Гасников А.В., Кленов С.Л., Нурминский Е.А., Холодов Я.А., Шамрай Н.Б. Введение в математическое моделирование транспортных потоков

Подождите немного. Документ загружается.

36. Knight F. H. Some fallacies in the interpretation of social cost //

The Quarterly Journal of Economics. 1924. V. 38. № 4. P. 582–606.

37. Konnov I. V. Combined relaxation methods for variational

inequalities. Berlin: Springer, 2001.

38. Konnov I. V . Equilibrium Models and Variational Inequalities.

Elsevier Science, 2007.

39. Lo H. K., Chen A. Traﬃc equlibrium problem with rout-speciﬁc

costs: formulation and algorithms // Transportation Research Part

B. 2000. V. 34. № 6. P. 493–513.

40. Nagurney A. Network Economics: A Variational Inequality

Approach. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999.

41. Nagurney A., Dong J. Paradoxes in networks with zero emission

links: implications for telecommunications versus transportation //

Transportation Research Part D. 2001. V. 6. № 4. P. 283–296.

42. Nemerovsky A., Yudin D. Informational complexity and eﬃcient

methods for solution of convex extremal problems. N.Y.: Wiley, 1983.

43. Nesterov Y., de Palma A. Stationary dynamic solutions in congested

transportation n etworks: summary and perspectives // Networks

and spatial economics. 2003. № 3. P. 371–395.

44. Patriksson M. The traﬃc assignment problem — models and

methods. Utrecht, Netherlands: VSP. 1994.

45. Piugou A. C. The economics of welfare, London: MacMillan, 1932,

4-th edition. (Русский перевод: Пигу А.С. Экономическая тео-

рия благосостояния Т. 1–2, Сер. Экономическая мысль Запада,

М.: Прогресс, 1985).

46. Roughgarden T., Tardos E. How bad is selﬁsh routing? // Journal

of the ACM. 2002. V. 49. № 2. P. 236–259.

47. Wilson A. G. A statistical theory of s patial distribution models //

Transportation Research. 1967. V. 1. P. 253–270.

48. Wardrop J. Some Theoretical Aspects of Road Traﬃc Research //

Proceedings of the Institute of Civil Engineers, 1952.

Глава 2. Математические модели

транспортных потоков

2.1. Макроскопические модели .......................................................... 70

2.1.1. Модель Лайтхилла–Уизема–Ричардса (LWR) ................ 70

2.1.2. Модель Танака ................................................................ 82

2.1.3. Модель Уизема ............................................................... 83

2.1.4. Модель Пэйна и еѐ обобщения ....................................... 92

2.1.5. Кинетические модели ..................................................... 97

2.1.6. Практические приложения моделей ............................... 99

2.2. Микроскопические модели ....................................................... 102

2.2.1. Модель оптимальной скорости Ньюэлла ..................... 102

2.2.2. Модель следования за лидером Дженерал Моторс ...... 107

2.2.3. Модель «разумного водителя» Трайбера ..................... 109

2.2.4. Модели клеточных автоматов ...................................... 112

2.3. Модельные задачи ..................................................................... 119

2.3.1. Эволюции глобального затора в транспортном потоке,

описываемом моделями LWR и Уизема ................................ 119

2.3.2. Эволюции локального затора в транспортном потоке,

описываемом моделями LWR и Уизема ................................ 136

2.3.3. Задача о светофоре (при каких условиях перед

светофором не будет скапливаться очередь) ......................... 143

2.4. Теория Кернера–Конхойзера движущихся локальных кластеров

в моделях Дженерал Моторс класса ................................................ 146

2.4.1. Фундаментальные эмпирические свойства перехода от

свободного транспортного потока к плотному и модели

транспортного потока ............................................................. 147

2.4.2. Характеристические параметры широкого движущегося

кластера .................................................................................. 151

2.4.3 Линия J Кернера ............................................................. 154

Литература........................................................................................ 157

Глава 2 написана А. В. Гасниковым при участии С. Л. Кленова и Я. А. Холодова. Огром-

ную помощь в написании оказал А. А. Шананин – по сути, идейный вдохновитель этой

главы. Рисунки к пп. 2.1–2.3 этой главы подготовили Андрей Ярошенко (МАДИ) и Игорь

Виноградов (ВМиК, МГУ; Институт машиноведения РАН).

