Державин О.M., Коломейцева М.Б., Митрофанов В.Е. Теория управления

Подождите немного. Документ загружается.

δf

(p) =

)()1)(1)((

21021

TpkpkekpTpTpBAp

epk







(2.4)

Из выражений (2.3) и (2.4) следует, что при наличии в законе

регулирования интегральной составляющей (к

2≠

О) и при рассмотрении

объекта с самовыравниванием (А≠О) W

δx

(p) = W

δf

(p) =0 и статическая

ошибка САР Δ

ст x

= Δ

стf

= 0.

Этот вывод также справедлив для САР, содержащей объект без

самовыравнивания (А=0) и регулятор с интегрирующим звеном.

При отсутствии в законе регулирования интегральной составляющей

передаточные функции по задающему и возмущающему воздействию

имеют вид

δx

(p) =

)()1)(1)((

)1)(1) ((

1021

TpkekpTpTpBA

pTpTpBA









(2.5)

δf

(p) =

)()1)(1)((

1021

TpkekpTpTpBA







(2.6)

В этом случае для объекта с самовыравниванием:

ст x

= 1/(1+k

/A), Δ

ст f

= (k

/A)/(1+k

k1/A),

для объекта без самовыравнивания:

ст x

= 0, Δ

ст f

= 1/k

Точность САР в установившемся режиме при отработке сигнала

постоянной скорости (x(t)=X

(t), f(t)=F

(t)) определяется

кинетической ошибкой

кинX

lim

0p

δx

(p)/p] (2.7)

кинF

lim

0p

δf

(p)/p] (2.8)

Как и при анализе статической ошибки САР на основе определений

(2.7) и (2.8) и, принимая во внимание вид передаточных функций

по каждому из входов САР (формулы (2.3)-(2.6)), нетрудно по-

лучить выражения для расчета кинетической ошибки системы, что

предлагается в качестве вопроса для самостоятельной проработки

при подготовке к занятию.

Полученные выражения для ошибок САР используются в процессе

исследований для оценки ограничений на диапазон изменения

коэффициентов k

и k

при настройке регулятора.

В переходном режиме основными критериями для определения

настроек регулятора являются величина перерегулирования переход-

ной характеристики σ и время регулирования t

. Выбор

коэффициентов настройки регулятора для типовых законов

регулирования рекомендуется проводить на основании построения

номограмм, характеризующих зависимости показателей качества при

варьировании одного из коэффициентов настройки и фиксированных

значениях других коэффициентов. Для исходной постановки задачи,

когда требуется обеспечить заданные ограничения на величину

перерегулирования и, одновременно, минимизировать длительность

переходного процесса, номограммы зависимости σ(k

) позволяют

оценить допустимый интервал изменения варьируемого параметра, на

котором затем определяется точка, обеспечивающая минимальное

значение параметра t

Исходные данные для выполнения задания

Вид передаточной функции объекта регулирования

(p) =

)1)(1(

pTpTp







Таблица 2.1

Параметры передаточной функции

номер

варианта

[1/с]

[1/c]

1 5 0.1 0.05

2 5.5 0.2 0.12

3 6 0.1 0.18

4 6.5 0.25 0.15

5 7 0.12 0.07

6 7.5 0.18 0.12

7 8 0.22 0.15

8 8.5 0.07 0.11

9 4 0.3 0.18

10 4.5 0.25 0.17

Значение параметра τ

при выполнении п.1.5 задания следует

принять τ

0 =

0.5T

min

, где T

min

- наименьшее из T

и T

значение

постоянной времени.

Требования к показателям качества САР:

- кинетическая ошибка по задающему воздействие Δ

кинX

< 10%;

- величина перерегулирования б < 15Х;

- время регулирования - минимальное.

Вопросы для подготовки работы к защите.

1. Объяснить форму графиков, отражающих зависимость

показателей качества процесса регулирования от параметров

настройки типовых законов регулирования и параметров

трехпозиционного регулятора.

