ) .
1
u
u
u
ez
zz e
ez
µ
µ
−
⋅
=⋅−− ⋅
++
(7.5.2.5)
Решаем это уравнение относительно z
u
:
2
22
0
111 1
u
uu u
zz z e e
zz z
eee e
µ
µµ
⋅⋅
+⋅ − − − + ⋅⋅ =
−−− −
;
2
22
0
11 11
uu
ze ez
zz
ee ee
µµ µ
⎛⎞
−−−⋅−−⋅=
⎜⎟
−− −−
⎝⎠
;
2
1
1
21 1
u
ze
z
ee
µ
⎡⎤
⎛⎞
=−⋅+±
⎜⎟
⎢⎥
−−
⎝⎠
⎣⎦
2
22
1
1.
41 1 1 1
zeez
eeee
µµ
⎡⎤
⎛⎞
±−⋅+++⋅
⎜⎟
⎢⎥
−−+−
⎝⎠
⎣⎦
(7.5.2.6)
Так как
µ
обычно имеет малую величину, то, приняв
0
µ
=
, урав-
нения (7.5.2.5) и (7.5.2.6) можно упростить:
(1 )
(1 )
u
u
e
zz e
ze
=⋅−−
⋅
−
. (7.5.2.5а)
2
2
41
11
11
1
2(1 ) 2(1 )
i
u
ee
ze
z
zz z
ee
ξ
⋅−
++ ⋅
++
+
=⋅ =⋅
⋅− ⋅−
. (7.5.2.6а)
Уравнения (7.5.1.14), (7.5.1.22) и (7.5.2.6) позволяют сделать пол-
ный аэродинамический расчёт ветроколеса для заданных
R
ω
⋅
и V, а
132
также формы профиля крыла. При этом пользуются диаграммой C
y
и C
x
,
построенной для данного профиля.
Задавая e в пределах 0,28 до 0,35 и наиболее выгодный угол атаки,
по диаграмме C
y
и C
x
для данного профиля находят:
x
y
C
C
µ
=
.
Подставляя значения z, e и
µ
в уравнение (7.5.2.6), находят число
относительных модулей z
u
. Далее, пользуясь уравнением (7.5.1.14), на-
ходят суммарную ширину лопастей
ib
⋅
:
2
2
81
.
(1 )(1 )
()1
y
uu
re
ib
Cee
zz
π
µ
⋅⋅
⋅= ⋅ ⋅
+−
+⋅+
(7.5.2.7)
И, наконец, определяют угол заклинения лопасти
ϕ
на радиусе
r:
.
u
arcctg z
ϕ
α
=
−
(7.5.2.8)
C
y
находят по диаграмме C
y
по
α
, построенной на основании экс-
периментальных данных.
7.5.3. Момент и мощность всего ветряка
Момент всего ветряка получим, проинтегрировав уравнение
(7.5.1.27) в пределах от r
0
до R, где r
0
– расстояние от оси ветряка до на-
чала лопасти и R – расстояние от оси ветряка до конца лопасти:
00
22
1
4.
1
RR
u
u
rr
ez
M
dM r V dr
ez
µ
πρ
µ
−⋅
==⋅⋅⋅⋅⋅⋅
++
∫∫
(7.5.3.1)
Этот момент обычно выражают в отвлеченных величинах и обо-
значают через
M
с чертой вверху. При этом правую и левую части ра-
венства (7.5.3.1) делят на
2
3
2
V
R
ρ
π
⋅
⋅⋅
и вводят обозначение
r
r
R
=
, на-
зываемое
относительным радиусом
:
0
2
1-
8.
1
R
u
u
r
ez
M
rdr
ez
µ
µ
⋅
=⋅ ⋅ ⋅
++
∫
(7.5.3.2)
Уравнение (7.5.3.2) является основным для вычисления характе-
ристики моментов. Им можно пользоваться при переменных значениях
e вдоль r, если предположить, что элементарные струи не влияют друг
на друга, что практически допустимо при плавных изменениях e.
133
Для ветряка с постоянным e по радиусу мы можем вынести e за
знак интеграла:
0
2
1-
8.