2.1. МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

В пункте 2.1 приводятся основные (с исторической точки зрения,

и с точки зрения возможных приложений) макроскопические модели

транспортных потоков. Много внимания уделяется гидродинамическим

аналогиям. Транспортный поток уподобляется сжимаемой жидкости

с мотивацией, которая присутствует, например, в уравнении состояния

транспортного потока (зависимости скорости потока от плотности).

Ключевым понятием этого пункта является обобщенное решение на-

чальной задачи Коши для закона сохранения, описывающего транс-

портный поток. Так, например, разрывы обобщенного решения интер-

претируются как границы заторов (переход от свободного движения к

заторному).

Equation Section 1

2.1.1. Модель Лайтхилла–Уизема–Ричардса (LWR)

Во второй половине 40-х годов и в 50-е годы ХХ века в СССР и

США интенсивно занимались исследованием процессов, возникающих

при взрыве бомбы (см., например, монографии [1, 2]). В частности,

большое внимание было уделено изучению начально-краевых задач для

уравнения (и систем таких уравнений) типа закона сохранения. В это же

время наблюдался и рост приложений, в которых встречаются схожие

уравнения [3, 4]. Так в 1955 г. независимо в работах [5, 6] (см. также [7])

была предложена, по-видимому, первая макроскопическая (гидродина-

мическая) модель однополосного

транспортного потока, названая впо-

следствии моделью Лайтхилла–Уизема (Уитема)–Ричардса (LWR), в

которой поток АТС (вместо термина «автомобиль» и тем более «маши-

на» в транспортной литературе принято использовать АТС) рассматри-

вается как поток одномерной сжимаемой жидкости (часто эту модель

называют моделью Лайтхилла–Уизема).

В модели LWR предполагается, что

1) существует взаимно-однозначная зависимость (уравнение

состояния) между скоростью

 

v,tx

и плотностью (погонной)

 

,tx



потока;

2) выполняется закон сохранения массы (количества АТС).

Полоса бесконечная в обе стороны, движение происходит слева направо (для определен-

ности), нет источников и стоков автомобильных транспортных (автотранспортных),

средств (АТС).

Запись

 

,tx



обозначает число АТС на единицу длины в

момент времени

в окрестности точки трассы с координатой

Аналогично,

 

v,tx

– скорость АТС (автотранспортных средств) в

момент времени

в окрестности точки трассы с координатой

. Везде

в дальнейшем предполагается, что пространственные масштабы, на

которых транспортный поток описывается макроскопическими

(гидродинамическими) моделями, значительно превышают характерный

размер АТС (т.е. составляют не менее сотни метров). В таком

предположении мы будем интерпретировать

 

,tx



 

v,tx

не как

некоторые, должным образом усредненные, величины (см., например,

[5, 8]), а как функции

, получающиеся при переходе от микроскопичес-

кого описания (в том числе и описания с помощью клеточных

автоматов (см. п. 2.2)) к макроскопическому. Иначе говоря, мы

считаем что транспортный поток подчиняется некоторой микро-

скопической модели, в которой детально описывается поведение АТС в

зависимости от обстановки впереди, и эта модель является разностным

или дифференциально-разностным аналогом рассматриваемой нами

макроскопической модели. Таким образом, корректность, предло-

женного здесь подхода к определению

 

,tx



 

v,tx

основывается на

устойчивой аппроксимации макроскопической модели микроско-

пической. При этом необходимость рассмотрения макроскопических

моделей обусловлена в первую очередь более простой техникой их

исследования и большей наглядностью (ввиду гидродинамических

параллелей).

