Дж. С. Дэвис. Статистический анализ данных в геологии. Книга 2
Подождите немного. Документ загружается.
Дж. С. Дэвис. Статистический анализ данных в геологии. Книга 2
221
нако так же можно вычислить меру ее расстояния до центроида каждой группы. Новое наблюдение
классифицируется как принадлежность к ближайшей группе.
Вычислить обобщенные расстояния от нового наблюдения до каждого из групповых цен-
троидов можно, определив все разности )(
ki
i
Xx
, которые удобно расположить в виде матрицы U
порядка gp. Тогда
][]][[][][
2
UAAUD
(6.112)
Это даст нам обобщенные расстояния от нового наблюдения до каждой из g групп, измеренные в t-
мерном дискриминантном пространстве. С другой стороны, можно вычислить
][][][][
12
UWUD
(6.113)
что дает обобщенные расстояния от нового наблюдения до центроидов каждой группы, измеренные
в исходном р-мерном пространстве. Объяснение этого и других используемых определений сходст-
ва между наблюдением и центроидами различных групп приводится в [19], где также дается метод
построения доверительных областей относительно центроидов.
Дискриминантные функции – удобный метод определения групп, если несколько групп,
предполагаемые различными, оказываются действительно различными. Рассмотрим одно приложе-
ние такого типа.
Когда осадочные породы формируются в морских условиях, в них остается морская вода.
Химический состав этой реликтовой воды в последующем изменяется благодаря ионному обмену и
другим реакциям, смешиванию с другими морскими водами и разбавлению за счет .просачивания
поверхностных вод. Тем не менее, реликтовые воды, полученные при канатном бурении, могут
иметь составные характеристики, которые дают ключ к происхождению или фациальным условиям
формирования содержащих их пород.
Табл. 6.43 содержит анализы солености в виде характеристик (ЕРМ), являющихся эквива-
лентом частям на миллион для вод нефтяных полей из трех карбонатных толщ в Техасе и Оклахоме.
Пробы брались из разных нефтеносных подразделений. Для определения того, различны ли эти дан-
ные, к ним был применен дискриминантный анализ. Если они различны, то это наводит на мысль,
что анализы солености дают информацию о природе их первоначальных фаций, так как все три ис-
ходные породы имеют приблизительно одни и те же литологические характеристики и, соответст-
венно, сходные истории формирования.
Так как имеется три группы, то требуется вычислить только две дискриминантные функции
и найти только два положительных собственных значения. Первое из них
1
=13,29 составляет 93,6%
межгрупповой дисперсии, второе
2
=0,902 дает остальные 6,4%. На рис. 6.51 представлены две оси
дискриминантных функций с метками дискриминанта и центроидами трех представленных групп.
Метки могут быть стандартизованы так, чтобы их общее среднее равнялось нулю и стандартные
отклонения комбинированных данных равнялись нулю.
Первая дискриминантная функция явно отделяет реликтовую воду из доломитов Грейбурга
(группа 2) от воды, взятой из доломитов Элленбургера (группа 1) и известняков Виола (группа 3).
Различия по второй дискриминантной функции устанавливаются менее явно из-за перекрытий
групп 1 и 2 и перекрытий групп 2 и 3. Однако рассматриваемые вместе две дискриминантных
функции полностью разделяют три группы. Это обнадеживающее заключение наводит на мысль,
что пробы реликтовой воды из формаций, имеющих сходные литологические свойства, могут иметь
одинаковые относительно однородные
характеристики.
