Фирсов И.П., Семерий О.С. (сост.) Методические указания к лабораторным работам по математической статистике с применением ЭВМ

Подождите немного. Документ загружается.

Поскольку

() () ()

fxdx fxdx fxdx

∞

−∞

++=

∫∫∫

, то, учитывая равен-

ства (4.5) и (4.6), получим

()

fxdx

−∞

=−

∫

()

fxdx

∞

−

∫

. (4.7)

Из (4.7) найдем

t и

t , а решая неравенство

, найдем

доверительный интервал

nS nS

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Применение методов получения доверительных интервалов для

оценок параметров иллюстрируют примеры 4.1-4.4. В начале примера

создается выборка нормально распределенных чисел с заданными па-

раметрами (математическим ожиданием и дисперсией). Далее в доку-

менте вычисляются оценки для этих параметров по методу моментов.

Для дальнейших вычислений вводятся плотности распределений Стью-

дента,

и нормального. Далее находятся доверительные интервалы

для математического ожидания при известной и неизвестной диспер-

сии. В следующем разделе примеров решается задача определения до-

верительного интервала для дисперсии при известном и неизвестном

математических ожиданиях.

Пример 4.1 (Mathematica)

Получение выборки с заданными

<<Statistics`ContinuousDistributions`

<<Statistics`ConfidenceIntervals`

Объём выборки

n=50;

Заданные параметры нормального закона

muX=3; sigmaX=2;

Выборка с нормальным распределением

x=RandomArray[NormalDistribution[muX,sigmaX],n];

Вычисление моментов

1-й начальный момент (оценка математического ожидания)

Mx=1/n*Apply[Plus,x]

2.91748

2-й центральный момент (оценка дисперсии)

Dx=1/n*Apply[Plus,(x-Mx)^2]

4.63328

Оценка ср. кв. отклонения

sigma=Sqrt[Dx]

2.1525

Плотность распределения нормального закона

fn[x_,sigma_]:=Exp[-x^2/2/sigma^2]/

Sqrt[2*Pi*sigma^2];

Плотность распределения Стьюдента

ft[t_,n_]:=Gamma[(n+1)/2]/Gamma[n/2]/

Sqrt[Pi*n]*(1+t^2/n)^(-(n+1)/2);

Плотность распределения

fx[x_,n_]:=x^((n-2)/2)*Exp[-x/2]/2^(n/2)/

Gamma[n/2];

Случай 1. Оценка мат. ожидания при известной дисперсии

Доверительная вероятность

beta=0.95;

Заданная дисперсия

S=sigmaX^2;

sigma1=Sqrt[S/n];

Нахождение доверительного интервала

delta=z/.FindRoot[

2*Integrate[fn[y,sigma1],{y,0,z}]-beta==0,{z,0}]

0.554362

dz=delta*sigma1; m={Mx-dz,Mx+dz};

Доверительный интервал для мат. ожидания

Print["Mx=",Mx," ",m]

Mx=2.91748 {2.76068,3.07428}

Случай 2. Оценка мат. ожидания при неизвестной дисперсии

Оценка дисперсия

S=Dx;

Нахождение доверительного интервала

delta=z/.FindRoot[

2*Integrate[ft[y,n-1],{y,0,z}]-beta==0,{z,0}]

2.00958

dz=delta*Sqrt[S/n]; m={Mx-dz,Mx+dz};

Доверительный интервал для мат. ожидания

Print["Mx=",Mx," ",m]

Mx=2.91748 {2.30574,3.52921}

Случай 3. Оценка дисперсии при известном мат. ожидании

alpha=1-beta

0.05

delta1=z/.FindRoot[

Integrate[fx[y,n],{y,0,z}]-alpha/2==0,{z,n}]

32.3574

delta2=z/.FindRoot[

Integrate[fx[y,n],{y,z,20*n}]-alpha/2==0,{z,n}]

71.4202

dz=n*S; s={dz/delta2,dz/delta1};

Доверительный интервал для дисперсии

Print["Dx=",Dx," ",s]

Dx=4.63328 {3.24367,7.15954}

Случай 4. Оценка дисперсии при неизвестном мат. ожидании

delta1=z/.FindRoot[

Integrate[fx[y,n-1],{y,0,z}]-alpha/2==0,{z,n}]

31.5549

delta2=z/.FindRoot[

Integrate[fx[y,n-1],{y,z,2*n}]-alpha/2==0,{z,n}]

70.2173

dz=(n-1)*S; s={dz/delta2,dz/delta1};

Доверительный интервал для дисперсии

Print["Dx=",Dx," ",s]

Dx=4.63328 {3.23325,7.19477}

Пример 4.2 (Matlab)

n=50; muX=3; sigmaX=2; x=normrnd(muX,sigmaX,1,n);

Mx=1/n*sum(x)

Dx=1/(n-1)*sum((x-Mx).^2), sigma=sqrt(Dx)

fn=inline(...