2. Для типовых законов регулирования написать

передаточные функции регулятора и построить амплитудно-фазовые

характеристики.

3. Каким образом изменяется форма годографа АФХ

исходной разомкнутой системы при введении в САУ типовых

законов регулирования?

ЗАНЯТИЕ 3

Синтез линейной системы автоматического регулирования

методом ЛАЧХ.

Цель работы - практическое освоение методики синтеза линейных

систем регулирования, удовлетворяющих требуемым показателям ка-

чества, путем включения корректирующего звена в контур регули-

рования последовательно или по схеме стабилизирующей отрицатель-

ной обратной связи.

Программа исследований

Часть 1. Синтез последовательного корректирующего устройства.

1.1. Путем ввода в ПК заданных вариантом коэффициентов

установите структуру и значения параметров звеньев

исследуемой САР (табл. 3.1).

1.2. Наблюдайте и проанализируйте с позиции оценки

устойчивости и качества системы вид переходного процесса в

замкнутой САР, а также ЛАЧХ и фазочастотную характеристику

разомкнутой системы.

1.3. Проведите построение желаемой ЛАЧХ скорректированной

системы при условии, что коррекция осуществляется

последовательным включением в контур регулирования одного

упругого звена. Коррекция САР должна обеспечить требуемые

значения показателей качества системы в пределах:

- величина ошибки в установившемся режиме (статической

или кинетической в зависимости от наличия интегрирующего

звена в контуре регулирования ) – Δ

уст

≤ 5.0%;

- величина перерегулирования переходной характеристики

б ≤ 10.0 % ;

- время регулирования - минимальное для выбранного

варианта коррекции (типа корректирующего звена).

1.4. Постройте ЛАЧХ последовательного корректирующего

устройства, определите и введите в ПК соответствующие

параметры звена коррекции.

1.5. Проанализируйте переходный процесс в замкнутой

скорректированной системе и, в случае не выполнения

заданных требований к качеству САР по точности и величине

перерегулирования, повторите процедуру синтеза корректирующего

звена, начиная с процедуры построения желаемой ЛАЧХ

разомкнутой системы (п. 1.3).

1.6. При достижении заданных в количественной форме

требований к качеству САР проанализируйте вид фазочастотной

характеристики разомкнутой скорректированной системы.

Изменяя величину коэффициента усиления звена коррекции,

исследуйте и постройте зависимости времени регулирования,

величины перерегулирования и ошибки от коэффициента усиления

(или добротности) разомкнутой системы. На основании

проведенных исследований определите параметры

корректирующего устройства, обеспечивающие минимальное время

регулирования в системе при выполнении ранее установленных

ограничений (п. 1.3) на показатели качества.

1.7. Повторите процедуру синтеза корректирующего

устройства (п.п. 1.3+1.5) для случая коррекции САР

последовательным включением в контур регулирования двух упругих

звеньев при условии, что показатели качества САР должны

быть обеспечены в пределах: Δ

уст

≤ 1.0%, б ≤ 10.0 %.

Минимизация времени регулирования в скорректированной САР при

этом исследуется, как и в п. 1.6 только за счет изменения

коэффициента усиления корректирующего звена.

Часть 2. Синтез корректирующего устройства в форме

стабилизирующей отрицательной обратной связи.

2.1. Путем ввода в ПК заданных вариантом

коэффициентов установите структуру и значения параметров

звеньев исследуемой САР (табл. 3.1).

2.2. Проанализируйте с позиции оценки устойчивости и

качества переходный процесс в замкнутой системе, а также

ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой системы.

2.3. Постройте желаемую ЛАЧХ системы из условия, что

одно из звеньев САР (в зависимости от варианта задания )

охватывается жесткой обратной связью. Требования к показателям

качества системы указаны в п. 1.3.

2.4. Определите по отображаемой ЛАЧХ корректирующего

звена значения параметров звена жесткой обратной связи и

введите их в ПК.

2.5. Проанализируйте характер переходного процесса, а

также фазочастотную характеристику скорректированной системы.