Рис. 6.51. Представление нагрузок на
дискриминантные функции I и II: 1 –
доломиты Эленбургера; 2 – доломиты
Грейбурга; 3 – известняк Виола; 4 – цен-
троиды групп. 1–19 – номера проб
Дж. С. Дэвис. Статистический анализ данных в геологии. Книга 2
222
Таблица 6.43 Химические анализы проб соленой воды, взятых из сква-
жин в трех типах карбонатных отложении в Техасе и Оклахоме [54]
Номер
пробы
НСОз SO
4
Сl Са Mg Na
Группа 1 – доломиты Элленбурrepa
1
10,4
30,0
967,1
95,9
53,7
857,7
2
6,2
29,6
1174,9
111,7
43,9
1054,7
3
2,1
11,4
2387,1
348,3
119,3
1
932,4
4
8,5
22,5
2186,1
339,6
73,6
1803,4
5
6,7
32,8
2015,5
287,6
75,1
1691,8
6
3,8
18,9
2175,8
340,4
63,8
1793,9
7
1,5
16,5
2367,0
412,0
95,8
1872,5
X
5,6
23,1
1896,2
276,5
75,0
1572,3
Группа 2 – доломиты Грейбурга
8
25,6
0
134,7
12,7
7,1
134,7
9
12,0
104,6
3163,8
95,6
90,1
3093,9
10
9,0
104,6
1342,6
104,9
160,2
1190,1
11
13,7
103,3
2151,6
103,7
70,0
2054,6
12
16,6
92,3
905,1
91,5
50,9
871,4
13
14,1
80,1
554,8
118,9
62,3
472,4
X
15,2
80,7
1375,4
87,9
73,4
1302,9
Группа 3 – известияки Виола
14
1,3
10,4
3399,5
532,3
235,6
2642,5
15
3,6
5,2
974,5
147,5
69,0
768,1
16
0,8
9,8
1430,2
295,7
118,4
1027,1
17
1.8
25,6
183,2
35,4
13,5
161,5
18
8,8
3,4
289,9
32,8
22,4
225,2
19
6,3
16,7
360,9
41,9
24,0
318,1
X
3,8
11,9
1106,4
180,9
80,5
857,1
X
8,0
37,7
1482,3
186,8
76,2
1261,4
КАНОНИЧЕСКАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ
Мы снова обратимся к многомерным методам, которые имеют ту же вычислительную осно-
ву, что и факторный анализ, однако ало используемым 'понятиям и методам они тесно связаны с
множественной регрессией. Вспомним, что множественная регрессия имеет дело с установлением
связей между единственной зависимой переменной Y и множеством предсказывающих переменных
X
1
, X
2
, .... Обобщение этого метода состоит в установлении связей между множеством переменных
Y и другим множеством переменных X, измеренных на одних и тех же объектах. Эти соотношения
определяются с помощью линейных комбинаций переменных Х и Y, которые дают наивысшую кор-
реляцию между этими двумя множествами.
Такие корреляции называются каноническими корреляциями, а линейные комбинации назы-
ваются каноническими переменными. В самом деле, превратим множество переменных Х в единст-
венную новую переменную и множество переменных Y в другую единственную новую переменную
и затем вычислим корреляцию между этими новыми переменными. Процесс этого превращения ли-
неен, т.е. исходные переменные взвешиваются и складываются вместе, в результате получается ка-
ноническая переменная. Применение канонической корреляции может включать определение соот-
Дж. С. Дэвис. Статистический анализ данных в геологии. Книга 2
223
ношения между наборами геохимических и петрографических переменных или множеством петро-
графических откликов каротажа скважин и свойств формации, измеренных на образцах керна, взя-
тых из тех же скважин.
Так как все переменные измерены в одних и тех же пробах, то наблюдения образуют матри-
цу, размерность которой n(p+q), где р – число переменных Y и q – число переменных X. (Для
удобства вычислений меньший из этих наборов переменных называем Y, pq.) Матрица дисперсий
и ковариаций [S] имеет порядок (p+q)(p+q), и ее можно считать состоящей из четырех блоков:
матрица S
yy
порядка рр, содержащая дисперсии и ковариации переменных Y; матрица S
xx
порядка
qq, содержащая дисперсии и ковариации переменных X; матрица S
xy
порядка pq (и ее транспози-
ция S
'
xy
), которая содержит коэффициенты корреляции между переменными Х и Y, т.е.
yyxy
xyxx
SS
SS
S
|
|
][
Хотя матрица [S] расчленяется, она имеет вид нормальной ковариационной матрицы. Она симмет-
рична относительно диагонали, на которой стоят дисперсии; внедиагональные элементы являются
коэффициентами корреляции.