Первое предположение выразим условием:

   

 

v , ,t x V t x





. (1)

Относительно функции

 



делается следующее предположение:

 







. (2)

Обозначим

   

  



Отметим в связи с употреблением здесь слова «функция», что В. И. Арнольд неодна-

кратно во время различных выступлений делал докладчикам следующее замечание: «За-

пись

 

означает не функцию, а значение функции в точке

, а функцию следует обо-

значать просто

». Тем не менее, здесь и далее в этой главе было решено оставить более

привычную для студентов запись.

– интенсивность потока АТС (количество АТС, проходящих в единицу

времени через заданное сечение). Зависимость

 



часто называют

фундаментальной (или основной) диаграммой. Отметим также, что и

зависимость

 



иногда называют фундаментальной диаграммой

(см., например, приложение М. Л. Бланка). Для однополосного потока

принято считать [7]:

 







Это условие можно понимать следующим образом: движение по двум

одинаковым и независимым полосам с разными плотностями менее

«эффективно», чем движение по этим полосам с одинаковой

плотностью, равной среднему арифметическому первоначальных

плотностей. Однако если агрегировать несколько полос в одну (иначе

говоря, заменить несколько полос одной агрегированной, на которой

уже использовать рассматриваемую модель), то, как показывают

наблюдения за реальными транспортными потоками, от вогнутости

функции

 



, вообще говоря, придется отказаться.

Рис. 1. Уравнение состояния транспортного потока

Так на рис. 1, 2 отображены экспериментальные данные «Центра

исследования транспортной инфраструктуры» г. Москвы, собранные (в

течение одного дня в 2005 г.) по четырем полосам на участке третьего

транспортного кольца от Автозаводской улицы до Варшавского шоссе,

и сагрегированные на одну полосу. Заметим, что в действительности

измерялась зависимость

 

Рис. 2. Фундаментальная диаграмма

Объяснить небольшой провал интенсивности потока

 



при

плотностях

60 115





АТС/км можно, по-видимому, тем, что при

этих плотностях существенное влияние на интенсивность потока

оказывают перемещения АТС с одной полосы на другую.

Перестраивания АТС из одной полосы в другую полосу при этих

плотностях, снижают интенсивность потока. С одной стороны, за счет

перемещения из полосы в полосу можно двигаться быстрее (так оно и

происходит при плотностях

30 50





АТС/км), но, с другой стороны,

в среднем такие перемещения при

50 120





АТС/км приводят к

дополнительным затратам на само перестраивание, и замедление тех

АТС, перед которыми встраивается новое АТС [9]. Другое объяснение

этого наблюдения имеется в главе 3 (см. также [10]) и связано с тем, что

при

50 120





АТС/км само понятие «фундаментальная диаграмма»

не совсем корректно. Иначе говоря, при этих плотностях нет четкой

зависимости величины потока (скорости) от плотности. Одному

значению плотности соответствует целый промежуток возможных

значений потока (скорости).

Второе предположение выразим законом сохранения

   

t x dx t x dx



   



 

Q b d Q a d

     

 





  









Отсюда следует, что для любого прямоугольного контура



в полу-

плоскости

0t 

x

, со сторонами параллельными осям (легко пока-

зать, что это соотношение справедливо для произвольного кусочно-

гладкого контура



), выполняется:

   

 

, , 0t x dx Q t x dt











. (3)

В точках гладкости

 

,tx



 

t x t x











  

   

т.е.

 









. (4)

Поставим начальное условие вида (условие типа Римана)

   

0, , ,

x x x x x



















  









(5)

Задача Коши (4), (5) возникает, например, при описании распростране-

ния затора (пробки): пусть

 







max







где

max



– максимально возможная плотность (ситуация «бампер к бам-

перу»). Требуется определить, как по транспортному потоку будет рас-

пространяться информация о заторе впереди. Решение этой задачи по-

зволит ответить, например, на следующий вопрос: если движение АТС с

утра на Дмитровском шоссе в сторону Москвы «встало» в районе

г. Долгопрудный, то через какое время затор дойдет до г. Дмитрова? Ряд

интересных модельных задач (задача о светофоре, об эволюции локаль-

ного затора и др.) для закона сохранения (4) рассмотрен во 2-й и 3-й

главе книги [7] (см. также п. 2.3).

Вернемся к соотношению (3). Обратим внимание, что это соот-

ношение может быть выполнено и для разрывной функции плотности

 

,tx



. Причем разрыв функции

 

,tx



есть резкое увеличение плот-

ности, что соответствует границе затора. Пусть в момент времени

разрыв находится в точке с координатой

, и

 

,0tx







 

,0tx







Предположим, что на плоскости

 

;tx

этому разрыву соответствует

кривая

. Возьмем в окрестности точки

 

,t x L

прямоугольный кон-

тур (для определенности, зададим ориентацию по часовой стрелке) так,

как показано на рис. 3. Будем считать, что ширина контура

настолько

мала по сравнению с длиной, что интегралом по участкам контура

поперечным к

, можно пренебречь (см. рис. 3).

Рис. 3. RRH-условие на разрыве

Тогда из (3) следует, что

   

 

0 , ,t x dx Q t x dt





  





 

c Q t c Q t o t

   

   

       

где

c dx dt

соответствует наклону касательной к

в точке

 

,tx

t

– длина проекции контура на ось

. При

0t

это равенство перехо-

дит в следующее условие (частный случай, условия Стокса (1848)) для

скорости движения разрыва

, которое называется (во всяком случае,

должно называться согласно П. Лаксу [11]) условием Римана–Ранкина–

Гюгонио:

 

   



  















(RRH).

Оказывается, что уравнение (4) всегда имеет слабое (удовлетво-

ряющее соотношению (3) и начальному условию (5) в слабом смысле)

решение (см. [12]), но, как показывает следующий пример, оно может

иметь бесконечно много решений, т.е. нет единственности.

Пример (О. А. Олейник [13]). Рассмотрим уравнение Хопфа (см.

[14]):











и начальное условие Римана:

 

1, 0,

1, 0.















О важности (исторической, и не только) именно этого уравнения для

моделирования транспортных потоков см. в п. 2.1.3. Линейной заменой

переменных и неизвестной функции к уравнению Хопфа можно свести

довольно популярный частный случай модели LWR, в котором

 



–

вогнутая парабола (фундаментальная диаграмма Гриншилдса).

При любом

1q 

определенная в точках полуплоскости

0t 

функция

 

1, ,

, 0,

, 0 ,

q t x

q x t















  























удовлетворяет при

0t 

уравнению (4) в смысле (3) (достаточно прове-

рить, что на разрывах выполняется условие RRH) и начальному усло-

вию (5) (см. рис. 4). ■

Рис. 4. Пример О. А. Оленйик (1957)

Единственное решение выбирает условие отбора, по-видимому,

впервые предложенное О. А. Олейник в 1958 г. [15, 16] (в частном слу-

чае – выпуклой (вогнутой) функции

 



см. О. А. Олейник (1957)

[13], а также П. Лакс (1957) [11]) и И. М. Гельфандом в 1959 г. [17]

как

условие устойчивости (допустимости) разрыва.

На разрыве, помимо RRH-условия, также должно выполняться

E-условие:

     

, , ,

        

    

   

, если







;

     

, , ,

        

    

   

, если







Это условие также называют энтропийным условием, энтропийным ус-

ловием О. А. Олейник, E-условием О. А. Олейник. Объяснение (основан-

ное на методе исчезающей вязкости, см. п. 2.1.3) того, откуда возникло

E-условие (и RRH-условие) будет приведено в п. 2.3.1. Заметим также,

что в классе кусочно-постоянных начальных условий (аппроксимирую-

Работа [17] представляет собой запись курса лекций, сыгравшего важную роль в популя-

ризации теории квазилинейных уравнений и законов сохранения, которые И. М. Гельфанд

читал на мехмате МГУ в 1957–1958 гг.