'exp(-x.^2/2/sigma^2)/sqrt(2*pi*sigma^2)',...

'x','sigma');

ft=inline(strcat('gamma((n+1)/2)/gamma(n/2)/',...

'sqrt(pi*n)*(1+t.^2/n).^(-(n+1)/2)'),'t','n');

fx=inline(...

'x.^(n/2-1).*exp(-x/2)/2^(n/2)/gamma(n/2)',...

'x','n');

df1=inline('2*quad(f,0,y,[],[],theta)-lambda',...

'y','f','theta','lambda');

df2=inline('2*quad(f,y,n,[],[],theta)-lambda',...

'y','f','theta','lambda','n');

zf1=inline('fzero(df,z,[],f,theta,beta)',...

'f','df','z','theta','beta');

zf2=inline('fzero(df,z,[],f,theta,beta,n)',...

'f','df','z','theta','beta','n');

beta=0.95; S=sigmaX^2; sigma1=sqrt(S/n)

delta=zf1(fn,df1,0,sigma1,beta), dz=delta*sigma1;

Mx, m=[Mx-dz,Mx+dz]

S=Dx; delta=zf1(ft,df1,0,n-1,beta)

dz=delta*sqrt(S/n); Mx, m=[Mx-dz,Mx+dz]

alpha=1-beta, delta1=zf1(fx,df1,n,n,alpha)

delta2=zf2(fx,df2,n,n,alpha,5*n), dz=n*S;

Dx, m=[dz/delta2,dz/delta1]

delta1=zf1(fx,df1,n,n-1,alpha)

delta2=zf2(fx,df2,n,n-1,alpha,5*n), dz=(n-1)*S;

Dx, m=[dz/delta2,dz/delta1]

Пример 4.3 (Matcad)

i0n1

−

.:=

μX

σX

x rnorm n μX,σX,

(

)

∑

⋅:=

Mx 2.919

Mx−

()

∑

⋅:=

Dx 3.203

σ D

σ 1.79=

fn x σ,

()

2 π⋅σ

⋅

2 σ

⋅

−

⋅:=

ft t n,()

n1+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

π n⋅⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

n1+

−

⋅:=

fx x n,()

1−

−

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

⋅

β 0.9

S σX

σ1

δ root 2

yfn y σ1,

()

⌠

⎮

⌡

d⋅β− z,

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

δ 0.554=

dz δσ1⋅:=

mMxdz− Mx dz+()

Mx 2.919=

2.762 3.075()=

δ root 2

yft y n 1−,()

⌠

⎮

⌡

d⋅β− z,

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

δ 2.008=

dz δ

⋅:=

mMxdz− Mx dz+()

Mx 2.919=

2.41 3.427()=

α 1 β−:=

α 0.05=

δ1 root

yfx y n,()

⌠

⎮

⌡

− z,

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

δ1 32.394=

δ2 root

20 n⋅

yfx y n,()

⌠

⎮

⌡

− z,

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

δ2 71.394=

dz n

⋅:=

δ2

δ1

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

Dx 3.203=

2.244 4.945()=

δ1 root

yfx y n 1−,()

⌠

⎮

⌡

− z,

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

δ1 31.584=

δ2 root

20 n⋅

yfx y n 1−,()

⌠

⎮

⌡

− z,

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

δ2 70.201=

dz n 1−()

⋅

δ2

δ1

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

Dx 3.203=

2.236 4.97()=

Пример 4.4 (Maple)

> restart: with(stats): with(describe):

randomize():

> n:=50: muX:=3: sigmaX:=2:

> x:=[random[normald[muX,sigmaX]](n)]:

> Mx:=moment[1](x);

> Dx:=moment[2,mean,0](x); sigma:=sqrt(Dx);

> fn:=(x,sigma)->exp(-x^2/2/sigma^2)/

sqrt(2*Pi*sigma^2):

