Гасников А.В., Кленов С.Л., Нурминский Е.А., Холодов Я.А., Шамрай Н.Б. Введение в математическое моделирование транспортных потоков

Подождите немного. Документ загружается.

328

 

exp 6E t n t









 

* 5 3

E t n







Отсюда по неравенству Маркова имеем, что (

8n 

 

* 2 * 5 3

2 1 2P t n P t n     

Тогда

 

2 2ln , 1,..., 1 2

P U t n i n



  

Откуда уже следует, что

 

12P x t e







Приведенные выше идеи случайного квазиградиентного спуска

сейчас активно используются в современных численных методах реше-

ния задач выпуклой оптимизации в пространствах огромной размерно-

сти [3].

Литература

1. Хачиян Л. Г. Избранные труды / сост. С. П. Тарасов. М.: МЦНМО,

2009. С. 38–48.

2. ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/kolmbook.pdf

3. http://www2.isye.gatech.edu/~nemirovs/

http://www.core.ucl.ac.be/staff/biosketchNesterov.html

http://elis.dvo.ru/~nurmi/

Задача к главе 1 (стохастическая марковская динамика, при-

водящая к равновесию Нэша–Вардропа в модели распределения

потоков; Гасникова–Дорн, 2010). Свой путь на

 

1n

-м шаге

игрок,

сидящий на корреспонденции

, выбирает согласно смешанной страте-

гии (в независимости от всех остальных: с вероятностью

   

 

Prob 1 1 exp , ,

p n p p n

n x n G x n T Z w W



     



выбрать путь

pP

(





), а с вероятностью





– действовать

согласно стратегии, использованной на предыдущем n-м шаге. Здесь

 

– количество игроков, сидящих на корреспонденции

и вы-

Например, шаг с периодом в день можно проинтерпретировать как выбор утром мар-

шрута следования (пути) из дома на работу, исходя из «опыта» вчерашнего дня. Заметим,

что информацию о

 

G xn



водители (игроки) черпают из открытых источников типа

Яндекс-пробки, а множитель

 

xn

определяется исходя из случайного опроса сосе-

дей, знакомых, коллег и т.п.

329

бравших на

-м шаге стратегию

pP

, а

 

1 exp

n n p p

Z x n G x n T





   





Множитель

 

xn

характеризует желание имитировать, а также

надежность использования этой стратегии. Именно этот множитель

подмечает специфику рассматриваемой задачи (без него сходимость

будет в общем случае не к равновесию Нэша–Вардропа) и отличает

предложенную в задаче динамику от многих других (см. ниже краткий

обзор). Параметр



характеризует «консерватизм» («ленивость»), чем

меньше



, тем более консервативный игрок; «температура»

характе-

ризует отношение к риску («горячность»), чем больше температура, тем

более «горячий игрок», склонный к более рискованным действиям.

Как показали разнообразные численные эксперименты, часто

вполне разумно выбирать





. При таком выборе



наблюдается

сходимость к равновесию Нэша–Вардропа при наиболее общих услови-

ях относительно

(вне зависимости от точки старта). Строго говоря,

наблюдается сходимость не к равновесию, а к некоторой его окрестно-

сти, уменьшающейся с уменьшением

. Стоит также обратить внима-

ние на высокую эффективность предложенной процедуры «нащупыва-

ния равновесия» с точки зрения количества итераций. Иначе говоря, на

предложенный итерационный процесс можно смотреть просто как на

эффективный способ численного нахождения равновесия Нэша–

Вардропа.

Введение в динамику стохастичности сближает предложенный

подход с поиском так называемых «стохастических равновесий в транс-

портных сетях» [1], с другой стороны, он принципиально отличается

тем, что предполагает знание транспортных расходов по маршрутам

(используется достоверная информация вчерашнего дня), на основе ко-

торых производится рандомизированный выбор. В стохастическом же

равновесии водитель узнает лишь случайную оценку времени проезда

по каждому из маршрутов и затем выбирает маршрут с минимальным

временем.

Предложенную схему можно трактовать скорее как стохастиче-

скую динамику наилучших ответов в эволюционной (популяционной)

игре [2–6], при этом имеется много общего с концепциями «quantal re-

sponse equilibria» [7] (используется похожая рандомизация) и «minority

games» [8] (наблюдаются похожие колебания около положения равно-

весия). Близкой к предложенному итерационному процессу является

330

концепция генетических алгоритмов [9] и эффективный приближенный

вероятностный (с гиббсовским («logit») распределением вероятностей)

алгоритм Григориадиса–Хачияна [10].

