Чичкарёв Е.А. Компьютерная математика с Maxima

Подождите немного. Документ загружается.

3.7. Типы данных, переменные и функции 31

(%i9) x^3;

(%o9)





4913 27

−512 1331





(%i10) 3^x;

(%o10)





129140163 27

6561

177147





Умножение матрицы на матрицу:

(%i11) x.y;

(%o11)





3 a + 17 π 3 b + 17 e

11 a −8 π 11 b − 8 e





(%i12) y.x;

(%o12)





17 π −8 e 3 π + 11 e

17 a −8 b 11 b + 3 a





Очевидно, что для успешного перемножения матрицы должны быть согласованы по размерам.

Возведение в степень −1 даёт обратную матрицу:

(%i13) x^^-1;

(%o13)





211

−

211





(%i14) x.(x^^-1);

(%o14)





1 0

0 1





Стоит обратить внимание, что операции

x^^-1

дают разный результат! Пример:

(%i2) x^-1;

32 Глава 3. Основы Maxima

(%o2)





−





(%i3) x^^-1;

(%o3)





211

−

211





Функция genmatrix возвращает матрицу заданной размерности, составленную из элементов

двухиндексного массива. Синтаксис вызова:

genmatrix (a, i_2, j_2, i_1, j_1)

genmatrix (a, i_2, j_2, i_1)

genmatrix (a, i_2, j_2)

Индексы i

, j

и i

, j

указывают левый и правый нижний элемиенты матрицы в исходном мас-

сиве. Пример:

(%i1) h [i, j] := 1 / (i + j - 1);

(%o1) h

i,j

i + j − 1

(%i2) genmatrix(h,3,3);

(%o2)













(%i3) array (a, fixnum, 2, 2);

(%o3) a

(%i4) a [1, 1] : %e;

(%o4) e

(%i5) a [2, 2] : %pi;

(%o5) π

(%i6) genmatrix (a, 2, 2);

3.7. Типы данных, переменные и функции 33

(%o6)





e 0

0 π





Функция zeromatrix возвращает матрицу заданной размерности, составленную из нулей (син-

таксис вызова zeromatrix (m, n)).

(%i7) zeromatrix(2,2);

(%o7)





0 0





Функция ident возвращает единичную матрицу заданной размерности (синтаксис ident(n))

(%i9) ident(2);

(%o9)





1 0

0 1





Функция copymatrix (M) создаёт копию матрицы M. Обратите внимание, что присваивание не

создаёт копии матрицы (как и присваивание не создаёт копии списка). Пр имер:

(%i1) a:matrix([1,2],[3,4]);

(%o1)





1 2

3 4





(%i2) b:a;

(%o2)





1 2

3 4





(%i3) b[2,2]:10;

(%o3) 10

(%i4) a;

(%o4)





1 2

3 10





присваивание нового значения элементу матрицы b изменяет и значение соответствующего эле-

мента матрицы a. Использование copymatrix позволяет избежать этого эффекта.

34 Глава 3. Основы Maxima

Функции row и col позволят извлечь соответственно сироку и столбец заданной матрицы, полу-

чая список. Синтаксис вызова:

row (M, i) - возвращает i-ю строку;

col (M, i) - возвращает i-й столбец.

Функции addrow и addcol добавляют к матрице строку или столбец соответственно. Синтаксис

вызова:

addcol (M, list_1, ..., list_n)

addrow (M, list_1, ..., list_n)

Здесь list

, . . . , list

- добавляемые строки или столбцы. Пример:

(%i1) a:matrix([1,2],[3,4]);

(%o1)





1 2

3 4





(%i2) b:addrow(a,[10,20]);

(%o2)







1 2

3 4

10 20







(%i3) addcol(b,[x,y,z]);

(%o3)







1 2 x

3 4 y

10 20 z







Функция submatrix возвращает новую матрицу, состоящую из подматрицы заданной. Синтаксис

вызова:

submatrix (i_1, ..., i_m, M, j_1, ..., j_n)

submatrix (i_1, ..., i_m, M)

submatrix (M, j_1, ..., j_n)

Подматрица строится следующим образом: из матрицы M удаляются строки i

, ..., i

и j

, ..., j

Пример (используем последний результат из предыдущего примера, удаляем третью строку и тре-

тий столбец):

(%i6) submatrix(3,%,3);

(%o6)





1 2

3 4





Для заполнения матрицы значениями некоторой функции используется функция matrixmap

(аналог map, apply, fullmap). Синтаксис вызова: matrixmap (f, M). Функция matrixmap возвращает

матрицу с элементами i,j , равными f(M[i,j]).