> ft:=(t,n)->GAMMA((n+1)/2)/GAMMA(n/2)/

sqrt(Pi*n)*(1+t^2/n)^(-(n+1)/2);

> fx:=(x,n)->x^((n-2)/2)*exp(-x/2)/2^(n/2)/

GAMMA(n/2);

> beta:=0.95:

> S:=sigmaX^2: sigma1:=evalf(sqrt(S/n));

> delta:=fsolve(2*int(fn(y,sigma1),y=0..z)-beta,z);

> dz:=delta*sigma1: m:=[Mx-dz, Mx+dz]: 'Mx'=Mx, m;

> S:=Dx:

> delta:=fsolve(2*int(ft(y,n-1),y=0..z)-beta,z);

> dz:=delta*sqrt(S/n): m:=[Mx-dz, Mx+dz]:

> 'Mx'=Mx, m;

> alpha:=1-beta;

> delta1:=fsolve(int(fx(y,n),y=0..z)-alpha/2,z);

> delta2:=fsolve(int(fx(y,n),y=z..20*n)-alpha/2,z);

> dz:=n*S: s:=[dz/delta2, dz/delta1]: 'Dx'=Dx, s;

> delta1:=fsolve(int(fx(y,n-1),y=0..z)-alpha/2,

z,0..n);

> delta2:=fsolve(int(fx(y,n-1),y=z..20*n)-alpha/2,

z,n..20*n);

> dz:=(n-1)*S: s:=[dz/delta2, dz/delta1]:

> 'Dx'=Dx, s;

Задание

1. В условиях примера 1 записать формулы доверительного интервала

математического ожидания

, считая дисперсию

извест-

ной.

В условиях примера 1 записать формулы для доверительного ин-

тервала дисперсии

= , считая математическое ожидание из-

вестной величиной.

Используя выборку из примера 2.1 (первая часть) и полагая, что

доверительная вероятность

0,8; 0, 9; 0, 95,

вычислить довери-

тельные интервалы:

1) для математического ожидания, считая дисперсию: а) известной

величиной

, б) неизвестной величиной (использовать оценку);

2) для дисперсии, считая математическое ожидание а) известной

величиной

mMx

, в) неизвестной величиной. Результаты сравнить.

Указание к заданию 1. Учесть, что статистика

(

)

txa Mxa

− рас-

пределена по нормальному закону

0,N

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Указание к заданию 2. Рассмотреть статистику

(

)

222

tx nS

∗

= .

Замечание к заданию 3. Считать, что генеральная совокупность, из

которой взята выборка, распределена по нормальному закону. При этом

в случае больших

n распределения

и Стьюдента сходятся к нор-

мальному закону, поэтому при

30n > можно считать, что статисти-

ки

Mx a

−

=−

, 221

∗

=−−, 223

−− рас-

пределены по нормальному закону

()

0,1N .

Провести расчеты доверительных интервалов для

, заданных

преподавателем (смотри примеры 4.1-4.4), при объеме выборок 10,

50 и 100.

Контрольные вопросы

1. Что называется доверительным интервалом и доверительной веро-

ятностью?

Дайте общую схему построения доверительного интервала.

Как изменяется доверительный интервал с увеличением надежно-

сти? С увеличением объема выборки?

Как изменяется доверительный интервал в зависимости от того,

известны ли другие параметры точно или нет?

Выборочные оценки в задачах 5-8 определялись по результатам

наблюдений. Используя эти данные, найти 90%-ные и 99%-ные

доверительные интервалы для математического ожиданияследующих

характеристик (Задачи № 3.1–3.4 гл.15 [2]):

Ёмкость конденсатора, если 20x = мкФ, 16n

, с.к.о. известно и

равно 4 мкФ.

Время безотказной работы электронной лампы, если 500x

100n = , с.к.о. известно и равно 10 ч.

Диаметр вала, если 30x = мм, 9n = ,

мм

Содержание углерода в единице продукта, если 18x

г, 25n

4s = г.

5. Equation Section (Next)Критерии согласия

Допустим, что построенную по выборке статистическую функцию

распределения

(

)

x мы сгладили с помощью некоторой гипотетиче-

ской функции распределения

(

)

x . Возникает вопрос: а верна ли гипо-

теза о том, что функция распределения именно

(

)

, а не какая-либо

другая? Точнее, не противоречит ли гипотеза о законе распределения

()

результатам эксперимента? Чтобы ответить на этот вопрос, поль-

зуются критериями согласия.