1
R
u
u
r
ez
M
rdr
ez
µ
µ
⋅
=⋅ ⋅ ⋅
++
∫
(7.5.3.3)
Этот интеграл можно решить, если пренебречь кручением струи,
которое у быстроходных ветряков незначительно.
Следовательно, мы можем принять
1
0
u
=
и относительное число
модулей z
u
уравнения (7.5.1.8) можем выразить так:
1
11
.
(1 ) 1
u
ru r r z
z
VVVee
ω
ωω
νν
⋅+ ⋅ ⋅
=≅= =
−−⋅−−
(7.5.3.4)
Для конца лопасти имеем
1
.
u
R
z
V
ω
ν
⋅
≅
−
(7.5.3.5)
Разделив уравнение (7.5.3.4) на (7.5.3.5), получим:
.
u
u
rz
R
Z
≅
(7.5.3.6)
.
u
u
dr dz
R
Z
≅
(7.5.3.7)
Сделав ряд преобразований уравнения (7.5.3.3) и пренебрегая ма-
лыми величинами
2
µ
и
0
3
3
u
u
z
Z
, получим:
0
2
0
2
1
4
(1 ) 1 2 .
(1 ) 3
u
uu
r
erZ
R
M
eZ R Z
µµ
⎡⎤
⎛⎞
−
⎢⎥
⎜⎟
⎛⎞
⋅
=⋅+⋅−−⋅+
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
+⋅
⎝⎠
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎣⎦
(7.5.3.8)
Подставляя значение z
u
из уравнения (7.5.3.4), получим:
2
00
2
2
0
2
11
41
12 .
132
u
u
rr
ee r Z
RR
M
Ze R Z
µ
⎡⎤
⎛⎞
−−
⎢⎥
⎜⎟
⎛⎞
⋅−
=⋅ ⋅−−⋅+ −
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
(7.5.3.9)
Мощность, развиваемая ветряком, равна
M
ω
⋅
, а так как из урав-
нения (7.5.3.2) момент равен:
2
3
,
2
V
MM R
ρ
π
⋅
=⋅⋅⋅ (7.5.3.2а)
то мощность, развиваемую ветряком, можно написать так
134
2
3
.
2
V
TM M R
ρ
ω
πω
⋅
=⋅=⋅⋅⋅ ⋅
(7.5.3.10)
Подставив сюда
R
Z
V
ω
⋅
= , вместо
Z
V
R
ω
⋅
= , получим:
3
2
.
2
V
TM R Z
ρ
π
⋅
=
⋅⋅ ⋅ ⋅ (7.5.3.11)
Заменив
M
его значением из уравнения (7.5.3.9), получим:
2
00
23
2
2
0
2
11
1
412 .
1322
u
u
rr
er Z V
RR
Te R
eR Z
ρ
µπ
⎡⎤
⎛⎞
−−
⎢⎥
⎜⎟
⎛⎞
−⋅
=⋅⋅ ⋅ − − ⋅ + − ⋅⋅ ⋅
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
(7.5.3.12)
Разделив мощность ветряка на секундную энергию потока, полу-
чим
коэффициент использования энергии ветра
:
2
00
2
2
0
3
2
2
11
1
412 .
132
2
u
u
rr
TerZ
RR
e
V
eR Z
R
ξµ
ρ
π
⎡
⎤
⎛⎞
−−
⎢
⎥
⎜⎟
⎛⎞
−
==⋅⋅⋅−−⋅+−
⎢
⎥
⎜⎟
⎜⎟
⋅
+
⎝⎠
⎢
⎥
⎜⎟
⋅⋅
⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠
⎣
⎦
(7.5.3.13)
Так как
1
4
1
i
e
e
e
ξ
−
⋅⋅ =
+
и
i
ξ
ξη
=
⋅
,
то
2
00
2
2
0
2
11
12 .
32
u
u
rr
rZ
RR
RZ
ηµ
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎛⎞
=− − ⋅ + −
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
(7.5.3.14)
При выводе этого уравнения не были приняты во внимание поте-
ри, происходящие вследствие образования вихрей, сходящих с концов
лопастей, а также принято кручение уходящей струи равное нулю, что
допустимо у быстроходных ветряков.
