Глазов А.И., Морозов М.В. (сост.) Геометрическая кристаллография
Подождите немного. Документ загружается.
11
Если же заданные точки являются стереографическими
проекциями ребер, то измеренный угол есть угол между этими
ребрами.
Задача 5. Найти полюс дуги большого круга, заданной на
стереографической проекции (под полюсом дуги разумеют точку,
равноотстоящую от всех точек дуги на 90°).
Например, требуется найти полюс дуги аb (см. рис. 4).
1. Вращением кальки совмещаем заданную
дугу аb с
соответствующей меридиональной дугой сетки Вульфа.
2. Отсчитываем по горизонтальному диаметру сетки от точки
пересечения заданной дуги с этим диаметром по направлению к
центру сетки 90° (перейдя за него) и отмечаем кружком найденную
точку.
3. Возвращаем кальку в исходное положение и надписываем
точку – P
ab
.
(Проверьте, измерив углы между любыми точками дуги аb и
точкой P
ab
, что последняя действительно является полюсом этой
дуги.)
Найденная точка P
ab
, как легко проверить, действительно
является полюсом дуги аb.
Если точки a и b являются гномостереографическими
проекциями граней, дуга – гномостереографическая проекция ребра
между ними, а полюс этой дуги – его стереографическая проекция.
Если заданная дуга представляет собой стереографическую
проекцию грани, то найденный полюс дуги является
стереографической проекцией направления, перпендикулярного к
этой грани
, или, что то же самое, гномостереографической
проекцией самой грани.
Следует подчеркнуть, что, поскольку работа с точками гораздо
быстрее и удобнее работы с линиями, чаще всего используют
смешанную проекцию: грани кристалла изображают в
гномостереографической проекции, ребра и оси зон – в
стереографической. Все элементы симметрии принято изображать
в стереографической проекции.
Предлагаем найти
полюса дуг ab, bd и ad и определить их
сферические координаты.
12
Ответ: P
аb
(62°, 61°); P
bd
(194°, 59°); P
ad
(269°, 60°).
Задача 6 (обратная). По заданному полюсу найти дугу большого
круга, отвечающую его экватору.
1. Вращением кальки приводим заданный полюс на
горизонтальный диаметр сетки.
2. Отсчитываем по горизонтальному диаметру в направлении
центра сетки 90° (перейдя за него) и обводим проходящую здесь
меридиональную дугу. Эта последняя будет искомой
экваториальной дугой относительно заданного полюса
.
Если заданный полюс выражает гномостереографическую
проекцию грани, то найденная экваториальная дуга соответствует
стереографической проекции той же грани.
Если заданный полюс представляет стереографическую
проекцию ребра, то найденная дуга отвечает его
гномостереографической проекции.
Рекомендуем обратить особое внимание на решение задач 5 и 6,
так как именно они содержат механизм переходов от
стереографической проекции
к гномостереографической и обратно.
Задача 7. Измерить угол между двумя дугами больших кругов.
Например, требуется измерить угол между дугами ab и ad (см.
рис. 4).
1. Вращением кальки совмещаем точку пересечения дуг – а
(вершину измеряемого угла) с горизонтальным диаметром сетки.
2. Приняв эту вершину за полюс, проводим отвечающую ему
экваториальную дугу (задача 6).
3. Количество градусов, заключенное в этой дуге между
точками пересечения с ней двух заданных дуг, и является величиной
искомого угла.
Если заданные дуги больших кругов являются
стереографическими проекциями граней, то измеренный угол
представляет собой угол между гранями.
На рисунке 4 угол при вершине а равен 65°, при вершине b –
75° и при вершине d – 116°.
13
Задача 8. Построить геометрическое место точек,
образующих с заданной на проекции точкой одно и то же угловое
расстояние α (задача на построение малого круга).
Сущность задачи сводится к следующему. Вокруг некоторого
направления, стереографическая проекция которого отвечает
заданной на проекции точке, имеется множество направлений,
отклоненных от первого на один и тот же
угол α и образующих в
совокупности конус с углом раствора 2α. Пересечение этого конуса
с поверхностью сферы дает малый круг, в центре которого
находится точка пересечения заданного направления со сферой.
Согласно теореме, гласящей, что стереографическая проекция круга
является также кругом [2], стереографическая проекция исходного
направления является только стереографическим, а не
геометрическим
центром (геометрический центр совпадает со
стереографическим лишь в том частном случае, когда это
направление совмещено с осью проекций). Это и составляет
основную трудность данной задачи.
Пусть заданная точка лежит внутри круга проекций (например,
точка b (309°, 55°) на рис. 5). Требуется построить вокруг нее, как
стереографического центра, малый круг заданного радиуса (α=30°).
Рис. 5. Рис. 6.