Под критерием согласия понимают некоторую величину

(

)

FΔ

которая отражает количественную меру расхождения гипотетического

()

и эмпирического

(

)

распределений. Эту величину можно

выбрать многими способами, в соответствии с которыми получаются и

различные критерии проверки интересующей нас гипотезы. Например,

можно положить

(

)

(

)

(

)

,sup

nnn

FD FxFxΔ== −

(5.1)

или

( ) () () ()

FFxFxdFx

∞

−∞

Δ== −

⎡⎤

⎣⎦

∫

В первом случае получаем критерий Колмогорова, во втором – кри-

терий Мизеса.

Схема применения критерия согласия следующая. Возьмём

настолько малым, чтобы осуществление события с вероятностью

можно было считать практически невозможным в единичном опыте.

Зная закон распределения случайной величины

(

)

FΔ=Δ

, найдем ее

возможное значение

из уравнения

(

)

>Δ = . По данной вы-

борке вычислим значение критерия согласия

(

)

FΔ=Δ . Если ока-

жется, что

>Δ , то это значит, что произошло практически неверо-

ятное событие. Следовательно, эксперимент опровергает нашу гипоте-

зу, и она отбрасывается. При этом вероятность того, что мы отбросили

верную гипотезу, равна

. Если

<Δ , то гипотеза не противоречит

эксперименту и должна быть принята. Число

называется уровнем

значимости критерия.

Колмогоров нашел предельную функцию распределения величины

= . Эту функцию обычно обозначают

(

)

x :

()

lim 1

Kx P nD x e

∞

−

→∞

=−∞

=<=−

∑

, 0x > . (5.2)

Формулой (5.2) можно пользоваться для больших

Чтобы воспользоваться критерием согласия Колмогорова, нужно

построить графики гипотетической и выборочной функций распределе-

ния, по графикам найти статистику

D и вычислить величину

1 n

= . Найти вероятность события

> по формуле

()

() ( )

121

PnD K e

λλ

∞

−

>=− =− −

∑

. (5.3)

Если эта вероятность меньше

, то гипотеза отвергается, если

больше, то признается непротиворечащей эксперименту.

Предположим теперь, что, например, из физических соображений

мы можем высказать гипотезу только о виде закона распределения, а

параметры, входящие в него, неизвестны. Тогда критерий согласия

Колмогорова не применим. В таких случаях часто используют критерий

согласия Пирсона.

Всю числовую ось разобьем на

r непересекающихся разрядов точ-

ками

012

...

xxx x−∞=<<<<=∞. Примем гипотезу о функции рас-

пределения. Неизвестные параметры, входящие в нее, заменим их

оценками. Таким образом, гипотетическая функция распределения

(

)

x будет известна, и можно будет найти вероятности

()

(

)

1ii i

pFx Fx

−

=−

попадания случайной величины в i -й разряд.

Возьмем статистику

()

mnp

−

∑

. (5.4)

Здесь

n – объем выборки, r – число разрядов,

m – число значений в

i -м разряде.

За меру расхождения между гипотетической

(

)

и эмпирической

()

x функциями распределения примем статистику

(

)

tFF=Δ ,

определенную формулой (5.4). Фишером доказано, что предельным

законом распределения статистики

t является распределение

1rm−− степенями свободы, если параметры оценены по методу мак-

симального правдоподобия. Здесь

m – число параметров, входящих в

гипотетическую функцию распределения. Доказано также, что при объ-

еме выборки

30n > с достаточной точностью можно пользоваться пре-

дельным законом распределения, если

np > .

Схема применения критерия Пирсона следующая. По формуле (5.4)

вычисляют значение статистики

Δ . Вычисляют вероятность

()()

pfxdx

∞

Δ>Δ =

∫

. (5.5)

Здесь

()

x определяется формулой (2.5), а n следует заменить на

1rm

−

− . Если эта вероятность меньше уровня значимости

, то гипо-

тезу следует отбросить.