Следовательно, коэффициент использования энергии ветра, под-
считанный по формуле (7.5.3.13), будет значительно выше возможного
к получению в практике.
135
7.5.4. Потери ветряных двигателей
Потери ветряных двигателей разделяются на четыре группы.
1. Концевые потери, происходящие за счёт образования вихрей,
сходящих с концов лопастей. Эти потери определяются на основании
теории индуктивного сопротивления. Часть этих потерь была учтена
при выводе идеального коэффициента использования энергии ветра
i
ξ
;
неучтенная часть концевых потерь выражается формулой (7.5.4.1):
2
2
1
81
1
.
1(1)
1
1
2
j
e
Z
e
T
eeiZ
iZ
e
π
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
−
⎛⎞
⋅+
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎢⎥
≅⋅ −
⎢⎥
−+⋅⋅
⎛⎞
⎢⎥
⎜⎟
⋅
⎢⎥
⎜⎟
+
⎢⎥
⎛⎞
⎜⎟
⋅−
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
(7.5.4.1)
2. Профильные потери, которые вызываются трением струй воз-
духа о поверхность крыла и зависят только от профиля лопастей.
Мощность, поглощаемая профильным сопротивлением элемен-
тарных лопастей длиною
dr
, на радиусе r ветряка равна:
2
,
2
pp
W
dT i C b dr W
ρ
=⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅
(7.5.4.2)
где
p
C
– коэффициент профильного сопротивления, который для крыла
бесконечного размаха равен
x
C
, т. е.:
.
px
CC
=
Так как
x
y
C
C
µ
= или
x
y
CC
µ
=
, то
py
CC
µ
=
⋅
. Подставляя значение
p
C
, равное
y
C
µ
⋅
и
2
1
()1
u
WV Z
ν
=−⋅+
в уравнение (7.5.4.2), получим:
32 2
1
()(1)1.
2
py uu
dT i b C dr V Z Z
ρ
µν
=⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ +
Подставляем значение
y
ibC
⋅
⋅
из уравнения (7.5.14) и делаем пре-
образования этого уравнения:
2
3
1
2
41
() .
(1 ) (1 )
u
p
u
rdre Z
dT V
ee Z
π
ρ
νµ
µ
⋅⋅⋅ ⋅ +
=⋅⋅−⋅⋅
+⋅− +
136
Подставляем:
;
V
rz
ω
=
⋅
;
V
dr dz
ω
=
1
u
z
z
e
≅
−
и отбрасываем в знаменателе
µ
, как малую величину, по сравне-
нию с
u
z
:
52 2
22
(1 )
41.
1(1)
p
Ve e z
dT dz
ee
πρ µ
ω
⎡
⎤
⋅−
≅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ +
⎢
⎥
+−
⎣
⎦
Интегрируя в пределах от 0 до Z получим:
52 2
22
0
(1 )
41.
1(1)
Z
p
Ve e z
dT dz
ee
πρ µ
ω
⎡
⎤
⋅−
≅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
⎢
⎥
+−
⎣
⎦
∫
Профильные потери там, где уже кончилась лопасть, существуют
в виде сопротивления маха, которое таким образом учитывается при-
близительно. В результате интегрирования получаем профильные поте-
ри всего ветряка
332 3
2
22 2
4(1)
2,
21 3(1)
p
VeeV Z
dT R Z
eR e
ρ
πµ
ω
⎡
⎤
⋅⋅⋅−
′
≅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ +
⎢
⎥
+⋅ ⋅−
⎣
⎦
где
x
y
C
C
µ
′
=
есть средняя величина по всей лопасти.
Так как
1
4
1
i
e
e
e
ξ
−
⋅
⋅=
+
и
1V
R
Z
ω
=
⋅
, то, подставляя значения этих
выражений в данное уравнение и разделив его на
3
2
2
i
V
R
ρ
π
ξ
⋅
⋅
⋅⋅
, полу-
чим окончательную формулу профильных потерь в безразмерном зна-
чении:
3
2
1
2.