2.6. Изменяя значение коэффициента передачи

корректирующего звена, зафиксируйте изменение параметров

качества САР в форме графиков зависимостей ошибки,

величины перерегулирования и времени регулирования от

коэффициента усиления или добротности системы. Определите по

найденным зависимостям значение коэффициента передачи,

обеспечивающее минимальное время регулирования при заданных

ограничениях на величину ошибки и перерегулирования.

2.7. Повторите процедуру синтеза корректирующего эвена и

исследование системы (п.п.2.3 + 2.6) в случае, когда

коррекция осуществляется путем введения звена гибкой обратной

связи с передаточной функцией, соответствующей реальному

дифференцирующему звену. Величину ошибки на выходе

системы следует принять в пределах Δ

уст

≤ 1.0%.

Задание на подготовку к работе.

1. Повторите раздел курса ТАУ "Синтез линейных САР", обратив

особое внимание на уяснение следующих вопросов: понятие качества

САР, показатели качества системы, коррекция САР путем введения

корректирующих обратных связей (жесткой или гибкой), синтез па-

раллельного и последовательного корректирующих устройств методом

построения желаемой ЛАЧХ разомкнутой системы.

2. Для системы заданной структуры (по вариантам) постройте

следующие характеристики:

- ЛАЧХ исходной разомкнутой системы,

- вид желаемой ЛАЧХ системы, скорректированной последо-

вательным включением в контур регулирования одного и двух

упругих звеньев,

НС

(p)

НС

(p)

НС

(p)

- вид желаемой ЛАЧХ для случая коррекции введением же-

сткой и гибкой обратных связей, как это указано в варианте

задания.

Методические указания по выполнению работы.

Исследуемая система регулирования содержит три динамических

звена первого порядка. В зависимости от варианта задания (табл.

3.1) система является либо статической (три инерционных звена),

либо астатической (интегрирующее и два инерционных звена).

Структура системы и значения параметров динамических звеньев

вводятся на первом этапе исследования в соответствии с

вариантом. Исходная система является неустойчивой, в чем следует

убедиться, наблюдая переходный процесс на выходе замкнутой САР.

Характерной особенностью неустойчивой системы является

отрицательный запас по фазе ( значение фазового угла

комплексного коэффициента передачи на частоте среза φ(ω

ср

) ≤ π).

ФЧХ системы можно проанализировать в процессе исследования.

В соответствии с заданием требуется исследовать различные ва-

рианты коррекции исходной САР. При этом ставится задача достиже-

ния устойчивости системы и обеспечение заданного качества САР по

основным показателям: ошибка системы в установившемся режиме

(статическая или кинетическая), величина перерегулирования и

время достижения установившегося состояния.

В первой части работы (п.п. 1.1+1.7) проводится коррекция ис-

ходной САР способом последовательного включения в контур регули-

рования одного или двух упругих звеньев. В конечном итоге задача

состоит в выборе параметров соответствующих корректирующих зве-

ньев, обеспечивающих достижение заданного качества переходного

процесса в замкнутой системе. Для решения задачи синтеза коррек-

тирующего звена в работе используется графоаналитический метод,

основанный на построении логарифмических частотных

характеристик.

Для случая последовательной коррекции, исследуемой в первой

части работы, соотношения для логарифмических частотных харак-

теристик (L

СК

(ω) И φ

ск

(ω)) скорректированной системы ( рис.3.1)

имеют вид:

ск

(ω) = L

нс

(ω) + L

(ω)

ск

(ω) = φ

нс

(ω) + φ

(ω) (3.1)

где L

(ω), φ

нс

(ω) - ЛАЧХ и ФЧХ исходной системы,

(ω), φ

(ω) - ЛАЧХ и ФЧХ звена коррекции.

Рис. 3.1.