Для этого совмещаем заданную точку с какой-либо параллелью,
изображенной на сетке Вульфа, отсчитываем по меридиональной
дуге сетки, проходящей через исходную точку, вверх и вниз угловое
14
расстояние α и отмечаем полученные при этом две точки.
Вращением кальки приводим заданную точку на какую-либо другую
параллель сетки и аналогичным путем получаем пару новых точек.
Повторяем такой прием до тех пор, пока полученные точки не
начнут совершенно отчетливо обрисовывать окружность. Эта
последняя может быть вычерчена с помощью одной из
параллелей
сетки Вульфа, кривизна которой соответствует искомому кругу. Для
этого центр кальки сдвигается с центра сетки, и часть построенных
точек совмещается путем наложения с упомянутой параллелью, по
которой в несколько приемов вычерчивается, в конце концов,
требуемый малый круг.
Решение задачи чрезвычайно упрощается при наличии циркуля.
Поворотом кальки приводим заданную точку
на любой диаметр
сетки и отсчитываем в обе стороны от нее требуемый угол α. Взяв
геометрическую середину найденного отрезка, принимаем ее за
центр и вычерчиваем требуемый круг.
В частном случае, когда заданная точка лежит на внешнем
круге проекций (ρ=90°), достаточно привести ее поворотом кальки
на один из полюсов, изображенных на сетке
Вульфа, отсчитать в
любую сторону по кругу (или по любой вспомогательной
меридиональной дуге сетки) требуемый угол и прочертить
соответствующую параллель сетки.
Построение малых кругов широко используется при решении
задач, когда по двум заданным точкам и по углам между ними и
третьей искомой точкой требуется изобразить эту последнюю
(задача 10).
Задача 9.
Даны измеренные на гониометре сферические
координаты следующих граней кристалла:
Грани 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ϕ, ˚
- 11 101 191 281 56 146 236 326
ρ, ˚
0 42 42 42 42 90 90 90 90
Требуется: 1) изобразить гномостереографические и
стереографические проекции всех граней (задачи 1 и 6); 2) измерить
углы между гранями (задачи 4 и 7); 3) изобразить
гномостереографические и стереографические проекции ребер
(задачи 3 и 5); 4) найти сферические координаты ребер и измерить
углы между ребрами (задачи 2, 4 и 7).
15
Задача 10. Построить гномостереографическую проекцию
кристалла по углам между нормалями к граням (именно такие углы,
как известно, измеряются на однокружном отражательном
гониометре. Они же легко находятся и посредством прикладного
гониометра).
Даны следующие углы между нормалями к граням (рис. 6):
В : С = 83°; В : Р = 42°; Р : С = 72°; P : Q = 54°; B' : O =
58°;
В : В' = 180°; С : О = 54°.
Для проектирования данного кристалла придаем ему такую
пространственную ориентировку, при которой грани В, Р, Q и В'
становятся вертикальными и изобразятся на внешнем круге
проекций. Проекцию одной из этих граней, например грани В,
совместим с нулевым индексом для ϕ.
В соответствии с рисунком кристалла отсчитываем
по часовой
стрелке углы между нормалями к граням В : Р=42°, Р : Q=54° и
В : В'=180°. Найденные на внешнем круге точки и будут
проекциями этих вертикальных граней.
Далее по углам В : С=83° и Р : С=72° находим точку С. Для
этого приводим сперва точку В в один
из полюсов сетки Вульфа,
отсчитываем по кругу проекций в любую сторону 83° и
прочерчиваем соответствующую параллель сетки. Затем совмещаем
с полюсом сетки точку Р, отсчитываем 72° и снова прочерчиваем
параллель сетки. На пересечении двух полученных параллелей и
находится проекция грани С (задача 8).
Для нахождения проекции грани О совмещаем точку В' с одним
из изображенных полюсов сетки, отсчитываем 58° и рисуем
параллель. Далее принимаем за стереографический центр точку С и
строим малый круг радиусом в 54° (задача 8). Этот круг пересекает
параллель, вычерченную вокруг В', в двух точках. В соответствии с
рисунком, принимаем за проекцию грани О ту из них, которая
отвечает расположению грани на
рисунке.
В заключение предлагаем решить дополнительно следующие
вопросы:
1. Определить сферические координаты граней В, Р, Q, В', С, О
(задача 2).
2. Измерить угол между нормалями к граням B и О' (задача 4).
16
3. Найти стереографические проекции ребер СВ и СР и
определить их сферические координаты (задачи 3, 5, 2).
Ответ: 1. B (0°, 90°); P (42°, 90°);
Q (96°, 90°); B' (180°, 90°);
C (72°, 90°); O (210°, 38°).
2. Угол BO’ = 58°.
3. CB (270°, 70°); CP (314°, 78°).
4. Построить стереографическую проекцию грани О (задача 6).