Применение критериев согласия иллюстрируют примеры 5.1-5.4. В

начале генерируется (по методу обратных функций) выборка значений

случайной величины, распределенной по показательному закону с за-

данным параметром

a . Далее выборка группируется и находится груп-

пированная функция распределения, что необходимо для критерия

Колмогорова. В соответствии со схемой применения критерия Колмо-

горова, задается теоретическая функция распределения

(

)

x , и по

этим значениям вычисляется статистика

D . Вычисляется вероятность

по формуле (5.3) и сравнивается с уровнем значимости

В следующем разделе примеров применяется критерий Пирсона,

Отметим, что, поскольку критерий Пирсона работает с плотностью рас-

пределения, для него может понадобиться другая группировка той же

исходной выборки. Теоретическая плотность распределения может

быть получена дифференцированием ранее введенной функции распре-

деления. Теперь можно вычислить значение статистики и оценить веро-

ятность (5.5), сравнивая ее

с уровнем значимости

Пример 5.1 (Matlab)

% Часть 1. Критерий Колмогорова

% Получение выборки заданного объема

n=100;

% Теоретическая функция распределения

f=inline('1-exp(-a*x)','x','a');

% Теоретическая плотность распределения

df=inline('a*exp(-a*x)','x','a');

% Обратная функция распределения

g=inline('-log(1-x)/a','x','a');

% Параметр закона распределения

a=2;

% Равномерно распределённые случайные числа

eps=1*1e-2; Y=unifrnd(0,1-eps,1,n);

% Числа, распределённые по показательному закону

X=g(Y,a);

% Группировка для критерия Колмогорова

% Вариационный ряд

Y=sort(X);

% Число разрядов для группировки

k=10;

% Размах выборки

R=Y(n)-Y(1)

R=2.0231

% Длина разряда

h=R/k

h=0.2023

% Определение абсолютных частот и середин разрядов

[m,xs]=hist(Y,k);

% Относительные частоты

p=m/n;

% Накопленные частоты

Fg=cumsum(p);

% График эмпирической функций распределения

stairs(xs,Fg), hold on

% График теоретической функций распределения

x1=Y(1):0.1:Y(n); y1=f(x1,a);

plot(x1,y1,'r'), hold off, pause

% Уровень значимости

alpha=0.05;

Ft=f(xs,a);

epsilon=abs(Ft-Fg);

Dn=max(epsilon)

Dn=0.1466

lambda1=sqrt(k)*Dn

lambda1=0.4637

j=1:n; PL=-2*sum((-1).^j.*exp(-2*j.^2*lambda1^2))

PL=0.9826

if PL>alpha

sprintf('Гипотеза не противоречит эксперименту')

else

sprintf('Гипотеза противоречит эксперименту')

end

Гипотеза не противоречит эксперименту

% Часть 2. Критерий Пирсона

% Теоретические вероятности

pr=df(xs,a)*h;

chi2=n*sum((p-pr).^2/pr)

chi2=0.1360

% Плотность распределения хи-квадрат

fx=inline(...

't.^(n/2-1).*exp(-t/2)/2^(n/2)/gamma(n/2)',...

't','n');

dfx=inline('quad(f,0,y,[],[],n)-(1-alpha)',...

'y','f','n','alpha');

zx=inline('fzero(df,z0,[],f,n,alpha)',...

'f','df','n','alpha','z0');

r=k-1;

w=zx(fx,dfx,r,alpha,r)

w=16.9190

if chi2<w

sprintf('Гипотеза

не противоречит эксперименту')

else

sprintf('Гипотеза противоречит эксперименту')

end

Гипотеза не противоречит эксперименту

Пример 5.2 (Mathcad)

n10

j0n1

−

.:=

ε 10

−

fx( ) 1 exp a

−

⋅

()−:=

gx()

ln 1 x

−

()

−:=

df x()

fx()

Y runif n 0, 1 ε−,

(

)

(

)

Y sort X():=

n1−

−

R 2.186

i0k1

−

.:=

h 0.219

i1+

+:=

−

+:=

i1+

m hist xr Y

():=

36231511523212

j1k1−..:=

j1−

0.5

fy()

α 0.0

fxs

(

)

−:=

Dn max ε

(

)

Dn 0.159

λ1kD

⋅:=

λ1 0.504=

..:=

PL 2−

1−()

exp 2− j

⋅λ1

⋅

(

)

⋅

∑

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

PL 0.961

if PL α> "True", "False",

()

"True"=

fx x n,()

1−

−

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

⋅

rk1

−

df xs

(

)

⋅

χ2n

−

()

∑

⋅:=

χ2 4.165=

w root

xfx x r,()

⌠

⎮

⌡

d1α−

()

− y,

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

w 16.893

if χ2w< "True", "False",

()