Из (3.1) следует основное соотношение для нахождения

НС

(p) W

(p)

(ω) = L

СК

(ω) + L

НС

(ω) (3.2)

Важным этапом синтеза корректирующего звена является выбор вида

и построение желаемой ЛАХЧ скорректированной системы. Построение

CК

(ω)осуществляется с учетом следующих рекомендаций:

- наклоны участков ЛАЧХ в области низких и высоких частот

для скорректированной системы следует задавать равными

наклону соответствующих участков ЛАЧХ исходной системы

(исключением является случай, когда корректирующей жесткой

обратной связью охватывается интегрирующее звено и система

становится статической);

- для построения низкочастотного участка желаемой ЛАЧХ

следует принимать во внимание соотношения, связывающие

заданную величину ошибки на выходе системы в установившемся

режиме с коэффициентом усиления (k

) или добротностью

(D) разомкнутой САР ( Δ

ст

= 1/(1+k

)или Δ

кин

= 1/D);

- на частоте среза ω = ω

ср

(ω

ср

)=O) наклон желаемой

характеристики рекомендуется задавать равным -20 дВ/дек;

- величина частоты среза выбирается с учетом соотно-

шения t

< 4π/ ω

ср

- сопрягающие частоты ω

и ω

, лежащие ниже н выше частоты

среза, должны отстоять от ω

ср

на 0.1+0.9 декады, что

позволит обеспечить достаточный запас по фазе и

требуемое качество переходного процесса.

Исходя из перечисленных рекомендаций производится построение

желаемой ЛАЧХ скорректированной системы. Применяемые для постро-

ения ЛАЧХ инструментальные средства позволяют путем последовате-

льного задания точек перегиба характеристики формировать на эк-

ране дисплея кусочно-линейную ЛАЧХ и при необходимости редакти-

ровать форму ломаной.

По завершению ввода ЛАЧХ скорректированной системы путем выбора

соответствующего пункта меню производится вычисление и ото-

бражение на дисплее ЛАЧХ звена коррекции. Если полученная харак-

теристика L

(ω) не соответствует типу корректирующего звена, ис-

следуемому на данном этапе работы, то следует вернуться к пост-

роению желаемой ЛАЧХ и провести необходимую коррекцию L

CК

(ω)

Далее по виду L

(ω) могут быть определены параметры звена: для

одного упругого звена - коэффициент усиления и две постоянных

времени, а в случае использования для коррекции двух упругих

звеньев - коэффициент усиления и четыре постоянных времени.

Контроль за правильностью ввода параметров звена коррекции

осуществляется путем отображения характеристики, соответствующей

введенным значениям и сравнения ее с L

(ω), полученной на основе

построений желаемой ЛАЧХ.

Одновременно с отображением кривой переходного процесса на вы-

ходе скорректированной системы выводятся значения показателей

качества САР. Очевидно, что существует бесконечное число

вариантов коррекции исходной системы при заданном типе

корректирующего звена, отличающиеся лишь конкретными значениями

параметров и обеспечивающие достижение точности и

перерегулирования в системе в пределах установленных в задании

ограничений. С целью выбора окончательного варианта коррекции

(см. п.1.6 программы исследований) предлагается исследовать

влияние коэффициента усиления (добротности) разомкнутой системы

на длительность переходного процесса.

В процессе работы для нескольких значений K

или D определяются

показатели качества и полученные данные используются для

построения зависимостей Δ(k

), σ(k

) и t

). Полученные

зависимости позволяют определить вариант коррекции, обеспечива-

ющий минимальное время регулирования в системе при одновременном

выполнении ограничений по другим показателям.

Следует обратить внимание на то, что повышение требований к

точности корректируемой САР несколько усложняет корректирующее

устройство. По этой причине в п. 1.7 задания требуется

синтезировать корректирующее устройство, состоящее из двух

последовательно включенных упругих звеньев и обеспечивающее

величину ошибки не более 1%.

Во второй части работы исследуется параллельная коррекция САР,

когда одно из звеньев системы охватывается жесткой или гибкой

отрицательной обратной связью. В этом случае также используется

метод построения ЛАЧХ, хотя задача синтеза звена стабилизирующей

отрицательной обратной связи методом коррекции ЛАЧХ решается

несколько сложнее, чем в случае синтеза последовательного корре-

ктирующего устройства.

