Диплом - Компьютерное метематическое моделирование

Подождите немного. Документ загружается.

если движение происходит с переменной скоростью, то, как известно

учащимся, для его характеристики привлекаются два понятия: средняя

скорость за некоторый промежуток времени Δt, равная отношению





, где

— пройденный путь и мгновенная скорость в данный момент времени t,

которая на математическом языке записывается как:









lim



Точно так же при движении с постоянным ускорением можно ввести

два понятия — среднее ускорение за время Δt, равное

ср









, и мгновенное

ускорение в момент:











lim:

В стандартных математических обозначениях





 ,

, т.е.

мгновенная скорость, есть производная от перемещения по времени, а

мгновенное ускорение — производная от скорости по времени. Второй закон

Ньютона в уточненной редакции утверждает: ускорение, с которым движется

тело в данный момент времени, пропорционально действующей на него в

этот момент силе и обратно пропорционально имеющейся в данный момент у

тела массы:







(1)

разные записи этого утверждения.

Приведенное рассуждение является типичным для этой темы

обоснованием перехода от дискретного к непрерывному.

Далее отмечаем, что при реальных физических движениях тел в

газовой или жидкостной среде трение накладывает огромный отпечаток на

характер движения. Очевидно, что предмет, сброшенный с большой высоты

(например, парашютист, прыгнувший с самолета), вовсе не движется

равноускоренно, так как по мере набора скорости возрастает сила

сопротивления среды.

Поясните учащимся, что закономерности, связывающие силу

сопротивления со скоростью движения тела, носят эмпирический характер и

отнюдь не имеют столь строгой и четкой формулировки, как второй закон

Ньютона. Приведите эти закономерности (при этом вполне достаточно

ограничиться линейной и квадратичной по скорости составляющими силы

сопротивления:

21.



 kkF

сопр

Рассмотрим свободное падение с учетом сопротивления среды.

Математическая модель движения — это уравнение второго закона Ньютона

с учетом двух сил, действующих на тело — силы тяжести и силы

сопротивления среды, движение является одномерным; проецируя векторное

уравнение на ось, направленную вертикально вниз, получаем:

kkmg









(2)

При выводе уравнения целесообразно изобразить на рисунке силы,

действующие на тело; это будет способствовать наилучшему восприятию

полученного уравнения и не вызовет дополнительных вопросов.

Вопрос, который следует обсуждать на первом этапе, таков: каков

характер зависимости скорости от времени, если все параметры, входящие в

последнее уравнение, заданы? При такой постановке модель носит сугубо

дескриптивный характер.

На этом этапе возникает вопрос о способах решения

дифференциальных уравнений. Очевидный ответ: универсальные методы их

решения — численные. для начала вполне достаточно ограничиться методом

Эйлера. Проводим следующее рассуждение: если на основании определения

производной заменить ее в уравнении (2) конечно-разностным отношением

t





то, зная скорость v0 в начальный момент времени t = О и обозначив ее

как v1 в момент Δt, перепишем уравнение в виде

kkmg











(3)

Если далее понимать под v1 приближенное значение скорости в

момент Δt, то получим формулу для вычисления v 1:

kkmg







0201



(4)

Это и есть формула метода Эйлера.

далее рассуждение ведется по индукции. Располагая значением v1

можно, отталкиваясь от него, найти v2 и т.д. Общая формула метода Эйлера

применительно к данной задаче такова:

kkmg











(5)

Возникает следующая проблема: до каких пор проводить расчеты? В

данной задаче естественным представляется ответ: до падения тела на землю.

для обнаружения этого события необходимо рассчитывать не только

скорость, но и пройденный путь. Поскольку перемещение связано со

скоростью соотношением







, то, проводя схожие с приведенными выше

рассуждения, приходим ко второму разностному уравнению

tSS

nnn







решаемому одновременно с первым. Иначе говоря, мы применили метод к

системе дифференциальных уравнений. Решая эту систему при заданных

начальных условиях

)0(,)0( ss 



, получим таблицу значений функций

v(t), s(t).

Важные, тесно связанные между собой методическая и содержательная

проблемы — это контроль точности и выбор шага времени Δt. Казалось бы,

чем меньше шаг, тем точнее решение но, во-первых, это утверждение не

является вполне верным (причины обсудим ниже), а во-вторых, при очень

мелком шаге расчетов «результатов» слишком много и они становятся

необозримыми. Отсюда возникает еще одна методическая проблема: как

выбрать шаг повремени для вывода значений перемещения и скорости на

экран. Этот шаг выбирается из соображений разумной достаточности

информации и обозримости представления результатов на экране; из

практических соображений удобно, если он кратен Δt (реально шаг вывода

может составлять десятки и сотни Δt). Кроме того, ставится задача:

представить полученные результаты в наиболее удобном для восприятия

виде. Это могут быта графики зависимостей v(t), s(t), изображение процесса

падениям динамике (здесь возможны вариации).

3.2.6. Краткая характеристика системы Марlе

Марlе — система компьютерной математики, рассчитанная на

серьезного пользователя. до недавнего времени ее называли системой

компьютерной алгебры, что указывало на особую роль симнольных

вычислений и преобразований, которые способна осуществлять система. Но

такое название сужает сферу применения системы. На самом деле она

способна выполнять быстро и эффективно не только символьные, но и

численные расчеты, причем сочетает это с превосходными средствами

графической визуализации и подготовки электронных документов.

Казалось бы, нелепо называть такую мощную систему математической

системой «для всех». Однако по мере распространения этой системы она

становится полезной для многих пользователей ГIК, вынужденных в силу

обстоятельств (работа, учеба) заниматься математическими вычислениями и

всем, что с ними связано. А все это простирается от решения учебных задач,

начиная со школы и заканчивая вузом, до моделирования сложных

физических объектов, систем и устройств и даже применения системы в

математической художественной графике.

Марlе 9 — тщательно и всесторонне продуманная система

компьютерной математики. Она с равным успехом может использоваться как

для простых, так и для самых сложных вычислений. Заслуженной

популярностью системы Марlе пользуются в университетах — свыше ЗОО

самых крупных университетов мира взяли эту систему на вооружение. А

число только зарегистрированных пользователей системы уже давно

превысило один миллион. Ядро системы Марlе используется в ряде других

математических систем, например МАТLАВ и МаthСАD, для реализации в

них символьных вычислений.

Марlе — типичная интегрированная программная система. Она

объединяет в себе:

• мощный язык программирования (он же язык для интерактивного

общения с системой);

• редактор для подготовки и редактирования документов и программ;

• современный многооконный пользовательский интерфейс с

возможностью работы в диалоговом режиме;

• мощную справочную систему со многими тысячами примеров;

• ядро алгоритмов и правил преобразования математических

выражений;

• численный и символьный процессоры;

• систему диагностики;

• библиотеки встроенных и дополнительных функций;

• пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых

других языков программирования и программ.

Ко всем этим средствам имеется полный доступ прямо из окна

программы. Система Марlе прошла долгий путь развития и апробации. Она

реализована на больших ЭВМ, рабочих станциях ПК, работающих с

операционной системой Uniх, ПК класса IВМ РС, Масintosh и др. Не

случайно ядро системы Марlе используется целым рядом других мощных

систем компьютерной математики, например системами класса МаthСАD и

МАТLАВ.

Основой для работы с символьными преобразованиями в Мар1е

является ядро системы. Оно содержит сотни базовых функций и алгоритмов

символьных преобразований. Ядро системы улучшается от версии к версии.

В новейшей версии Марlе 9 в ядре исправлены многие недостатки,

выявленные в ходе обширного и поистине всемирного тестирования

предшествующих версий. Это, впрочем, не исключает появление новых

неточностей и ошибок.

В Марlе имеется также основная библиотека операторов, команд и

функций. Многие встроенные в нее функции, как и функции ядра, могут

использоваться без какого-либо объявления, другие нуждаются в

объявлении. Кроме того, имеется ряд подключаемых проблемно-

ориентированных пакетов (расkаgеs), тематика которых охватывает

множество разделов классической и современной математики.

дополнительные функции из пакетов могут применяться после

объявления подключения пакета с помощью команды ‚with (name), где name

— имя применяемого пакета. Общее число функций, с учетом встроенных в

ядро и

в пакетах, в системе Марlе 9 (как и в Марlе 8) превышает 3000.

Система Марlе интегрирует в себе три собственных языка:

• входной;

реализации;

• программирования.

Марlе имеет входной язык сверхвысокого уровня, ориентированный на

решение математических задач практически любой сложности в

интерактивном (диалоговом) режиме. Он служит для задания системе

вопросов или, говоря иначе, задания входных данных для следующей их

обработки. Это язык интерпретирующего типа и по своей идеологии

напоминает Ваsiс. Он имеет большое число заранее определенных

математических и графических функций, а также обширную библиотеку

дополнительных функций, подключаемую по мере необходимости.

Имеет Марlе и свой язык процедурного программирования - Марlе-

язык. Этот язык содержит вполне традиционные средства структурирования

программ. Ему доступны все специальные операторы и функции. Многие из

них являются весьма серьезными программами: например, символьное

дифференцирование, интегрирование, разложение в ряд Тейлора, построение

сложных трехмерных графиков и т. д.

В новые реализации Марlе 8/9 добавлены средства Марle создания

визуально-ориентированного диалога с системой, включающие в себя

задание множества диалоговых окон и иных типовых средств интерфейса,

привычного пользователям Windows-приложений. Однако даже обычные

средства диалога у систем класса Марiе обеспечивают высокую наглядность

и комфортность работы с системой при решении математических задач.

реализации системы Марlе является один из самых лучших и мощных

универсальных языков программирования — Си. На нем написано ядро

системы, содержащее тщательно оптимизированные процедуры.