Обозначим подматрицу порядка nр матрицы данных, содержащую переменные Y, через
[Y], а подматрицу порядка nq матрицы данных, содержащую переменные X, через [X]. Матрицы
[Y] и [X] можно преобразовать с помощью умножения на произвольные векторы, которые в новых
координатах будут линейными комбинациями старых:
][][
][][
YB
YA
где [A] – вектор порядка 1р, [В] – вектор порядка 1–q. Дисперсии двух множеств преобразованных
переменных будут
]][[][
]][[][
BSB
ASA
xx
yy
Ковариации между преобразованными переменными Х и Y будут
][][][ BSA
xy
Цель анализа канонических корреляций состоит в выборе элементов двух векторов [A] и [В]
так, чтобы коэффициенты корреляции достигали максимума при условии равенства дисперсий еди-
нице. Если с самого начала дисперсии стандартизируются так, чтобы они равнялись единице, то од-
новременно стандартизируются и коэффициенты ковариации, становясь коэффициентами корреля-
ции между переменными. Используя методы теории собственных значений, можно найти векторы A
и В, обладающие желаемыми свойствами. Имеется гарантия того, что каноническая корреляция бу-
дет больше, чем наибольшая корреляция между исходными переменными Х и любой исходной пе-
ременной Y, т.е. больше, чем любой элемент матрицы [S
xy
]. Это объясняется тем, что можно немед-
ленно указать линейную комбинацию, которая будет иметь высокую корреляцию, считая все эле-
менты векторов A и В равными нулю, исключая те, что соответствуют переменным с наивысшей
корреляцией, которую надо принять равной единице.
Уравнение, которое требуется решить в этом случае, очень напоминает основное уравнение
для нахождения собственных значений в анализе главных компонент:
]0[][][ I
(6.114)
Здесь [
] – матрица, получаемая умножением различных блоков расчлененной ковариационной
матрицы [S]. Матричное умножение дает матрицу-произведение [
], имеющую порядок qq и
представляющую объединенную матрицу дисперсий двух множеств переменных, т.е.
][][][][][
11
xyyyxyxx
SSSS
(6.115)
К сожалению, матрица
асимметрична, поэтому для нахождения ее определителя и решения сис-
темы уравнений требуется привлечение трудоемких вычислительных процедур.
Собственное значение
равно квадрату коэффициента корреляции между двумя канониче-
скими переменными. Так как матрица
имеет порядок qq, то существует q различных собствен-
Дж. С. Дэвис. Статистический анализ данных в геологии. Книга 2
224
ных значений, каждое из которых представляет коэффициент корреляции между различными пара-
ми канонических переменных. Последовательные собственные значения будут уменьшаться по ве-
личине и каждая пара канонических переменных будет некоррелирована со всеми другими парами
канонических переменных.
Вектор В, используемый для преобразования [X] в канонические переменные, находится с
помощью определения собственных векторов, соответствующих уже найденным собственным зна-
чениям:
]0[]])[[]([
BI
или
]0[]])[[][][][]([
11
BISSSS
xyyyxyxx
Напомним, что собственные векторы вычисляют, подставляя собственные значения в систему со-
вместных уравнений и затем решая ее. Как только вектор преобразования [В] найден, находим эк-
вивалентное каноническое преобразование Y по формуле
]][[][][
1
BSSA
xyyy
Конечно, для каждого
имеется соответствующий вектор [А] и вектор [В]. Каждая векторная пара
будет преобразованием пары [X] и [Y] в канонические переменные; коэффициент корреляции между
новыми переменными будет равен
r .
Проиллюстрируем метод канонических корреляций, обратившись снова к данным по слу-
чайным блокам. Данные естественно попадают в два класса, так как переменные Х
1
, Х
2
и Х
3
явля-
ются основными измерениями блоков, в то время как переменные от Х
4
до X
7
выражаются через
них. Первые три переменные можно определить как образующие множество переменных Y, а по-
следующие четыре – как образующие множество переменных X.
В табл. 6.44 приведены стандартная ковариационная (или корреляционная) матрица данных
по блокам, расчлененная для канонической корреляции, матрица [
], для которой требуется найти
собственные значения, а также ее собственные значения, канонические корреляции, которые они
представляют, и векторы [A] и [В], соответствующие наибольшей канонической корреляции. Мы
можем использовать вектор [A] для преобразования переменных Y в метки канонических перемен-
ных и вектор [B] для преобразования переменных Х в другое множество меток или канонических
переменных. На рис. 6.52 указана диаграмма первой пары канонических переменных для данных по
блокам. Совершенно очевидно, что имеется явно выраженная линейная связь между двумя множе-
ствами, представленными в канонической форме. Рис. 6.53 есть аналог той же диаграммы для вто-
рой пары канонических переменных. Диаграмма указывает на очень сильную корреляцию, даже не-
смотря на то, что преобразование совсем другое.