3(1 )
2
p
p
i
T
eZ
T
V
Z
e
R
µ
ρ
πξ
⎡
⎤
−
′
≅=⋅⋅+
⎢
⎥
⋅
⋅−
⎣
⎦
⋅⋅ ⋅
(7.5.4.3)
3. Потери на кручение струи за ветряком равны живой силе тан-
генциальных скоростей уходящей струи. Величину этих потерь полу-
137
чим, проинтегрировав живую силу от тангенциальных скоростей всех
элементарных струй в пределах от
0
r
до
R
, а именно:
0
2
2
2.
2
R
m
r
u
TrdrV
πρ
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
∫
(7.5.4.4)
Заменим в данном выражении
2
u
его значением, которое равно
1
2
u⋅
:
1
11
,
11
1
uu
u
u
u
ue z e z
Vez e
z
z
µ
µ
µ
µ
−
⋅−⋅
=⋅ =⋅
+++⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
1
u
z
z
e
≅
−
и
1
1
u
u
z
z
µ
η
µ
−
⋅
=
+
получим
1
1
,
1
ee
uV
ze
η
−
≅
⋅⋅⋅
+
следовательно
21
1
24 ,
12
eV
uue
ez
η
−
=⋅ ≅⋅⋅ ⋅⋅
+
⋅
откуда
2
,
2
i
V
u
z
ξ
η
=
⋅⋅
⋅
или
2
.
2
i
VR
u
Z
r
ξ
η
=
⋅⋅⋅
⋅
(7.5.4.5)
Подставляя значение
2
u
в уравнение (7.5.4.4), получим:
0
222
3
22
.
4
R
i
m
r
R
TrdrV
rZ
ξ
η
πρ
⋅
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅
∫
Вынося постоянные за знак интеграла и заменив
η
некоторым его
значением
1
η
, средним для всего радиуса
r
, получим:
0
322 322
22
11
22 2
0
ln .
22 22
R
ii
m
r
Vdr V R
TR R
Z
rZr
ξη ξη
πρ πρ
⋅⋅
=⋅ ⋅⋅ ⋅ =⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
⋅⋅
∫
Поделив обе части этого равенства на мощность идеального вет-
ряка
138
3
2
,
2
ii
V
TR
π
ρξ
=
⋅⋅⋅⋅
получим отвлечённую величину потерь на кручение струи за вет-
ряком:
2
1
2
0
ln .
2
i
m
R
T
Z
r
ξη
⋅
=⋅
⋅
(7.5.4.6)
4. Потери, происходящие вследствие неполного использования
всей ометаемой площади, учитываются отношением:
2
0
.
r
R
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
Полезную мощность, развиваемую ветряком, получим, вычтя все
потери из мощности идеального ветряка:
2
0
1
ijpm
r
TT T T T
R
⎛⎞
=⋅− − − −
⎜⎟
⎝⎠
.
Разделив на
i
T
получим
2
0
2
1,
jp
m
iiii
TT
Tr T
TRTTT
=− − − −
откуда:
2
0
1.
ijpm
r
TT T T T
R
⎡
⎤
⎛⎞
=⋅− − − −
⎢
⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎢
⎥
⎣
⎦
(7.5.4.7)
Разделив правую и левую части этого уравнения на выражение
энергии ветра
3
2
2
V
R
πρ
⋅
⋅⋅
, получим коэффициент использования энер-
гии ветра реального ветряка:
2
0
1.
ijpm
r
TTT
R
ξξ
⎡
⎤
⎛⎞
=⋅− −− −
⎢
⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎢
⎥
⎣
⎦
(7.5.4.8)
Согласно уравнению
i
ξ
ξη
=
⋅
находим, что относительный коэф-
фициент полезного действия
η
ветряка равен:
2
0
1.
jpm
r
TTT
R
η
⎛⎞
=− − − −
⎜⎟
⎝⎠
(7.5.4.9)
139
7.6. Различные режимы работы ветроколеса
Ветроколесо в отличие от гидротурбины обтекается практически
безграничным потоком воздуха, поэтому здесь нет возможности отвести
прошедший через ветроколесо воздух за пределы набегающего потока,
и это определенным образом ограничивает эффективность ветроустано-
вок. Наиболее существенное ограничение связано с тем, что «отрабо-
танный» воздушный поток должен обладать определенной скоростью,
чтобы покинуть окрестность ветроколеса, не
создавая помех набегаю-
щему потоку.
