Горбатович Ж.Н., Семенкова А.С. и др. Высшая математика: в 4-х ч., Часть 3
Подождите немного. Документ загружается.
49
11.2. Криволинейные интегралы второго рода (КРИ2)
11.2.1. Определение и свойства криволинейных интегралов
второго рода
Пусть на гладкой кривой
AB
(или
L
) плоскости
Oxy
задана
непрерывная функция двух переменных
)
;
(
y
x
P
. Разобьем кривую
AB
на
n
произвольных частей точками
0
MA
=
,
1
M ,…, BM
n
=
. На
каждой дуге
ii
MM
1
−
, длина которой
i
l
∆
( ni ,1= ), выберем
произвольно точку );(
iii
yxC .
Составим сумму
=
∆
+
+
∆
+
∆
=
σ
nnn
xCPxCPxCP )(...)()(
2211
i
n
i
ii
n
i
ii
xyxPxCP ∆=∆=
∑∑
==
11
);()( , где
i
x
∆
– проекция дуги
ii
MM
1
−
на ось
Ox
. Эта сумма называется
интегральной суммой
второго рода.
Пусть
i
ld
∆
=
max – наибольшая из длин дуг
ii
MM
1
−
( ni ,1= ). Если
0
→
d
, то и наибольшее из 0
→
∆
i
x , а
∞
→
n
.
Если существует конечный предел последовательности
интегральных сумм
n
σ
при
0
→
d
( 0max
→
∆
i
x ), не зависящий ни
от способа разбиения дуги
L
на части, ни от выбора точек );(
iii
yxC
( ni ,1= ), то этот предел называется
криволинейным интегралом
второго рода (КРИ2) по координате
x
∫∫
∑
==∆
=
→
LAB
n
i
iii
d
dxyxPdxyxPxyxP );();();(lim
1
0
.
Аналогично определяется криволинейный интеграл второго
рода по координате
y
, который обозначается
∫
L
dyyxQ );( ,
где
)
;
(
y
x
Q
– непрерывная функция.
Сумма криволинейных интегралов
∫
L
dxyxP );( и
∫
L
dyyxQ );(
называется криволинейным интегралом второго рода и обозначается
50
∫
+
L
dyyxQdxyxP );();( .
Криволинейные интегралы второго рода называются также
криволинейными интегралами по координатам.
Криволинейный интеграл второго рода обладает свойствами,
аналогичными свойствам определенного интеграла. В частности,
∫∫
+−=+
BAAB
dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP );();();();(
,
т. е. криволинейный интеграл второго рода
меняет знак при
изменении направления интегрирования.
11.2.2. Вычисление криволинейных интегралов второго рода
1. Если кривая
L
задана уравнением
)
(
x
y
y
=
,
[
]
bax
;
∈
, где
)
(
x
y
y
=
и ее производная
)
(
'
x
y
непрерывна на отрезке
[
]
ba
; , то
[ ]
∫∫
+=+
b
aL
dxxyxyxQxyxPdyyxQdxyxP
)('))(;())(;();();( .
(11.4)
2. Если кривая
L
задана параметрически, т. е. в виде
)
(
t
x
x
=
,
)
(
t
y
y
=
,
[
]
β
α
∈
;
t
, где функции
)
(
t
x
,
)
(
t
y
непрерывны вместе со
своими производными
)
(
'
t
x
,
)
(
'
t
y
, то
=+
∫
L
dyyxQdxyxP );();(
[ ]
∫
β
α
+= dttytytxQtxtytxP )('))();(()('))();((
.
(11.5)
3. Если кривая
L
замкнута, то криволинейный интеграл второго
рода обозначается
∫
+
L
QdyPdx
. Направление обхода иногда
поясняется стрелкой на кружке, который расположен на знаке
интеграла.
Связь между двойным интегралом по области
D
и
криволинейным интегралом по границе
L
этой области
устанавливается формулой Остроградского–Грина.
Пусть на плоскости
Oxy
задана область
D
, ограниченная
кривой, пересекающейся с прямыми, параллельными координатным
осям не более чем в двух точках.
51
Если функции
)
;
(
y
x
P
и
)
;
(
y
x
Q
непрерывны вместе со своими
частными производными
y
P
∂
∂
и
x
Q
∂
∂
в области
D
, то имеет место
формула
∫∫∫
∂
∂
−
∂
∂
=+
DL
dxdy
y
P
x
Q
QdyPdx
, (11.6)
где
L
– граница области
D
и интегрирование вдоль кривой
L
производится в положительном направлении (т. е. при движении
вдоль кривой область
D
остается слева).
Формула (11.6) называется формулой Остроградского–Грина.