В качестве исходного выражения для определения ЛАЧХ звена ко-

ррекции используется передаточная функция разомкнутой скорректи-

рованной системы (рис.3.2):

СК

(p) =

)()(1

)()(

pWpW



где W

(p), W

(p) - передаточные функции звена, охватываемого

обратной связью и звена коррекции,

(p) - передаточная функция частя САР, не охваченной

корректирующей связью.

Рис.3.2

Рассматриваются две области частот, соответствующие условиям |

Wo(jw) W

(jw)| ≤ 1 и |W

(jw) W

(jw)| ≥ 1. В первом случае звено

коррекции не оказывает существенного влияния на характеристики

исходной системы и можно приближенно считать, что L

(W)≈ L

(W) и

ск

(ω) ≈ φ

нс

(ω). Во второй частотной области справедливы следующие

приближенные выражения:

ск

(ω) ≈ L

нс

(ω) - L

(ω) – L

(ω)

ск

(ω) ≈ φ

нс

(ω) + φ

(ω) – φ

(ω) (3.4)

(p) W

(p)

Из (3.4) может быть получено выражение для нахождения L

(ω):

(ω) ≈ L

НС

(ω) - L

СК

(ω) – L

(ω) (3.5)

При этом диапазон частот, в пределах которого в соответстии с

(3.5) определяется L

(ω), ограничен условием |W

(jw)W

(jw)| >1,

или (L

(ω) + L

(ω)) > 0.

На начальных этапах синтеза корректирующего устройства про-

изводится построение ЛАЧХ исходной системы и желаемой характери-

стики скорректированной САР. При этом можно руководствоваться

приведенными выше рекомендациями. Далее на основе отображаемой

(ω) и с учетом ограничения на частотную область вводятся па-

раметры звена коррекции (коэффициент жесткой обратной связи в

одном варианте коррекции или коэффициент и постоянная времени

реального дифференцирующего звена в случае коррекции гибкой

обратной связью). Результат коррекции отображается в виде графи-

ка переходного процесса на выходе скорректированной САР с выво-

дом соответствующих значений показателей качества системы.

Исходные данные для проведения исследований.

Структурная схема САР.

Рис. 3.3

Значения параметров звеньев САР

Таблица 3.1

N вар. W

(p) W

(P) W

(P) Звено,

охватываемое

ЖОС

Звено, ох-

ватываемое

ГОС

0.8

p02.01

5.2



p1.01

0.4



W3(p) W1(p)

p02.01

0.12



p2.01

0.7



p5.21

0.2



W2(p) W3(p)

0.1

p03.01

0.40



p15.01

5.1



W3(p) W1(p)

p02.01

0.1



p25.01

0.15



p5.21

0.10



W2(p) W3(p)

0.2

p02.01

0.20



p2.11

5.2



W3(p) W1(p)

p01.01

0.10



p15.01

0.2



p2.11

0.9



W2(p) W3(p)

Контрольные вопросы для подготовки работы к защите.

1. Перечислите основные показатели качества САР. Каким образом

они определяются?

(p) W

(p)W

(p)

2. Запишите выражения для определения ЛАЧХ корректирующего

звена для случаев коррекции последовательного вида и коррекции

с помощью стабилизирующей отрицательной обратной связи.

3. Сформулируйте основные правила, используемые при построении

ЛАЧХ скорректированной системы.

4. Дайте объяснение зависимости показателей качества САР от

коэффициента усиления (добротности) системы. Подтвердите выводы

полученными в работе результатами.

5. Поясните характер влияния величины сопрягающих частот ω

на величину запаса по фазе и время регулирования в САР.

6. Проанализируйте и объясните влияние жесткой и гибкой обра-

тных связей на параметры звена, охватываемого стабилизирующей

обратной связью, и на параметры САР.

ЗАНЯТИЕ 4.

Исследование нелинейных систем методом фазовой плоскости

Цель работы - закрепление теоретического материала по

исследоваванию динамических систем второго порядка методом

фазовой плоскости.