Рис. 6.52. Совместное пред-
ставление первой пары кано-
нических переменных для
данных по случайным бло-
кам. Канонические метки пе-
ременных Х измерены вдоль
горизонтальной оси, а перемен-
ных Y – вдоль вертикальной
оси. Каноническая корреляция
между первой канонической
переменной Х и первой кано-
нической переменной Y равна R
= 1,00
Дж. С. Дэвис. Статистический анализ данных в геологии. Книга 2
225
Таблица 6.44. Разбиение матрицы стандартных дисперсии и ковариации (коэффициентов корреля-
ции) для данных по блокам (а); собственные значения и соответствующие канонические корреляции
(б); преобразование векторов с целью превращения переменных по блокам в канонические пере-
менные для трех ненулевых канонических корреляции (в); вектора [А] используются для преобразо-
вания переменных X
1
–Х
3
к каноническому виду; векторы [В] – для преобразования переменных Х
4
–
X
7
к каноническому виду
(а)
0000,13571,04272,06755,0
3571,00000,19902,02022,0
4272,09902,00000,11630,0
6755,02022,01630,00000,1
6488,06805,07041,04385,0
6087,02610,01658,08337,0
5331,02865,02833,09112,0
6488,06087,05331,0
6805,02610,02865,0
7041,01658,02833,0
4385,08337,09112,0
0000,13637,02011,0
3637,00000,15802,0
2011,05802,00000,1
(б)
00,00000,0
81,06538,0
92,08485,0
00,19999,0
414
33
22
11
r
r
r
r
(г)
Первая каноническая
кореляция
Вторая каноническая
кореляция
Третья каноническая
кореляция
Вектор [A] Вектор [B] Вектор [A] Вектор [B] Вектор [A] Вектор [B]
1359,0
2945,0
3453,0
0494,0
5027,0
5731,0
6453,0
1559,0
1438,0
0594,0
0137,0
7712,0
6351,0
0415,0
0404,0
0723,0
0956,0
0826,0
6593,0
7468,0
0321,0
Комментарии, сделанные в разделе о главных компонентах относительно «чтения» нагрузок
на компоненты, в равной степени справедливы и для канонического преобразования. Векторы [А] и
[В] являются весами, используемыми для преобразования исходных переменных Y и Х в канониче-
ские переменные. При некоторых обстоятельствах можно указать физические значения комбинации
весов частного вида. Канонические переменные можно трактовать по аналогии с факторами. Однако
нет уверенности в том, что набор весов будет иметь какую-либо осмысленную интерпретацию, и
канонические корреляции могут просто отражать математические комбинации переменных двух
множеств. Это в особенности справедливо, если канонические корреляции между Х и Y являются
слабыми. Мараскилло и Левин [46], дающие исключительно ясное изложение канонической корре-
ляции, рассматривают также и другие виды интерпретации канонических весов.
Существует два часто используемых статистических критерия проверки гипотез о канониче-
ской корреляции. Один из них основан на проверке наличия любой значимой канонической корре-
ляции среди канонических соотношений. Этот критерий будет значимым, если одна или более пар
канонических переменных коррелированы. Второй критерий использует лишь значимость наиболь-
шей канонической корреляции.
Критерий всеобщей значимости был определен Бартлеттом [3] и имеет вид
)1()1)(1(
21 q
L
(6.116)
Дж. С. Дэвис. Статистический анализ данных в геологии. Книга 2
226
Рис. 6.53. Совместное пред-
ставление второй пары ка-
нонических переменных для
данных по случайным бло-
кам.
Канонические метки перемен-
ных Х и Y измеряются соот-
ветственно вдоль горизон-
тальной и вертикальной осей.
Каноническая корреляция ме-
жду вторым Х и вторым Y
равна R = 0,85
Величина
Lqpn ln)1(
2
1
)1(
2
(6.117)
распределена по закону
2
с pq степенями свободы. Нулевая гипотеза состоит в том, что все кано-
нические корреляции равны нулю. Если проверяемая статистика попадает в критическую область,
то по меньшей мере один коэффициент канонической корреляции значимо отличается от нуля.