"True"=

Пример 5.3 (Maple)

> restart: with(stats): with(transform):

randomize():

> n:=100:

> f:=x->1-exp(-a*x);

> df0:=diff(f(x),x): df:=unapply(df0,x);

> g0:=solve(f(x)=y,x): g:=unapply(g0,y);

> a:=2:

> eps:=1e-2: Y:=[random[uniform[0,1-eps]](n)]:

> X:=map(g,Y): Y:=sort(X):

> k:=10: R:=Y[n]-Y[1]; h:=R/k;

> xr:=[Y[1]+i*h $i=0..k]: xr[k+1]:=xr[k+1]+1e-4:

> xrr:=[(xr[i]..xr[i+1]) $i=1..k]:

> xs:=evalf([xr[i]+0.5*h $i=1..k],3):

> xp:=scaleweight[1/n](statsort(tallyinto(Y,xrr))):

> p:=evalf(frequency(xp),3):

> F:=x->sum(p[i]*Heaviside(x-xs[i]),i=1..k):

> plot([F,f],Y[1]..Y[n],0..1,labels=['Y','F']);

> alpha:=0.05:

> Fg:=cumulativefrequency(xp): Ft:=map(f,xs):

> epsilon:=map(abs,Ft-Fg):

> Dn:=max(op(epsilon));

> lambda1:=evalf(sqrt(k)*Dn);

> PL:=-2*sum((-1)^j*exp(-2*j^2*lambda1^2),j=1..n);

> `if`(PL<alpha,'false','true');

> pr:=map(df,xs)*h:

> chi2:=n*sum((p[i]-pr[i])^2/pr[i],i=1..k)/n;

> fx:=(x,n)->x^((n-2)/2)*exp(-x/2)/2^(n/2)/

GAMMA(n/2);

> r:=k-1:

> w:=fsolve(int(fx(t,r),t=0..y)-(1-alpha),y);

> `if`(chi2<w,'true','false');

Пример 5.4 (Mathematica)

<<Calculus`DiracDelta`; <<Graphics`Colors`

<<Statistics`ContinuousDistributions`

<<Statistics`DataManipulation`

n=100; a=2; eps=0.01;

f[x_]:=1-Exp[-a*x]; df[x_]=D[f[x],x];

g[x_]:=-Log[1-x]/a;

Y=RandomArray[UniformDistribution[0,1-eps],n];

X=Map[g,Y]; Y=Sort[X];

k=10; R=Y[[n]]-Y[[1]]; h=R/k

xs=Table[Y[[1]]+(i-1/2)*h,{i,k}];

m=BinCounts[Y,{Y[[1]],Y[[n]],h}]; m[[1]]+=1; m

p=N[m/n];

F[y_]:=Sum[p[[i]]*UnitStep[y-xs[[i]]],{i,k}];

Plot[{F[y],f[y]},{y,Y[[1]],Y[[n]]},

PlotStyle->{Red,Green}];

alpha=0.05;

Fg=CumulativeSums[p]; Ft=Map[f,xs];

epsilon=Abs[Ft-Fg];

Dn=Max[epsilon]

lambda1=Sqrt[k]*Dn

PL=-2*Sum[(-1)^j*Exp[-2*j^2*lambda1^2],{j,n}]

If[PL>alpha,"true","false"]

pr=df[xs]*h;

chi2=n*Sum[(p[[i]]-pr[[i]])^2/pr[[i]],{i,k}]

fx[x_,n_]:=x^((n-2)/2)*Exp[-x/2]/2^(n/2)/

Gamma[n/2];

r=k-1;

w=z/.FindRoot[

Integrate[fx[y,r],{y,0,z}]-(1-alpha)==0,{z,r}]

If[chi2<w,"true","false"]

Задание

1. Получить выборку значений случайной величины, распределенной

по показательному закону с заданным параметром

a .

Используя критерий согласия Колмогорова, проверить гипотезу о

том, что генеральная совокупность, выборка которой получена ра-

нее, распределена по закону

()

−

=− . Уровень значимости

0, 05

= .

Используя критерий согласия Пирсона, проверить гипотезу о за-

данном распределении той же генеральной совокупности. Критерий

значимости

0, 05

Провести расчеты по документу для объемов выборок 20, 50 и 100.

Контрольные вопросы

1. Что такое критерий согласия?

Какие критерии согласия Вы знаете?

Опишите схему применения критериев согласия Колмогорова и

Пирсона.