Здесь приведено
лишь несколько простых задач, наиболее часто
встречающихся при работе с сеткой Вульфа. Читателя, желающего
подробно ознакомиться с этим разделом, отсылаем к имеющимся
специальным курсам [3].
Типовые варианты домашнего задания №1
Вариант 1. Измерение кристалла (рис. 7) на двукружном
гониометре дало следующие координаты для нормалей к граням
(приводится таблица значений углов ϕ и ρ для всех граней
кристалла). Кристалл принадлежит к ромбической сингонии,
планаксиальному виду симметрии – 3L
2
3PC.
Вариант 2. Измерение углов между нормалями к граням
кристалла (рис. 7) на однокружном гониометре дало следующие
результаты (приводится таблица углов между гранями). Кристалл
принадлежит к ромбической сингонии, планаксиальному виду
симметрии – 3L
2
3PC.
Рис.7.
17
Для вариантов 1 и 2:
1.
Построить гномостереографические проекции всех граней
кристалла.
2. Построить стереографические проекции ребер, найти их
сферические координаты и измерить углы между ребрами.
Образец отчета приводится в приложении 1.
18
2. ГРАФИКА КРИСТАЛЛОВ
Графическое изображение кристалла является самым
наглядным способом, дающим представление о его габитусе.
Существует два вида изображений кристаллов – в ортогональной и
перспективной (аксонометрической) проекциях.
Ортогональная проекция представляет собой вид кристалла
сверху вдоль оси c. Обычно строится проекция, при которой ось a
направлена сверху вниз, а ось b – слева направо, а для
получения
окончательного чертежа, рисунок разворачивают по часовой стрелке
приблизительно на 20 градусов. Для кристаллов, имеющих
различную морфологию верхней и нижней головок (гемиморфные
кристаллы), приводят две проекции (вид сверху и вид снизу).
Наиболее распространены изображения кристаллов в
аксонометрической проекции (принята «по умолчанию» в
программе Shape for Windows), поскольку они обычно позволяют
изобразить большее число граней
и придать изображению объем.
Стандартная ориентировка кристалла при этом предполагает, что
ось c располагается вертикально, а ось a проходит косо в
направлении от чертежа в сторону наблюдателя с разворотом
кристалла вокруг оси c «справа налево» на угол 20 градусов. Если
при этом изображение кристалла оказалось неудачным, угол
разворота (ракурс) можно произвольно
изменить.
Обычно принято изображать идеализированные кристаллы
минералов, на которых площади симметрично эквивалентных
граней равны (если не стоит задача характеристики их реального
облика). При этом допускается исключение слишком мелких
несущественных граней и масштабирование, но габитус
(соотношение площадей основных граней) должен сохраниться.
Классический способ (черчение вручную) предполагает
построение кристалла по значениям углов
ϕ и ρ (см. главу 1),
полученных по результатам гониометрии [1]. Использование
компьютера позволяет решить поставленную задачу с большей
точностью при известных значениях символов простых форм,
образующих кристалл.
19
Лабораторная работа по графике кристаллов выполняется в
рамках домашнего задания №2 по дисциплине «Кристаллография».
Задание к лабораторной работе 2
Требуется построить изображение двойника кристалла с
помощью программы Shape for Windows по следующим данным:
¾ вид (класс) симметрии;
¾ символы простых форм;
¾ соотношение площадей граней разных простых форм;
¾ линейные параметры элементарной ячейки (или отношения
осей) и осевые углы;
¾ закон двойникования или двойниковый оператор.
Порядок выполнения работы
Этап 1. Построение кристалла (индивида)
1. Запустить программу Shape for Windows.
2. В меню File выбрать команду New (Ctrl-N).
3. На вопрос о начале диалога с вводом переменных ответить
Да (Yes) (рис. 8).
Рис. 8.
4. В диалоговом окне Title/Axes ввести название (Title)
минерала (по-русски), сингонию (Crystal system) (рис. 9) и
параметры элементарной ячейки (a, b, c, alpha, beta, gamma)
(рис. 10). В том случае, если даны не линейные параметры ячейки, а
отношения осей, они вводятся вместо параметров. Нажать ОК.
20
Примечание. Для тригональных кристаллов следует выбирать
систему trigonal hexagonal (то есть гексагональную элементарную
ячейку, а не ромбоэдрическую).
Рис. 9.
Рис. 10.
5. В диалоговом окне Symmetry – Point Group or Crystal Class
(симметрия – точечная группа или кристаллический класс) выбрать
вид симметрии (щелкнуть мышью в соответствующий кружок) и
нажать ОК (рис. 11).
Примечание. Символ инверсии (отражения в точке – т.е. знак
«минус», который пишется над обозначением оси симметрии)
заменен в программе латинской буквой В перед обозначением оси.