Критерий проверки только наибольшей канонической корреляции может быть получен из
критерия Бартлетта в виде
)1ln()1(
2
1
)1(
1
2
qpn (6.118)
где
1
– наибольшее собственное значение. Этот критерий имеет число степеней свободы, прибли-
зительно равное
3
2
)1)(1(
2
1
1 qpqpdf (6.119)
Число степеней свободы, вычисленное по формуле (6.119), округляется до ближайшего целого чис-
ла, не превосходящего вычисленное.
В качестве геологического примера рассмотрим данные каротажа скважин, приведенные в
табл. 6.45. Проводились измерения интенсивности гамма-лучей, скорости распространения звука и
электрического сопротивления в доступном интервале. Эти измеряемые свойства отражают как ха-
рактеристики пород, так и свойства жидкостей в поровом пространстве. В таблице также представ-
лены лабораторные измерения, сделанные на кернах, взятых из некоторого интервала. Они включа-
ют проницаемость, пористость, насыщенность нефтью и водой.
В анализе каротажа скважин измеренные аппаратурой характеристики преобразуются, в ре-
зультате чего получаются оценки пористости, насыщенности нефтью и водой. Эти оценки основаны
на различных комбинациях откликов каротажа в зависимости от стандартов. Это наводит на мысль,
что можно найти значимую каноническую корреляцию между откликами каротажа и измерениями
на керне.
В табл. 6.46 представлена стандартизованная ковариационная матрица семи переменных,
приведенных в табл. 6.45. Указано разбиение матрицы на блоки [S
yy
], [S
xx
] и [S
xy
] и [S
yx
]. Указана
также матрица [
], получающаяся из объединения дисперсий и ковариаций в двух множествах в
соответствии с уравнением (6.115), так же, как и собственные значения матрицы [
] и соответст-
вующие канонические корреляции. Преобразованные векторы [A] и [В], связанные с тремя ненуле-
выми собственными значениями, также приведенными в табл. 6.46, в графической форме представ-
лены на рис. 6.54.
Дж. С. Дэвис. Статистический анализ данных в геологии. Книга 2
227
Первая каноническая корреляция отражает по существу связь между интенсивностью гамма-
лучей и временем прохождения звука, с одной стороны, и пористостью – с другой. Знаки весов на-
водят на мысль о том, что высокие значения гамма-излучения и низкие значения скорости звука мо-
гут указывать на низкую пористость. Сланец дает относительно высокий уровень отклика гамма-
лучей из-за наличия радиоактивного калия-40 в минерале. Скорость звуковых волн значительно ни-
же в жидкости, которая заполняет поры, чем в твердом теле. Поэтому можно утверждать, что ком-
бинация гамма-лучей и звукового каротажа дает хороший индикатор сланцев и других непористых
пород и, следовательно, коррелированна с пористостью керна.
Вторая каноническая корреляция еще более интересна, так как она связана с комбинацией
каротажа и проницаемостью керна, – замечательное свойство, которое трудно предсказать. Веса
указывают на то, что низкий отклик гамма-излучения и низкое микросопротивление почти равно-
сильны низкой проницаемости и (или) высокой пористости и насыщенности флюидами. К сожале-
нию, корреляция не является статистически значимой и может оказаться просто случайным эффек-
том опробования. Третья каноническая корреляция, которая очень мала и статистически незначима,
связывает микросопротивление и отклик звукового каротажа с относительной насыщенностью неф-
тью и водой.
Таблица 6.45. Результаты каротажа и изучения керна скважин в известняках Пен-
сильвании в Северо-Западном Канзасе
t
R
t
К
S
0
S
w
3,1
64,0
28,8
0,1
3,9
28,2
53,8
3,4
69,0
25,1
0,4
7,0
17,2
55,6
3,4
65,0
38,0
0,1
6,1
24,6
54,2
2,8
62,0
15,1
0,4
6,2
19,3
63,0
2,5
56,0
58,9
0,1
5,9
15,3
73,0
2,3
56,0
61,7
0,3
4,7
14,9
61,6
2,3
54,0
129,0
0,2
6,2
29,0
37,1
2,6
60,0
110,0
1,6
12,7
26,7
34,6
6,0
97,0
5,2
0,0
3,0
0,0
96,6
5,2
67,0
18,2
18,0
18,9
26,4
32,3
3,9
82,0
26,9
6,5
18,4
19,0
48,3
4,7
80,0
12,9
2,5
17,9
16,8
48,0
5,1
77,0
12,0
0,1
12,3
11,7
72,6
5,0
79,0
11,0
0,0
10,4
0,0
91,4
6,1
81,0
70,8
0,0
5,2
0,0
97,8
– интенсивность
-излучения, в гамма-единицах;
t
– время перехода, мкс/фут; R
t
–
микросопротивление запаздывания, Омм; К – проницаемость, 10
-6
мкм
2
; – пористость,
%; S
0
– нефтяное насыщение, % от пористости, S
w
– насыщение водой % от пористости.