Исходя из результатов главы 1, предложите ситуацию, когда рав-

новесие Нэша–Вардропа не единственно (считайте, например, что за

проезд по дороге с водителей взимается некоторая сумма). Для описан-

ной выше динамики, исследуйте, к какому положению равновесия (в

зависимости от точки старта) она будет сходиться.

Более подробно о моделях распределения потоков и связанных с

ними задачах можно прочитать, например, в главе 1 и [1, 11].

В заключение рассмотрим пример, демонстрирующий, что в ре-

зультате строительства новой дороги новое равновесие Нэша–Вардропа

окажется неэффективным по Парето и будет строго хуже, чем то, кото-

рое было до строительства. Тем не менее предложенная выше марков-

ская динамика наилучших ответов приводит именно к такому, не опти-

мальному по Парето, равновесию.

Пример (парадокс Брайеса, 1968). Пусть корреспонденция

6x 

(тысяч автомобилей/ч). Вес ребра (удельные затраты на проезд

по этому ребру) есть время движения по ребру (в минутах), если поток

через ребро есть

(тысяч автомобилей/ч). Например, в случае 2:

24 124 1324

y x x

(см. рис. 1). Естественно считать, что время движения –

возрастающая функция потока.

Случай 1

Случай 2

Рис. 1

Случай 1:

124 134

3xx

Полное время в пути

83T 

мин

Случай 2:

124 1324 134

2x x x  

Полное время в пути

92T 

мин

Оба равновесия Нэша–Вардропа (в случаях 1 и 2) являются «при-

тягивающими» положениями равновесия описанной выше динамики

(положили





15 35T 

), см. рис. 2–4 (для случая 2).

Далее можно порекомендовать arXiv:1101.2220v1 [math.DS].

331

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

332

Литература

1. Sheffi Y. Urban transportation networks: Equilibrium analysis with ma-

thematical programming methods. N.J.: Prentice–Hall Inc., Englewood

Cliffs, 1985.

2. Foster D., Young P. Stochastic evolutionary game dynamics // Theoreti-

cal population biology. 1990. V. 38. № 2.

3. Cressman R. Evolutionary game theory and extensive form games.

Cambridge, Mass.: MIT Press, 2003.

4. Hofbauer J., Sigmund K. Evolutionary game dynamics // Bulletin of the

AMS. 2003. V. 40. № 4. P. 479–519.

5. Васин А. А., Краснощеков П. С., Морозов В. В. Исследование опе-

раций. М.: Издательский центр «Академия», 2008.

6. http://www.cs.cornell.edu/home/kleinber/networks-book/

7. McKelvey R. D., Palfrey T. R. Quantal response equilibria for extensive

form games // Experimental economics. 1998. V. 1. P. 9–41.

8. Marsili M. Toy models of markets with heterogeneous interacting

agents // e-print www.unifr.ch/econophysics/, 2001.

9. Fogel D. B. Evolutionary Computation: Towards a New Philosophy of

Machine Intelligence. New York: IEEE Press, 2000.

10. Хачиян Л. Г. Избранные труды / сост. С. П. Тарасов. М.: МЦНМО,

2009. С. 38–48.

11. Стенбринк П. А. Оптимизация транспортных сетей. М.: Транспорт,

1981.

12. Гасникова Е. В., Дорн Ю. В. О стохастической марковской динами-

ке, приводящей к равновесию Нэша–Вардропа в модели распреде-

ления потоков // Труды МФТИ (специальный выпуск, посвящен-

ный математическому моделированию транспортных потоков / под

ред. акад. В. В. Козлова). 2010. Т. 2. № 4(8). (в печати)

Задача (сходимость к равновесию Нэша; Малишевский–

Опойцев, 1972). Рассмотрим систему обыкновенных дифференциаль-

ных уравнений (СОДУ):

Такие СОДУ возникают, например, при исследовании коллективного поведения, в част-

ности «при нащупывании равновесия Нэша». Действительно, пусть

 

,..., ,...,

i i n

D x x x

–

функция выигрыша игрока

, если игроки придерживаются набора стратегий

 

,..., ,...,

x x x x



. Пусть «функция цели»

 

игрока

однозначным образом опре-

деляется из условия

 

,..., ,..., max ,..., ,...,

i i i n i i n

D x f x x D x x x





333

   

 

,...,

i i i n i

x t f x x x







, (D)



 





при

0t 

 

t dt









1,...,in

;



 

f 

1,...,in

– непрерывные функции;



 

(компакт) :

K f K K  





Докажите, что приводимое ниже условие обеспечивает существование

равновесия СОДУ (единственность в

) и его асимптотическую устой-

чивость:

 

, 1,..., 1

x K i n





    







Указание. В кубической норме (

1,...,

max







)

 



– сжи-

мающее отображение компакта

в себя. Устойчивость показывается с

помощью второго метода Ляпунова. В качестве функции Ляпунова сле-

дует взять

 

V x x x



  

, где



– единственное положение равнове-

сия в

Литература

1. Опойцев В. И. Равновесие и устойчивость в моделях коллективного

поведения. М.: Наука, 1977.

2. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики.

М.: Мир, 1985.

3. Малишевский А. В. Качественные модели в теории сложных сис-

тем. М.: Наука, 1998.

Задача (устойчивые системы большой размерности; В. И.

Опойцев, 1985). Из курсов функционального анализа и вычислительной

математики хорошо известно, что если спектральный радиус матрицы



меньше единицы:

 





, то итерационный процесс

1nn

x Ax b









(СОДУ

x Ax b x  



  



, см. СОДУ (D) из предыдущей

где

– множество возможных стратегий игрока

. Тогда СОДУ (D), очевидным обра-

зом, выражает стремление игроков двигаться по направлению своей цели (по мере движ е-

ния цель меняется), т.е. определенную рациональность игроков. Отметим здесь нечувст-

вительность результатов к тому, насколько сильно (это характеризуется функциями

 





1,... ,in

) каждый из игроков стремится к своей цели.

334

задачи с

 

f x Ax b



) в независимости от точки старта



сходится к

единственному решению уравнения

x Ax b





. Скажем, если

max 1









, то и

 





(обратное, конечно, не верно).

Предположим, что существует такое малое





, что









. (S)

Очевидно, что отсюда тем более не следует:

 





. Тем не менее,

введя на множестве матриц, удовлетворяющих условию (S) равномер-

ную меру, покажите, что относительная мера тех матриц (удовлетво-

ряющих условию (S)), для которых спектральный радиус не меньше

единицы, стремится к нулю с ростом

(



– фиксировано и от

не

зависит).

Указание. 1. Покажите, что при доказательстве можно ограни-

читься матрицами с неотрицательными элементами.

2. Покажите, что, не ограничивая общности, можно также считать,

что в определении множества S стоит не неравенство, а равенство. Так

определенное множество матриц будем называть SE.

3. Положите, например,

 

Exp 1





– н.о.р. и покажите, что

при

n 

распределение элементов случайной матрицы



будет сходиться (уточните в каком смысле) к равномерному распреде-

лению на SE.

4. Покажите, введя обозначение

 

P P A P A



   



и ис-

пользуя неравенство Чебышева, что

 

1 1 0

n j j

P nP a E a









   





       

   







   





Литература

1. Опойцев В. И. Устойчивые системы большой размерности // Авто-

матика и телемеханика. 1986. № 6. С. 43–49.

2. Опойцев В. И. Нелинейная системостатика. М.: Наука, 1986.

Независимые, одинаково распределенные с.в. (случайные величины) по показательному

закону с параметром

 





, т.е.

 

exp 1

P a x n x



   

335

Задача к главам 2, 3 и приложению М. Л. Бланка. Предложите

модель клеточных автоматов многополосного транспортного потока, в

которой бы учитывались перестраивания АТС из полосы в полосу (на-

пример, для осуществления необходимых маневров в окрестности вер-

шин графа транспортной сети), и которая бы описывала три фазы Кер-

нера. Для проверки последнего можно прибегнуть к численным экспе-

риментам с предложенной моделью.

Задача к приложению А. А. Замятина и В. А. Малышева (пу-

ассоновский процесс как процесс восстановления). В приложениях

(в теории надежности, теории массового обслуживания) широко ис-

пользуются процессы восстановления (потоки Пальма). Основным (и

наиболее удобным для анализа) представителем таких процессов явля-

ется пуассоновский процесс, который можно определить следующим

образом:

 

max :

K t k T t













где

н.о.р. с.в.

 

Exp





, т.е.

 

P T t











. Покажите, что

пуассоновский процесс может быть определен таким образом. Будет ли

пуассоновский процесс марковским?

Задача к приложению А. А. Замятина и В. А. Малышева (па-

радокс времени ожидания). Автобусы прибывают на остановку в со-

ответствии с пуассоновским процессом с параметром





. Вы прихо-

дите на остановку в фиксированный момент времени (скажем, в пол-

день). Каково математическое ожидание времени, в течение которого

Вы ждѐте автобуса?

Литература

1. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической ста-

тистике. М.–Ижевск: ИКИ, 2002.

 

– число отказов приборов к моменту времени

0t 

(отказавший прибор сразу же

заменяется исправным). Все приборы идентичны, т.е. имеют одинаковое распределение

времени безотказной работы. Кроме того, приборы работают независимо друг от друга.