Эффективность преобразования ветроколесом энергии ветрового
потока будет оптимальной, если:
•
лопасти расположены так тесно или ветроколесо вращается так быст-
ро, что каждая лопасть движется в потоке, турбулизованном располо-
женными впереди лопастями;
•
лопасти расположены так редко или ветроколесо вращается так мед-
ленно, что значительная часть воздушного потока будет проходить че-
рез поперечное сечение ветроколеса, практически не взаимодействуя с
его лопастями.
Отсюда следует, что для достижения максимальной эффективно-
сти частоты вращения ветроколеса, заданной геометрии должна как-то
соответствовать скорости ветра.
Эффективность работы ветроколеса зависит
от соотношения двух
характерных времен: времени
b
τ
, за которое лопасть перемещается на
расстояние, отделяющее ее от соседней лопасти, и времени
w
τ
, за кото-
рое создаваемая лопастью область сильного возмущения переместится
на расстояние, равное ее характерной длине. Время
w
τ
зависит от раз-
мера и формы лопастей и изменяется обратно пропорционально скоро-
сти ветра.
Характерное время
b
τ
для n – лопастного ветроколеса, вращающе-
гося с угловой скоростью
ω
, равно:
2
b
n
π
τ
ω
⋅
≈
⋅
.
Характерное время существования в плоскости ветроколеса созда-
ваемого лопастью возмущения
w
τ
примерно равно:
0
w
d
u
τ
≈
.
Здесь
0
u
– скорость набегающего потока воздуха; d – характерная
длина возмущенной лопастью области.
140
Эффективность использования ветроколесом энергии ветра мак-
симальна, когда на конце лопастей выполняется условие:
wb
τ
τ
=
;
0
2n
ud
ω
π
⋅
⋅
=
.
Используя выражение для коэффициента быстроходности Z и ум-
ножая обе части последнего выражения на радиус ветроколеса R, полу-
чаем условие, определяющее максимальную эффективность его работы:
2
R
Z
nd
π
⋅
⎛⎞
≈⋅
⎜⎟
⎝⎠
.
Из общих соображений можно ожидать, что
dR
κ
≈
⋅
и
1
κ
≈
, то-
гда оптимальная быстроходность колеса:
0
2
Z
n
π
κ
⋅
≈
⋅
.
Практика показывает, что в действительности
1
2
κ
≈
, поэтому для
n – лопастного ветроколеса оптимальная быстроходность:
0
4
Z
n
π
⋅
≈
.
Быстроходность ветроколеса является самым важным для их ха-
рактеристики параметром, зависящим от трех основных переменных:
радиуса ометаемой ветроколесом окружности, его угловой скорости
вращения и скорости ветра. Как безразмерная величина он является ос-
новным параметром подобия при исследовании и конструировании вет-
роэлектрогенераторов.
Обобщение линейной теории позволяет определять характеристи-
ки ветроколес и
воздушных винтов (авиационных пропеллеров).
Характерные режимы работы ветроколеса или пропеллера в зави-
симости от параметра a:
–
0a <
,
η
отрицателен. Это режим авиационного пропеллера, соз-
дающего тягу. В этом режиме осевая нагрузка пропеллера направлена в
сторону набегающего потока, увлекая вперед летательный аппарат;
–
00,5a<<
,
η
в этом диапазоне положителен и достигает макси-
мума. При
0a =
10
uu=
0
η
=
. Это режим свободного вращения ветро-
колеса в отсутствие нагрузки. При нагружении ветроколеса скорость
1
u
уменьшается и коэффициент мощности становится положительным.
Максимального значения он достигает при
1
3
a
=
, когда
0
1
2
3
u
u
⋅
=
. При