Рис. 6.54. Каноническое преобразова-
ние векторов [А] и [В], вычисленное
по данным каротажа скважин и из-
мерениям керна в скважине Северо-
Западного Канзаса. Элементы векто-
ров преобразования представлены как
веса. Переменные те же, что в табл. 6.45
Дж. С. Дэвис. Статистический анализ данных в геологии. Книга 2
228
Таблица 6.46. Разбиение матрицы стандартизованных дисперсий и коэффициентов корреляции для
данных по скважине в табл. 6.45(а); объединенная матрица дисперсии [А] (б); собственные значения
матрицы [А] (в) и соответствующие канонические корреляции (г); [А] – преобразование вектора с
целью приведения значении каротажа к каноническому виду, [В] – с целью приведения измерений к
каноническому виду
(а)
0000,18639,05134,02150,0
8639,00000,12099,00251,0
5134,02099,00000,16334,0
2150,00251,06334,00000,1
0789,00862,03118,02161,0
2996,01899,04753,03063,0
1102,00881,01027,03031,0
0789,02996,01102,0
0862,01899,00881,0
3118,04753,01027,0
2161,03063,03031,0
0000,10663,02320,0
0663,00000,16459,0
2320,06459,00000,1
(б)
0332,00620,00167,00962,0
0372,00762,00006,00750,0
2278,01144,04445,00769,0
0406,00337,00891,01237,0
(в)
00,00000,0
20,00405,0
41,01697,0
63,04010,0
414
33
22
11
r
r
r
r
(г)
Первая каноническая
корреляция
Вторая каноническая
корреляция
Третья каноническая
корреляция
Вектор [A] Вектор [B] Вектор [A] Вектор [B] Вектор [A] Вектор [B]
2869,0
8727,0
4960,0
1100,0
0573,0
9473,0
2953,0
3380,0
2195,0
6627,0
4692,0
3627,0
4287,0
6816,0
3301,0
2128,0
0589,0
5469,0
8266,0
0510,0
1225,0
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛАВЕ 6 «АНАЛИЗ МНОГОМЕРНЫХ ДАННЫХ
1. Anderberg M. R. Cluster analysis for applications. Academic press., Inc, New York, 1973, 359 p.
Отличное изложение неиерархических кластерных процедур. Приложены программы на ФОР-
ТРАНе.
2. Anderson Т. W. An introduction to multivariate statistical analysis. John Wiley and Sons, Inc., New
York, 1958, 374 p.
Имеется русский перевод: Т. Андерсон. Введение в многомерный статистический анализ. – M.:
Физматгиз, 1963. Современное изложение многомерных статистических методов, T
2
-статистика
рассматривается в гл. 5, а дискриминантный анализ излагается в гл. 6, где он называется класси-
Дж. С. Дэвис. Статистический анализ данных в геологии. Книга 2
229
фикацией. Метод главных компонент рассматривается в гл. 11 и коротко как статистический ме-
тод – на стр. 443–444.
3. Bartlett M. S. Further aspects of the theory of multiple regression. Proc. of the Cambridge Philosophical
Soc., 34, 1938, 33–40.
4. Benzecri J.-P. a. oth. L'Analyse des donnees, v. 2, L'Analyse des correspondences. Dunod, Paris, 1980,
628 p.
5. Bijnen E. J. Cluster analysis – Survey and evaluation of techniques. Tilburg Univ. Press. Groningen.
The Netherlands, 1973, 112 p.
Компактный хорошо написанный обзор всех типов кластерных процедур.
6. Burt С. Correlations between persons. British Journal of Psychology, General Section, 28, 1937, 59–96.
В этой ранней работе обсуждаются связи между R- и Q-методами факторного анализа. Гипоте-
тический пример, используемый для иллюстрации теоремы Эккарта–Юнга, взят из этой книги.