Условие независимости криволинейного интеграла второго рода
от пути интегрирования
Пусть функции
)
;
(
y
x
P
и
)
;
(
y
x
Q
непрерывны вместе со своими
частными производными в односвязной области
D
. Тогда, для того
чтобы криволинейный интеграл
∫
+
L
dyyxQdxyxP );();(
не зависел от
линии интегрирования, лежащей в области
D
, необходимо и
достаточно, чтобы во всех точках области
D
имело место равенство
y
P
∂
∂
=
x
Q
∂
∂
.
Область
D
называется односвязной, если для любого
замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть
плоскости целиком принадлежит
D
.
Некоторые приложения криволинейного интеграла второго рода
Площадь плоской фигуры
Площадь
S
плоской фигуры
D
, расположенной в плоскости
Oxy
и
ограниченной замкнутой линией
L
, находится по формуле
∫
−=
L
ydxxdyS
2
1
,
при этом кривая
L
обходится против часовой стрелки.
Работа переменной силы
Работа
переменной силы
jyxQiyxPF
);();( += вдоль пути
L
выражается интегралом
52
∫
+=
L
dyyxQdxyxPA
);();( . (11.7)
11.2.3. Примеры решения задач
Пример 1А. Вычислить
криволинейный интеграл
∫
+
)(
)(
22
N
M
dyxyydxx
вдоль кривой
2
xy
= от
)
0
;
0
(
M
до
)
1
;
1
(
N
.
Решение. Воспользуемся
формулой (11.4).
xdx
dy
2
=
, тогда
( )
=+=+=+
∫∫∫
1
0
64
1
0
422
)(
)(
22
22
dxxxxdxxxdxxxdyxyydxx
N
M
35
17
.
Пример 2А.
Найти работу силы
jxyiyF
)34(4 −+−= при
перемещении материальной точки вдоль ломаной
OBC
, причем
)
0
;
0
(
O
,
)
0
;
2
(
B
,
)
4
;
2
(
C
.
Решение. Ломаная
OBC
представлена на рис. 11.4.
По формуле (11.7) имеем
=−+−=
∫
OBC
dyxyydxA
)34(4
+−+−=
∫
OB
dyxyydx
)34(4
∫
−+−+
BC
dyxyydx
)34(4
OB
:
0
=
y
,
0
=
dy
,
2
0
≤
≤
x
. Тогда
∫∫
=⋅−=−+−
2
0
0)030()34(4
dxxdyxyydx
OB
.
BC
:
2
=
x
,
dy
dx
0
=
,
4
0
≤
≤
y
.
Тогда
=−=−=−+⋅−=−+−
∫ ∫∫
4
0
2
4
0
4
0
)62()64())64(04()34(4 yydyydyyydyxyydx
BC
8
24
32
=
−
=
, и работа
8
8
0
=
+
=
A
.
Пример 3А. Вычислить
∫
−
L
ydxxdy
, где
L
– окружность
9
22
=+
yx
.
2
y
B
C
x
Рис. 11.4
0
53
Решение.
1) Используя параметрические уравнения окружности
t
x
cos
3
=
,
t
y
sin
3
=
,
[
]
π
∈
2;0
t
, получаем
=−
∫
L
ydxxdy
=−−
∫
π
2
0
))sin3(sin3cos3cos3(
dttttdtt
(
)
∫
π
+=
2
0
22
sin9cos9
dttt
π=π⋅==
∫
π
18299
2
0
dt
.
2) Можно вычислить интеграл по формуле (11.6):
y
P
−
=
,
x
Q
=
,
1−=
∂
∂
y
P
, 1=
∂
∂
x
Q
,
D
– круг 9
22
≤+
yx
. Тогда =−
∫
L
ydxxdy
π=π⋅==−−=
∫∫∫∫
18922))1(1(
DD
dxdydxdy
, так как
D
D
Sdxdy
=
∫∫
.
11.2.4. Задачи для самостоятельного решения
А
1. Вычислить криволинейные интегралы 1-го рода.
а)
∫
+
L
yx
dl
, где
L
– отрезок
AB
,
)
4
;
2
(
A
,
)
3
;
1
(
B
;
б)
(
)
∫
+
L
dlyx
22
, где
L
– окружность
222
ayx
=+ .
2. Вычислить криволинейные интегралы 2-го рода.
а)
∫
+
L
dyxxydx
2
2 , где
L
– отрезок
AB
,
)
1
;
2
(
A
,
)
0
;
2
(
B
;
б)
∫
L
xydx
, где
L
– дуга синусоиды
x
y
sin
=
от точки
)
0
;
0
(
до точки
)
0
;
(
π
.
3. Найти работу силы
jxyiyF
)2+= при перемещении материальной
точки вдоль окружности
t
a
x
cos
=
,
t
a
y
sin
=
,
2
0
π
≤≤ t ,
против
часовой
стрелки
.
Б
4.
Вычислить
∫
L
dly
2
,
где
L
–
дуга
циклоиды
)
sin
(
t
t
a
x
−
=
,
)
cos
1
(
t
a
y
−
=
,
π
≤
≤
2
0
t
.