Большинство же функций, которые содержатся в библиотеках расширения

системы Марlе, написаны на Марlе-языке, благодаря чему их можно

модифицировать и даже писать свои собственные библиотеки. По разным

оценкам, лишь от 5 до 10 % средств Марlе создано на языке реализации —

все остальное написано на Марlе-языке.

для подготовки программ на языке Мар1е могут использоваться

внешние редакторы, но система имеет и свой встроенный редактор, вполне

удовлетворяющий требованиям большинства пользователей. Он открывается

командами New и Ореn в меню Filе. Этот редактор можно использовать для

редактирования файлов программ или математических выражений. Версии

Марlе для МS-DОS имеют свой редактор программ и отладчик с функциями

проверки синтаксиса. После версии Марlе V для Windows необходимость в

этих средствах практически отпала.

Марlе-язьик программирования считается одним из самых лучших и

мощных языков программирования математических задач. Это, наряду с

упомянутыми новыми средствами пакета Мар1е, позволяет создавать

высококачественные электронные уроки, статьи и даже целые книги.

Основные возможности системы Марlе 9.

Возможности интерфейса:

• Работа со многими окнами;

• Вывод графиков в отдельных окнах или в окнах документа;

• Представление выходных и входных данных в виде естественных

математических формул;

• Задание текстовых комментариев различными шрифтами;

• Возможность использования гиперссылок и подготовки электронных

документов;

• Удобное управление с клавиатуры, с помощью главного меню и

инструментальной панели;

• Управление с помощью мыши.

Символьные и численные вычисления:

• дифференцирование функций;

• Численное и аналитическое интегрирование;

• Вычисление пределов функций;

• Разложение функций в ряды;

• Вычисление сумм и произведений;

• Интегральные преобразования Лампаса, Фурье и др.;

• дискретные 2: — преобразования;

• Прямое и обратное быстрое преобразование Фурье;

• Работа с кусочно-заданными функциями. Численное и символьное

решение уравнений:

• Решение систем линейных и нелинейных уравнений;

• Решение систем дифференциальных уравнений;

• Символьное вычисление рядов;

• Работа с рекуррентными функциями;

• Решение трансцендентных уравнений;

• Решение систем с неравенствами.

Вычисление элементарных и специальных математических функций:

• Вычисление всех элементарных функций;

• Вычисление большинства специальных математических функций;

• Пересчет координат точек для множества координатных систем;

• Задание производных функций пользователя. Линейная алгебра:

• Свыше ста операций с векторами и матрицами;

• Решение систем линейных уравнений;

• Формирование матриц и их преобразования;

• Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц;

• Поддержка быстрых векторных и матричных алгоритмов группы АО.

Графическая визуализация вычислений:

• Построение графиков многих функций;

• Различные типы осей (с линейным и логарифмическим масштабом);

• Графики функций в декартовой и полярной системах координат;

• Специальные виды графиков (точки массивов, векторные графики,

диаграммы уровней и др.);

• Системы координат, определяемые пользователем;

• Графики, представляющие решения дифференциальных уравнений;

• Графики трехмерных поверхностей с функциональной закраской;

• Построение пересекающихся в пространстве объектов;

• Задание пользователем окраски графиков;

• Импорт графиков из других пакетов и программных систем;

• Анимация графиков;

• Проигрывание анимационных файлов.

Программирование:

• Мощный встроенный язык процедурного программирования;

• Простой и типичный синтаксис языка программирования;

• Обширный набор математических типов данных;

• Типы данных, задаваемых пользователем;

• Средства отладки программ;

• Мощные библиотеки расширения языка программирования;

• Задание внешних функций и процедур;

• Программный интерфейс с языками программирования.

Исходя из всего вышесказанного, наиболее удачным инструментом

реализации интеграции компьютерной математики в курс «Алгебра и начала

анализа» является прикладной пакет Марlе 9.

3.3. Разработка урока «Моделирование в электронных

таблицах»

Раздел: Преподавание информатики

Урок № 1. Задача о попадании точки в заданную фигуру. 2 часа.

Цель урока: построить в Excel компьютерную модель заданной на

плоскости фигуры, исследовать ее, вводя координаты различных точек.

Учащиеся должны знать: логические функции Excel, технологию

внедрения одного объекта в другой.

Учащиеся должны уметь: строить чертеж в Word, строить

математическую модель фигуры, строить компьютерную модель в Excel.

План урока.

Решение задачи о попадании точки в фигуру на примерах с

использованием логических функций Excel. 40 мин.

Практическая работа: решить задачу для заданной фигуры в Excel,

построить чертеж фигуры в Word, построить математическую модель,

построить компьютерную модель, вставить решение из Excel в Word как

объект с целью дальнейшего тестирования и проверки задачи. 40 мин.

Домашнее задание: построить математическую и компьютерную

модель (программа на Паскале) для заданной фигуры.

Рассмотрим фигуру на плоскости: рис. 1