7. Businger P. A.. Golub G. H. Algorithm 358, singilar value decomposition of a complex matrix. Com-
munications of the Assoc. for Computing Machinery, 12, 1969, p. 564–565.
8. Child D. The essentials of factor analysis. Holt, Rinehart and Winstin Ltd., London, 1970, 107 p.
Компактный обзор факторного анализа и близких методов, изданный в бумажном переплете. Из-
ложение нематематическое и очень понятное.
9. Clark S. P. Jr. (ed.) Handbook of Physical Constants. Geol. Soc. America, Mem., 97, 1966, 587 р.
10. Clifford H. Т., Sfefenson W. An introduction to numerical classification. Academic Press, Inc., New
York, 1973, 229 p.
Точка зрения биолога на кластерный анализ и другие процедуры классификации. Глава 8 (о мат-
рицах сходства) и глава 13 (многомерный анализ) представляют особый интерес.
11. Cooley W. W., Lohnes P. R. Multivariate data analysis. John Wiley and Sons, Inc., New York, 1971, 364
p.
Наряду со многими другими вопросами излагаются теории множественной регрессии, дискрими-
нантных функций и факторный анализ. В книге приводятся также тексты подпрограмм на ФОР-
ТРАНе и вычислительные схемы разнообразных процедур.
12. David M., Dagbert M., Beauchemin Y. Statistical analysis in geology. Correspondence analysis method.
Quart, Colorado Sch. Mines 72, № 1, 1977, 60 р.
Авторы предлагают применить анализ соответствий к непрерывным переменным и дают обосно-
вание метода, основанное на теории вероятностей. Приводится программа на ФОРТРАНе.
13. Davis I. С. Information contained in sediment-size analysis. Jour. Int'l. Assoc. Mathematical Geology, 2,
№ 2, 1970, р. 105–112.
Экспериментальные данные по осадкам бассейна Баратария, рассмотренные в настоящей главе,
взяты из этой книги.
14. Draper N. R., Smith H. Applied regression analysis, 2nd ed. John Wiley and Sons, Inc., New York,
1981, 709 p.
Имеется русский перевод: Дрейпер H., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. – M., Финан-
сы и статистика, 1987. – Т. 1 и 2.
15. Eckart С., Young В. The approximation of one matrix by another of lower rank. Psychometrika, 1, № 3,
1936, p. 211–218.
Фундаментальная работа о связи R- и Q-методов факторного анализа.
16. Everitt В. S. Graphical techniques for multivariate data North Holland. New York, 1978, 117 p.
17. Fisher R. A. The precision of discriminant functions. Annals of Eugenics, 10, 1940, p. 422–429.
18. Folk R. L. Petrology of sedimentary rocks, 4th ed. Hemphill's, Austin, Тех, 1980, 184 р.
19. Ganadesikan R. Methods for statistical data analysis of multivariate observations. John Wiley and Sons,
Inc., New York, 1977, 311 p.
В тексте представлены графические методы, разработанные в Телефонных лабораториях Белла.
Процедуры кластерного анализа и другие процедуры классификации рассмотрены в гл. 4.
20. Gower I. C. Some distance properties of latent root and vector methods used in multivariate analysis.
Biometrika, 53, № 3, 1966, р. 325–338.
Рассматривается двойственность между анализом соответствия и методом главных компонент.
21. Griffiths J. С., Ondrick С. W. Modelling the petrology of detrital sediments. In: Merriam D. F. (ed.).
Computer applications in the earth sciences. Plenum Press, New York, 1969, p. 73–97.
Статья посвящена моделированию процесса отклика при исследовании происхождения кластиче-
ских осадков. Факторы, представляющие осадки, обсуждаются на стр. 76–84. Эксперимент, свя-
Дж. С. Дэвис. Статистический анализ данных в геологии. Книга 2
230
занный с применением МГК в этой главе, описан на стр. 86–88.
22. Harman H. H. Modern factor analysis, 2nd ed. Univ. Chicago, Press, 1967, 474р.
Имеется русский перевод: Харман Г. Современный факторный анализ. М., Статистика, 1972. Не-
смотря на то что большинство примеров этой книги взято из психометрики, основной упор сде-
лан на вычислительные аспекты излагаемых теорий и поэтому изложение относительно свободно
от психологической терминологии.