Запишите плотность распределения закона

с 1nm

−

− степенью

свободы.

Могут ли опытные данные одновременно согласовываться с не-

сколькими гипотезами о законе распределения?

Решить задачи № 6.8, 6.12–6.16 гл. 15[2].

6. Equation Section (Next)Зависимость случайных

величин, регрессия.

Оценка регрессии методом наименьших квадратов

Рассмотрим двумерную случайную величину

(

)

, т.е. упорядо-

ченную пару случайных величин. Пусть, например,

– диаметр де-

ревьев некоторого леса, а

– высота деревьев. Тогда m

и m

– сред-

ние диаметр и высота деревьев, а

характеризуют разброс диа-

метра и высоты относительно средних значений.

Интуитивно ясно, что диаметр и высота деревьев связаны некото-

рой зависимостью, однако эта зависимость не является функциональ-

ной, так как для деревьев, имеющих одинаковый диаметр

высота

является величиной случайной. Такую зависимость называют веро-

ятностной или стохастической. Однако можно говорить о функцио-

нальной зависимости средней высоты деревьев от диаметра

()

(

)

xgx

. Здесь

(

)

– условное математическое ожидание,

т.е. средняя высота деревьев, имеющих диаметр

. Если

(

)

– ус-

ловная плотность распределения

, то

()

xgx yfyxdy

∞

−∞

∫

. (6.1)

Аналогично

()

yqy xfxydx

∞

−∞

∫

. (6.2)

Здесь

(

)

– средний диаметр деревьев высотой y . Функции

()

gx= и

(

)

qy= , определенные формулами (6.1) и (6.2), называют-

ся соответственно регрессией величины

на

и регрессией величины

на

. Графики этих линий называются кривыми регрессии. Плотно-

сти распределения

(

)

x и

(

)

y (компоненты двумерной случайной

величины) и условные плотности распределения связаны с плотностью

()

xy двумерной случайной величины формулой

(

)

(

)

(

)

12 21

,() ()

xy f xf yx f y f xy==. (6.3)

Если

связаны функциональной зависимостью, то при

величина

принимает единственное значение

(

)

= . При

вероятностной зависимости будет неизбежно наблюдаться рассеяние

ностной зависимости будет неизбежно наблюдаться рассеяние

около

центра

(

)

x . Мерой этого рассеяния естественно считать условную

дисперсию

()

Dx ygxfyxdy

∞

−∞

=−

∫

. (6.4)

Величину

(

)

можно рассматривать как среднюю квадратич-

ную погрешность оценки величины

по наблюдаемому значению

случайной величины

, если за оценку берется регрессия

(

)

x . Эта

погрешность зависит от

, т.е. от закона распределения

. Чтобы по-

лучить представление о точности оценки во всем диапазоне изменения

, величину

(

)

усредняют. С учетом (6.3) и (6.4) получим

()

() ()

()

() ()

()

221

D x f x dx y g x f y x f x dxdy

ygx fxydxdy M gx

δη

∞∞

−∞ −∞

∞

−∞

==− =

=− =−

∫∫∫

∫∫

(6.5)

Известно, что рассеяние, определяемое средним квадратом откло-

нения, минимально, если его вычислять относительно центра рассея-

ния. Отсюда следует, что величина

()

δη

=− принимает свое

минимальное значение. Другими словами, регрессия

на

является

наилучшей (в смысле минимума среднего квадратичного отклонения)

оценкой зависимости

от

Очевидно, что регрессия может служить оценкой зависимости, ко-

гда эта регрессия известна. Если регрессия неизвестна, то ищут оценку

в некотором классе функций случайной величины

и вместо (6.5)

требуют минимума величины

()

εηξ

=−

. (6.6)

Оценка

(

)

случайной величины

, принадлежащая определен-

ному классу функций и доставляющая минимум величине

, опреде-

ляемой формулой (6.6), называется средней квадратичной регрессией

на

Будем, например, искать оценку

(

)

среди класса линейных

функций, т.е.