Программа исследований.

1. Исследование динамики линейных САУ методом фазовой

плоскости.

1.1. Задайте уравнения движения линейной САУ второго

порядка в переменных состояния, соответствующие указанному в

варианте задания виду фазовых траекторий (табл.4.2).

1.2. Путем задания различных начальных условий

постройте фазовый портрет, отображающий динамику системы.

Зафиксируйте вид фазового портрета в протокол.

1.3. Проанализируйте и запишите в протокол вид

переходных процессов в системе.

2. Исследование динамики нелинейных САУ.

2.1. Для заданного варианта структурной схемы НСАУ и

характеристики нелинейного звена введите следующие

исходные данные: параметры линий переключения, разделяющие

фазовую плоскость на области, соответствующие переходу

с одного линейного отрезка характеристики нелинейного звена

на другой; уравнения движения НСАУ в форме переменных состояния

для каждой из областей.

2.2. Проведите анализ динамических свойств каждого из

линейных описаний НСАУ, соответствующих выделенным в плоскости

областям. При выполнении этого пункта задания каждое

линейное описание раздельно анализируется в пределах всей

фазовой плоскости. При этом исследование проводится в

следующей последовательности:

- построение семейства фазовых траекторий в пределах

выбранного окна на фазовой плоскости путем задания

различных начальных точек (при выборе начальных

условий стремитесь, чтобы полученный фазовый портрет

достаточно полно отражал динамику движения системы);

- анализ вида переходных процессов Y

(t), Y

(t) для разных

значений начальных условий;

- запись в протокол вида фазовых портретов,

соответствующих каждому из линейных описаний, а также

вида переходных процессов в системе для произвольно

заданных начальных условий.

2.4. Исследуйте методом фазовой плоскости

динамические свойства заданной в варианте НСАУ.

Последовательность выполнения этого раздела задания такая

же, как в предыдущем пункте: построение и анализ фазового

портрета НСАУ, исследование переходных режимов и вывод

графической информации в протокол.

2.5. Исследуйте условия возникновения в системе особых

динамических режимов (устойчивого предельного цикла или

скользящих траекторий) при изменении структуры системы,

параметров или вида характеристики нелинейного звена, либо

параметров линейных звеньев САР. Для этого в соответствии с

предложенными в каждом варианте (табл. 4.3) изменениями

структуры и параметров НСАУ введите уравнения движения и

линии переключения на плоскости, постройте фазовый портрет

и проанализируйте переходные режимы. Результаты исследований

зафиксируйте в протокол.

Задание на подготовку к работе

1. Повторите основные положения раздела ТАУ "Метод

фазовой плоскости".

2. Запишите в форме переменных состояния уравнения движения

линейной системы второго порядка. Коэффициенты уравнений

выберите таким образом, чтобы фазовые траектории системы

соответствовали виду, указанному в варианте задания (табл.4.2).

3. Запишите в форме переменных состояния уравнения движения

исследуемой НСАУ. Для каждого варианта задания структурная схема

НСАУ и параметры звеньев приведены в табл.4.2.

4. Проведите качественный анализ вида фазовых траекторий,

соответствующих описанию системы, полученному либо для каждого

из линейных участков на характеристике нелинейного звена,

либо для всех значений переключающей функции.

5. Получите уравнения линий переключения на фазовой плоскости

в соответствии с характеристикой нелинейного эвена.

6. Качественно постройте и проанализируйте фазовый портрет

НСАУ, заданной номером варианта.

7. Проанализируйте, каким образом заданные в варианте

изменения структуры и параметров системы повлияют на вид

уравнений движения, положение линий переключения и характер

фазовых траекторий.

Методические указания по выполнению работы

В первой части работы исследуется динамика невозмущенного

движения линейных САУ второго порядка (ненулевые начальные ус-

ловия при отсутствии задающего воздействия). Уравнение системы

имеет вид:

Y” + a

Y’ + a

Y = 0,

или в форме переменных состояния: