Державин О.M., Коломейцева М.Б., Митрофанов В.Е. Теория управления
Подождите немного. Документ загружается.
Y
1
’ = Y
2
Y
2
’ = -a
1
Y
2
– a
0
Y
1
Уравнение фазовых траекторий в этом случае имеет вид:
dY
2
/dY
1
= -a
1
– a
0
Y
1
/Y
2
Решение Y
2
=f(Y
1
) содержит одну произвольную постоянную, величина
которой зависит от начальных условий. Совокупность кривых
Y
2
= f(Y
1
) для всех возможных значений этой постоянной предста-
вляет собой все возможные фазовые траектории, а значит и все
возможные виды переходных процессов в рассматриваемой САУ.
Вид фазовых траекторий зависит от корней характеристического
уравнения системы
P
1,2
= -a
1
/2 ±
0
2
1
4
a
a
Возможны шесть вариантов решений:
1) Корни чисто мнимые при a
1
=O, a
0
>O. Тогда Y
1
=ωAcos(ωt+b),
ω = a
0
. Амплитуда А и начальная фаза b зависят от выбора
начальных условий.
Фазовые траектории представляют собой концентрические
эллипсы с особой точкой типа "центр" в начале координат.
2) Корни комплексные и имеют отрицательные вещественные
части при a
1
2
<4a
0
, a
1
>0, a
0
>0. Общий вид решения
Y
1
= A exp(-αt) sin(ωt + b), α=a
1
/2, ω=a
0
-a
1
2
/2,
Y
2
= A exp(-αt)(-αsin(ωt+b) + αcos(ωt+b). Фазовые траектории
имеют вид спиралей. Начало координат является точкой
устойчивого равновесия и носит название устойчивого фокуса.
3) Корни комплексные и имеют положительные вещественные
части при а1
2
<4a
o
, a
1
<0, а
о
>0. Решения для фазовых переменных
имеют тот же вид, что и в предыдущем случае, но фазовые
траектории имеют вид раскручивающихся спиралей. Точка
начала координат называется неустойчивым фокусом.
4) Корни вещественные отрицательные при a
1
2
>4a
o
, a
1
>0, а
о
>О.
Фазовые переменные: Y
1
= с
1
exp(-p
1
t) + C
2
exp(-p
1
t),
Y
2
= -P
1
c
1
exp(-p
1
t) - P
2
C
2
exp(-p
2
t).
Это решение соответствует затухающему апериодическому
переходному процессу. Фазовые траектории представляют собой
кривые параболического типа и монотонные кривые, имеющие
общую касательную в особой точке. Начало координат является
в этом случае точкой устойчивого равновесия (устойчивый
узел).
5) Корни вещественные положительные при a
1
2
>4a
o
, a
1
<0, а
о
>О.
Имеет место расходящийся апериодический процесс и точка
равновесия - начало координат - в данном случае является
особой точкой типа неустойчивый увел.
6) Корни вещественные и имеют разные знаки при а
1
2
>4a
o
,
a
1
<0, а
о
<О. Начало координат является особой точкой типа
седло.
При исследовании нелинейной САУ в каждом варианте задается
структурная схема системы, а также тип и параметры нелинейного
звена. При подготовке к занятию требуется определить уравнения
фазовых траекторий, описывающие движение системы. Уравнения дви-
жения должны быть получены либо для каждого линейного участка на
характеристике нелинейного звена (варианты 1,3,4,5,7,8), либо
для всех значений переключающей функции (варианты 2,6). Ввод в
ПК уравнений движения линейной и нелинейной САУ в переменных со-
стояния осуществляется в форме:
dY
1
/dt = k
10
+ k
11
Y
1
+ k
12
Y
2
dY
2
/dt = k
20
+ k
21
Y
1
+ k
22
Y
2
(4.1)
где K
10
,K
11
,K
12
,K
20
,K
21
,K
22
- вводимые коэффициенты уравнений.
Для анализа нелинейной САУ в ПК вводятся уравнения линий
переключения, разделяющих фазовую плоскость на области, в преде-
лах каждой из которых движение системы описывается линейными
уравнениями. Линии переключения задаются прямыми с точкой Y
10
на
оси. Y
1
и тангенсом угла наклона относительно оси Y
2
равным к:
Y
1
= Y
10
+ kY
2
. (4.2)
В зависимости от типа исследуемой системы возможны два различных
варианта задания линий переключения. Если исследуется НСАУ,
содержащая нелинейное звено с кусочно-линейной характеристикой
(в частном случае - с характеристикой релейного типа), то
параметры линий переключения вводятся последовательно, начиная с
крайней левой линии в области положительных значений Y
2
. Затем
вводятся параметры левой линии в области отрицательных значений
Y
2
.После этого задаются параметры следующих по возрастанию Y
2
пар
линий. В случае однозначной нелинейной характеристики линии
попарно совпадают, а при наличии гистерезиса каждая пара прямых
имеет смещение относительно друг друга. Если в НСАУ отсутствует
обратная корректирующая связь, охватывающая нелинейное звено,
то линии переключения располагаются параллельно оси Y
2
. При
наличии обратной связи линии переключения имеют наклон. Следует
помнить, что ввод параметров линий переключения производится
строго попарно, в том числе и для случая, когда линии попарно
совпадают.