(

)

αβξ

. Коэффициенты

найдем из условия

минимума

, т.е. методом наименьших квадратов. Преобразуем снача-

ла (6.6) следующим образом:

()

()()( )

()

222

Mm mm m

mmK

ηξηξ

ηξη ξ ξη

εηαβξ

ηβξ αβ

σβσ αβ β

=−−=

⎡⎤

=−−−+−− =

⎣⎦

=+ + −− −

(6.7)

Здесь

(

)

(

)

KM m m

ξη ξ η

ξη

⎡

⎤

=−−

⎣

⎦

– корреляционный момент слу-

чайных величин

Необходимыми условиями минимума функции (6.7) являются

∂

, 0

∂

или

ηξ

ξξη

αβ

βσ

−

−=

⎧

⎪

⎨

−=

⎪

⎩

(6.8)

Решая систему (6.8), найдем

и вместе с тем линейную оценку

регрессии

()

.ymm

ηξ

ξαβξ ρ ξ

=+ = + −

(6.9)

Здесь

= – коэффициент корреляции. Линия

()

ym xm

=+ − (6.10)

называется прямой линией регрессии

на

. Коэффициент

βρ

называется коэффициентом регрессии.

Аналогично можно получить прямую регрессии

на

()

mym

=+ − . (6.11)

Прямые (6.10) и (6.11) не совпадают, но обе проходят через центр

распределения

(

)

,mm

. Коэффициент корреляции

служит мерой

линейной корреляционной связи между

. Если 1

± , то

связаны линейной функциональной зависимостью, если

, то они

не коррелированы. Прямые регрессии в этом случае параллельны осям

координат.

Если числовые характеристики, входящие в уравнения регрессии,

неизвестны, то их заменяют оценками

;

= ;

ξη

;

где

∑

;

()

222

ix i x

SxM xM

=−=−

∑∑

;

∑

;

()

222

yiy iy

SyM yM

=−=−

∑∑

(6.12)

()

yixiyiixy

xM yM xyMM

=−−= −

∑∑

В результате получим эмпирические прямые регрессии

()

yM r xM

Mr yM

=+ −

. (6.13)

Задача нахождения регрессии тесно связана с задачей сглаживания

экспериментально полученной зависимости по методу наименьших

квадратов. В подтверждение этого можно сравнить формулы (6.13) и

(1.9).

Если генеральная совокупность имеет нормальное распределение,

то можно считать при

30n ≥ выборочный коэффициент корреляции r

нормально распределенным:

(1 )

⎛⎞

−

⎜⎟

⎝⎠

. Выборочные коэффициен-

ты регрессии

также распределены нормально:

(1 )

⎛⎞

−

⎜⎟

⎝⎠

(1 )

⎛⎞

−

⎜⎟

⎝⎠

Учитывая это, можно легко построить доверительные интервалы

для

Линейная регрессия имеет важное практическое значение,

поскольку генеральная совокупность чаще всего распределена

нормально. В противном случае возможна нелинейная регрессия, а при

большом диапазоне изменения величин линеаризация регрессии

неправомерна. В этом случае поступают следующим образом. Для

каждого

выборки вычисляют среднее значение

y . Наносят точки

(

)

y и соединяют их ломаной линией. По этой ломаной линии

решают вопрос о виде нелинейной зависимости. Затем проводят

сглаживание.

Следующие примеры демонстрируют применение методов нахож-

дения регрессии. Для моделирования стохастической зависимости ге-

нерируется массив нормально распределенных значений

и массив

случайных величин v с нулевым математическим ожиданием (помеха).

Величина

y получается путем суммирования значений

и помехи

Изменяя параметр

для помехи v, можно регулировать степень слу-

чайности связи величин x и y , что оценивается визуально по виду гра-

фика, на котором наносятся точки.

По данным из массивов

и y строятся эмпирические прямые рег-

рессии. Для этого вычисляются оценки необходимых числовых харак-

теристик и строятся прямые. Для сравнения здесь же еще раз приводит-

ся график исходных данных.

Поскольку в данном случае коэффициент корреляции и выбороч-

ные коэффициенты регрессии распределены по нормальному закону,

задаем надежность и определяем доверительные интервалы путем ре-

шения соответствующих функциональных уравнений.

Пример 6.1 (Mathcad)

Получение выборок объёма n для нормально распределённых случайных

величин

и Y с заданными параметрами

i0n1

−

.:=

μX1

σX

μV

σV

Получение выборки в массиве

x rnorm n μX,σX,

(

)

9.961 10.064 10.53 10.983

Вспомогательная случайная величина

v rnorm n μV,σV,

(

)

-0.818 -1.348 -0.264 2.036

Получение выборки в массиве y

+:=

9.143 8.716 10.266 13.019 10.838

Изображение полученных точек