Параметр





принято называть интенсивностью пуассоновского процесса.

Напомним важную особенность показательного распределения

 

Exp



«отсутствие

последействия»:

 

i i i

P T t T t P T



    

. Заметим также, что общие процессы вос-

становления задаются аналогичной формулой с той лишь разницей, что н.о.р.

T 

п.н.

уже не обязательно распределены по показательному закону.

336

2. Фѐллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения Т. 2.

М.: УРСС, 2010.

3. Кельберт М. Я., Сухов Ю. М. Вероятность и статистика в примерах

и задачах. Т. 2. Марковские процессы как отправная точка теории

случайных процессов и их приложения. М.: МЦНМО, 2010.

Задача к приложению А. А. Замятина и В. А. Малышева

(замкнутая сеть, теорема Гордона–Ньюэлла, 1967; Л. Г. Афанасье-

ва, 2007). Рассматривается транспортная сеть, в которой между

станциями курсируют

такси. Клиенты пребывают в i-й узел в соот-

ветствии с пуассоновским потоком с параметром





(

1,...,iN

Если в момент прибытия в i-й узел там есть такси, клиент забирает его и

с вероятностью

p 

направляется в j-й узел, по прибытии в который

покидает сеть. Такси остается ждать в узле прибытия нового клиента.

Времена перемещений из узла в узел – независимые случайные величи-

ны, имеющие показательное распределение с параметром





для

пары узлов

 

,ij

. Если в момент прихода клиента в узел там нет такси,

клиент сразу покидает узел. Считая













, покажите,

что вероятность того, что клиент, поступившей в узел (в установившем-

ся (стационарном) режиме работы сети), получит отказ, равна

 

   

отказа

k M k k M k

N k N k

p N M

M k M k





   









  



Методом перевала покажите справедливость следующей асимптотики

при

N 

 

отказа

1 1 4

p N rN

r r r

     



   





     

Литература

1. Афанасьева Л. Г. Очерки исследования операций. М.: Изд-во меха-

нико-математического факультета МГУ, 2007.

2. Федорюк М. В. Метод перевала. М.: УРСС, 2010.

3. Афанасьева Л. Г., Булинская Е. В. Математические модели транс-

портных систем, основанные на теории очередей // Труды МФТИ

(специальный выпуск, посвященный математическому моделиро-

ванию транспортных потоков / под ред. акад. В. В. Козлова). 2010.

Т. 2. № 4(8). (в печати)

337

Задача к приложению А. М. Райгородского (обобщенная схе-

ма размещений; В. Ф. Колчин, 1984). а) Пусть для неотрицательных

целочисленных с.в.



, …,



существуют независимые одинаково

распределенные с.в.



, …,



, такие, что

 

1 1 1 1 1

,..., ,..., ...

N N N N N

P k k P k k n

     

       

. (*)

Введем независимые одинаково распределенные с.в.

 



, …,

 



, где

– целое неотрицательное число и

 

1 1 1

P k P k r

  

   

0,1,...k 

Пусть

 

p P r





...



  

     

...

r r r



  

. Пусть

 



– число тех с.в.



, …,



, которые приняли значение

. По-

кажите, что с.в. типа

 



можно изучать с помощью обобщенной

схемы размещений: для любого

0,1,...,kN

 

r n r r

P S n kr

P n N k C p p

P S n







  



Напомним, что в классической схеме размещений

различных частиц

по

различным ячейкам было доказано, что распределение заполне-

ний ячеек



, …,



имеет вид

 

,...,

!... !

P k k

k k N



  

где

, …,

– неотрицательные целые числа, такие, что

....

k k n  

. Если положить



, …,

 





– н.о.р. (





про-

извольно), то получим (*).

б)* Дан случайный граф

(модель Эрдѐша–Реньи)

 

,G n p

. Пусть

Даны

вершин, любые две вершины соединены ребром с вероятностью

независимо

от того, какие еще пары вершин соединены ребрами. Таким образом,

1qp

есть веро-

ятность отказа ребра. По сути, в задаче приведен некий порог

для

(по аналогии со

статистической механикой иногда говорят, что этот порог характеризует «фазовый пере-

ход случайного графа»). Если в полном графе на

вершинах ребра отказывают с вероят-

ностью, «большей»

, то транспортная система почти наверное разрушится, если же

ребра отказывают с вероятностью, «меньшей»

, то транспортная система (несмотря на

то, что может потерять много ребер) почти наверное сохранит свое основное свойство –

возможность добраться по ребрам из любой вершины в любую другую.