При исследовании системы с переменной структурой (СПС, варианты
2,6) линии переключения задаются отрезками, лежащими в верхней и
нижней полуплоскости и имеющими начало в точке начала координат.
Установлена следующая последовательность задания линий:
первоначально вводятся параметры первой слева линии, лежащей в
верхней полуплоскости, затем задается левая линия в нижней по-
луплоскости, потом вводятся параметры второй слева линии в верх-
ней полуплоскости и аналогично расположенной линии в нижней по-
луплоскости.
На рис.4.1 показан порядок ввода параметров линий переключения
для случая нелинейного звена с характеристикой трехпозиционного
реле с гистерезисом. В этом случае количество областей, рас-
сматриваемых на фазовой плоскости, равно 3, а число линий пере-
ключения - 4.
линия 1: Y
10
= -m ; k=0;
линия 2: Y
10
= -e ; k=0;
линия 3: Y
10
= e ; k=0;
линия 4: Y
10
= m ; k=0.
Рис.4.1
Для варианта исследования СПС переключающая функция Z(Y
1
,Y
2
)
синтезируется на основе соотношения Z= -Y
1
sign(Y
1
)sign(A
1
Y
1
+A
2
Y
2
).
В этом случае линии переключения должны быть заданы следующими
прямыми:
линия 1: Y
10
= 0; k=-A
2
/A
1
;
линия 2: Y
10
= 0; k=0;
линия 3: Y
10
= 0; k=0;
линия 4: Y
10
= 0; k=-A
2
/A
1
.
При выполнении работы предполагается следующая последова-
тельность задания параметров системы. Первоначально производится
выбор типа системы. Предусмотрена возможность исследования ли-
нейных и нелинейных САУ. Затем устанавливаются параметры прямо-
угольного окна на фазовой плоскости, в пределах которого в даль-
нейшем проводятся построения фазовых траекторий.
При исследовании линейной структуры следующий шаг состоит в
задании коэффициентов уравнений движения. Если же предполагается
исследовать нелинейную систему, то прежде следует установить
число областей на фазовой плоскости, необходимых для полного
отображения фазовых траекторий при произвольном выборе начальных
условий.
Вопрос о количестве областей решается либо исходя из вида
характеристики нелинейного звена, либо на основании анализа пе-
реключающей функции. В общем случае число областей совпадает с
количеством кусочно-линейных участков (в том числе участков с
постоянным значением сигнала) на характеристике нелинейного
звена. Для систем с переменной структурой в соответствии с
функцией переключения производится разделение плоскости на
области и затем определяется общее число областей, которые
пересекаются горизонталью Y
2
<>0 при изменении Y
1
во всем
диапазоне значений. После того, как определено число областей,
производится установка параметров линий переключения в порядке,
описанном выше. Далее вводятся коэффициенты параметрических
уравнений, описывающих движение системы в каждой из областей,
после чего можно перейти к исследованию системы на фазовой
Y
1
m e Y
2
-e -m
плоскости.
Для построения фазового портрета , дающего полное представление
о характере движения системы, нужно последовательно задавать
разные начальные условия (Y
10
,Y
20
) и отобразить в пределах
установленного окна семейство фазовых траекторий. При этом реко-
мендуется координаты начальных точек выбирать по периметру окна.
Следует также помнить, что за пределами окна просмотра фазовые
траектории не отображаются.
В соответствии с программой исследований в процессе работы
последовательно анализируются фазовые портреты линейных
САУ, затем исходная нелинейная система и влияние изменения
параметров системы на характер динамических режимов. После
завершения каждого этапа исследования производится переход в
режим установки параметров системы и, при необходимости,
изменяется тип исследуемой САУ, вносятся изменения в уравнения
линий переключения и в параметрические уравнения движения
системы, а также переопределяется расположение и размеры окна
просмотра на фазовой плоскости.
Методические данные для проведения исследований.
Варианты структурных схем НСАУ (рис. 4.2 - 4.5):
Вариант S
1
W
1
(p=k
1
); W
2
(p)=k
2
/p; W
3
(p)=k
3
/(l+pT
3
); W
4
(p)=k
4
.
Рис. 4.2
Вариант S
2
W
1
(p)=k
1
/p; W
2
(p)=k
2
/p; Z(Y
1
,Y
2
)=-Y
1
Sign(Y
1
)sign(A
1
Y
1
+A
2
Y
2
).
Рис.4.3
W
1
(p)=k
1
/p; W
2
(p)=k
2
/p; W
3
(p)=k
3
.