54
5.
Вычислить
∫
+
L
dyxdxy
22
,
где
L
–
верхняя
половина
эллипса
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
,
пробегаемая
против
хода
часовой
стрелки
.
11.2.5. Ответы
A
1. а)
2
3
ln
2
2
;
б)
3
2
a
π .
2.
а)
4
−
;
б
)
π
.
3.
π
−
43
2
2
aa .
Б
4
.
3
15
256
a .
5.
2
3
4
ab− .
55
ЛИТЕРАТУРА
1.
Кудрявцев
,
В
.
А
.
Краткий
курс
высшей
математики
/
В
.
А
.
Кудрявцев
. –
М
.:
Наука
, 1986, 1989.
2.
Гусак
,
А
.
А
.
Высшая
математика
:
в
2
т
./
А
.
А
.
Гусак
. –
Минск
.:
ТетраСистемс
, 2001.
3.
Герасимович
,
А
.
И
.
Математический
анализ
:
справ
.
пособие
;
в
2
ч
.
Ч
. 2./
А
.
И
.
Герасимович
,
Н
.
А
.
Рысюк
. –
М
i
нск
.:
Выш
.
шк
., 1989.
4.
Лунгу
,
К
.
Н
.
Сборник
задач
по
высшей
математике
. 2
курс
/
К
.
Н
.
Лунгу
[
и
др
.];
под
ред
.
С
.
Н
.
Федина
. –
М
.:
Айрис
-
пресс
, 2004.
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ
.........................................................................................3
Глава
9.
ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
..........................4
9.1.
Понятие
функции
нескольких
переменных
.
Частные
производные
.
Полный
дифференциал
.
Частные
производные
высших
порядков
....................................................................................4
9.1.1.
Основные
теоретические
сведения
.........................................4
9.1.2.
Примеры
решения
задач
...........................................................6
9.1.3.
Задачи
для
самостоятельного
решения
...................................9
9.1.4.
Ответы
......................................................................................10
9.2.
Локальные
экстремумы
функции
двух
переменных
..................11
9.2.1.
Основные
теоретические
сведения
.......................................11
9.2.2.
Примеры
решения
задач
.........................................................13
9.2.3.
Наименьшее
и
наибольшее
значения
(
глобальные
экстремумы
)
функции
двух
переменных
в
замкнутой
области
...15
9.2.4.
Условный
экстремум
..............................................................17
9.2.5.
Метод
наименьших
квадратов
...............................................19
9.2.6.
Задачи
для
самостоятельного
решения
.................................21
9.2.7.
Ответы
......................................................................................22
9.3.
Производная
по
направлению
.
Градиент
....................................23
9.3.1.
Основные
теоретические
сведения
.......................................23
9.3.2.
Примеры
решения
задач
.........................................................24
9.3.3.
Задачи
для
самостоятельного
решения
.................................26
9.3.4.
Ответы
......................................................................................26
Глава
10.
ДВОЙНЫЕ
И
ТРОЙНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
..............................27
10.1.
Двойной
интеграл
.........................................................................27
10.1.1.
Основные
теоретические
сведения
.....................................27
56
10.1.2.
Вычисление
двойного
интеграла
.........................................29
10.1.3.
Примеры
решения
задач
.......................................................30
10.1.4.
Вычисление
двойного
интеграла
в
полярных
координатах
33
10.1.5.
Задачи
для
самостоятельного
решения
...............................34
10.1.6.
Ответы
....................................................................................35
10.2.
Вычисление
объемов
тел
и
площадей
плоских
фигур
.............36
10.2.1.
Задачи
для
самостоятельного
решения
...............................39
10.2.2.
Ответы
....................................................................................39
10.3.
Тройной
интеграл
.........................................................................40
10.3.1.
Основные
теоретические
сведения
.....................................40
10.3.2.
Вычисление
тройного
интеграла
.........................................40
10.3.3.
Вычисление
объемов
с
помощью
тройного
интеграла
.....43
10.3.4.
Задачи
для
самостоятельного
решения
...............................44
10.3.5.
Ответы
....................................................................................45
Глава
11.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
.......................................46
11.1.
Криволинейные
интегралы
первого
рода
(
КРИ
1) ....................46
11.1.1.
Определение
и
свойства
КРИ
1 ............................................46
11.1.2.
Вычисление
криволинейных
интегралов
первого
рода
....46
11.1.3.
Примеры
решения
задач
.......................................................47
11.2.
Криволинейные
интегралы
второго
рода
(
КРИ
2).....................49
11.2.1.
Определение
и
свойства
криволинейных
интегралов
второго
рода
.......................................................................................49
11.2.2.
Вычисление
криволинейных
интегралов
второго
рода
....50
11.2.3.
Примеры
решения
задач
.......................................................52
11.2.4.
Задачи
для
самостоятельного
решения
...............................53
11.2.5.
Ответы
....................................................................................54