23. Harris R. J. A primer of multivariate statistics. Academic Press, New York, 1975, 332 p.
Рассмотрены главные компоненты (гл. 6) и факторный анализ (гл. 7). Хотя книга написана в рас-
чете на общественные науки, изложенные в ней методы в равной мере применимы и к геологиче-
ским данным. Рассмотрены также преобразование данных и вращение факторов.
24. Harfigan J. A. Clustering algorithms, John Wiley and Sons. Inc. New York, 1975, 351 p.
Кластерный анализ изложен на строгом алгоритмическом уровне. Книга содержит многочислен-
ные подпрограммы на ФОРТРАНе и тестовые данные, взятые из различных дисциплин.
25. Heckel Р. H., Baesemann J. F. Environmental enterpretation of conodont distribution in Upper Pennsil-
vanian (Missourian) megacyclothems in eastern Kansas. Bull. American Assoc. Petroleum Geologists,
59, № 3, 1975, р. 486– 509.
26. Hill M. O. Correspondence analysis. A neglected multivariate method. Jour. Royal Stat. Soc., Ser. C,
Appl. Stat., 23, № 3, 1974, р. 340–354.
27. Hirschfeld H. O. A connection between correlation and contingency. Proc. of the Cambridge Philoso-
phical Soc., 31, 1935, p. 520–524.
28. Howarth R. I. (ed.) Statistics and data analysis in geochemical prospecting. Elsevier Publ. Co., Amster-
dam, 1983, 437 p.
В гл. 6 рассмотрено применение многомерных методов при геохимической разведке и приведен
перечень источников вычислительных программ, в гл. 9– применение дискриминантного анализа
при прогнозировании олова, в главах 10 и 11 дан обзор публикаций о применении многомерных
методов.
29. Imbrie I., Purdy E. G. Classification of modern Bahamian carbonate sediments, in Classification of Car-
bonate Rocks, a Symposium American Assoc. Petroleum Geologists, Mem, 1, 1962, p. 243–272.
Основная ссылка в геологической литературе на метод главных компонент.
30. Sardine N., Sibson R. Mathematical taxonomy, John Wiley and Sons, Ltd., London, 1971,286р.
Методы кластерного анализа и классификации рассматриваются с использованием обозначений.
В книге имеется ценный словарь терминов численной таксономии.
31. Johnson R. M. On the theorem stated by Eckart and Young. Psychomet-rika, 28, N 3, 1963, р. 259–263.
Математическое доказательство теоремы Эккарта–Юнга.
32. Joreskog К. G. Factor analysis by least-squares and maximum-likehood methods, in Enslein K. and
others (eds.) Statistical methods for digital computers, v. 3, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1977,
p. 125–153.
Полное изложение, доведенное до алгоритма «истинного» R-метода факторного анализа, опи-
санного в этой главе.
33. Joreskog К., G., Klovan J. E., Reyment R. A. Geological factor analysis. Elsevier Publ. Co., Amsterdam,
1976, 178 p.
Рекомендуется тем, кто интересуется применением факторного анализа к решению геологиче-
ских задач. Автор не затрудняет себя высказыванием мнений об относительной ценности тех или
иных методов.
34. Kendall M. G., Stuart A. Advanced theory of statistics, 2nd ed., v. 2, Charles Griffin and Co., Ltd, Lon-
don, 1967, 690 p.
35. Klouan J. E. The use of factor analysis in determining depositional environments from grain-size distri-
butions, Jour. Sedimentary Petrology, 36, 1966, p. 115–125.
Дан анализ осадков бассейна Баратария Q-методом факторного анализа.
36. Koch G. S. Je; Link R. F. Statistical analysis of geological data. Dover Publications, Inc., New York,
1980, 850 p.
37. Krumbein W. C., Aberdeen E. The sediments of Barataria Bay. Jour. Sedimentary Petrology, 7, 1937, p.
3–17.
Данные табл. 6.22 представляют собой адаптацию данных табл. 1 этой работы.
38. Krumbein W. С., Shreve R. L. Some statistical properties of dendritic channel networks. Office of Naval
Research. Tech. Rept., 13, ONR Task No. 389–150, 1970, 117 p. (available from Documents Clearing-