Рис.4.4
W
1
(p)
U
Z(U)
W
4
(p)
W
3
(p)
W
2
(p)
ZY
1
-Y2
Y
2
W
2
(p)
A
2
Z(U)
Z
A
1
W
1
(p)
Y
1
U
W
1
(p)=k
1
; W
2
(p)=k
2
/p; W
3
(p)= k
3
/(l+pT
3
).
Рис.4.5
Таблица 4.1 Варианты характеристик нелинейных блоков
номер
вар.
тип нелинейного
звена
вид
характеристики
нелинейного звена
N
1
Двухпозиционное
идеальное реле
N
2
Двухпозиционное
реле с гисте-
резисом
N
3
Трехпозиционное
идеальное реле
N
4
Трехпозиционное
реле с гистере-
зисом
N
5
Переключающее
устройство в
системе с пере-
менной структу-
рой
Варианты исходных данных
Номер
варианта
задания-
Тип особой точки
фазового портрета
Тип и параметры НСАУ
тип
САР
тип HЭ параметры
линейных
звеньев
1 Эллипс;
неустойчивый узел;
S
1
N
4
а=0.2
е=5.0
m=2.5
K
1
=10;
к
2
=1.О;
к
3
=5.О;
к
4
=2.0;
Т
3
=1.0;
2 седло;
устойчивый узел;
S
2
N
5
K
1
=1.0;
k
2
=1.0;
A
1
=1.0;
А
2
=0.8;
3 устойчивый фокус;
ЭЛЛИПС;
S
3
N
4
а=1.О
е=0.5
m=0.25
K
1
=1.0;
k
2
=l.0;
к
3
=0.2;
4 Неустойчивый фо-
кус; седло;
S
4
N
2
а=0.2
е=2.5
K
1
=10;
к
2
=1.О;
к
3
=5.0;
Т
3
=1.0;
5 устойчивый узел;
неустойчивый фо-
кус;
S
1
N
4
а=1.О
е=4.0
m=2.8
K
1
=8.0;
k
2
=1.0;
к
3
=2.0;
к
4
=4.0;
Т
3
=2.0;
6 эллипс;
устойчивый фокус;
S
2
N
5
K
1
=1.8;
k
2
=2.4;
A
1
=1.0;
А
2
=0.5;
7 эллипс;
седло;
S
3
N
4
а=2.0
е=1.0
m=0.6
K
1
=1.5; к
2
=1-
2; к
3
=0.3;
8 неустойчивый узел
устойчивый фокус;
S
4
N
2
а=1.0
е=4.0
K
1
=8.0;
k
2
=1.0;
к
3
=2.0;
Т
3
=2.0;
Таблица 4.3.
Содержание исследований по разделу 2.5 задания
номер
вар.
Содержание исследований
1
Исследуйте условия возникновения устойчивого предель-
ного цикла в НСАУ при отсутствии в системе обратной
связи по скорости (k
4
=0) и в зависимости от ширины
гистерезиса 1=m/е на характеристике Z(u).
Экспериментальным путем определите предельное значение
параметра l, при котором в системе наблюдается
предельный цикл.
2,6
Исследуйте влияние соотношения весовых коэффициентов
А
2
/A
1
переключающего элемента на вид переходных процес-
сов в НСАУ. Изменяя А
2
/A
1
в пределах [0.6,2.0],
наблюдайте появление в НСАУ скользящего режима. В том
же диапазоне изменения A
2
/A
1
получите зависимость
времени достижения установившегося состояния в системе
от отношения А
2
/A
1
и постройте график.
3,7
Исследуйте заданную систему при условии, что в качес-
тве переключающего элемента используется идеальное
двухпозиционное реле. Для этого случая проанализируйте
влияние величины коэффициента k
3
на время достижения
установившегося состояния. Постройте график
зависимости времени установления переходного процесса
в системе от величины k
3
.
4,8
Исследуйте зависимость параметров (периода и амплитуды
колебаний) устойчивого предельного цикла, имеющего
место в системе при изменении величины гистерезиса
переключающего звена в диапазоне [О,5]. По результатам
исследований постройте графические зависимости Т(е) и
Y
1m
(e).
5
Путем изменения глубины обратной связи по скорости k
4
добейтесь появления скользящих режимов. Исследуйте и
постройте график зависимости времени установления
переходных процессов в системе от глубины обратной
связи.
Контрольные вопросы для подготовки работ к защите
1.Поясните методику получения уравнений движения САУ (на при-
мере системы второго порядка) в форме переменных состояния.
2. Что такое линии переключения? Как получить уравнения линий
переключения в фазовой плоскости?
3.Какие типы особых точек и соответствующие им фазовые траек-
тории возможны при исследовании линейных систем второго порядка
методом фазовой плоскости? Укажите условия возникновения различ-
ных ВИДОР движений.
4. Как построить переходный процесс в НСАУ по виду фазовой
траектории?
5. Условия возникновения скользящего режима в НСАУ. Вид фазо-
вых траекторий и переходных процессов в этом режиме.