Пример:

3.7. Типы данных, переменные и функции 35

(%i1) a:matrix([1,2],[3,4]);

(%o1)





1 2

3 4





(%i2) f(x):=x^2;

(%o2) f (x) := x

(%i3) matrixmap(f,a);

(%o3)





1 4

9 16





Для работы с матрицами существует ещё много функций, но они относятся к решению р азлич-

ных задач линейной алгебры, поэтому обсуждаются ниже, в главе 4.

3.7.4 Математические функции

В Maxima имеется достаточно большой набор встроенных математических функций. Перечень

основных классов встроенных функций приведен ниже:

• тригонометрические функции: sin (синус), cos (косинус), tan (тангенс), cot (котангенс);

• обратные тригонометрические функции: asin (арксинус), acos (арккосинус), atan (арктангенс),

acot (арккотангенс);

• sec (секанс, s ec x = 1/cos x), csc (косеканс, csc x = 1/sin x);

• sinh (гиперболический син ус), cosh (гиперболический косинус), tanh (гиперболический тан-

генс), coth (гиперболический котангенс), sech (гиперболический секанс), cosh (гиперболиче-

ский косеканс);

• log (натуральный логарифм);

• sqrt (квадратный корень);

• mod (остаток от деления);

• abs (модуль);

• min(x1,...,xn) и max(x1,...,xn) - нахождение минимального и максимального значения в списке

аргументов;

• sign (определяет знак аргумента: pos - положительный, neg -отрицательный, pnz - не опреде-

лен, zero - значение равно нулю);

• Специальные функции - функции Бесселя, гамма-функция, гипергеометрическая функция и

др.;

• Эллиптические функции различных типов.

36 Глава 3. Основы Maxima

3.7.5 Вычисление и преобразование аналитических выражений

Функция ev является основной функцией, обрабатывающей выражения. Синтаксис вызова:

ev(expr, arg

, ..., arg

) Функция ev вычисляет выражение expr в окружении, определяемом ар-

гументами arg

, ..., arg

. Аргументы могут быть ключами (булевскими флагами, присваиваниями,

уравнениями и функциями. Функция ev возвращает результат (другое выражение).

Во многих случаях можно опускать имя функции ev (т.е. применять значения переменных к

некоторому выражению) expr, flag1, flag2, ... expr, x = val1, y = val2, ... expr, flag1, x = val1, y =

val2, flag2, ...

На выражение expr по умолчанию действует функция упрощения. Необходимость выполнения

упрощения регулируется флагом simp (если установить simp = false, упрощение будет отключено.

Кроме того, используют флаги float и numer, определяющие формат представления рациональных

чисел (в виде дробей или с плавающей точкой) и результатов вычисления математических функ-

ций. Флаг pred опрежеляет необходимость вычисления приментельно к логич еским выражениям.

Аргументами ev могут быть и встроенные функции, выполняющие упрощение или преобразование

выражений (expand, factor, trigexpand, trigreduce) или функция diff.

Если указаны подстановки (в виде x=val1 или x:val2), то они выполняются.

При этом повторный вызов функции ev вполне способен еще раз изменить выражение, т.е.

обработка выражения не идет до конца при однократном вы- зове функции ev. Пример:

(%i1) ev((a+b)^2,expand);

(%o1) b

+ 2 a b + a

(%i2) ev((a+b)^2,a=x);

(%o2) (x + b)

(%i3) ev((a+b)^2,a=x,expand,b=7);

(%o3) x

+ 14 x + 49

Другой пример показывает применение diff к отложенному вычислению производной:

(%i1) sin(x) + cos(y) + (w+1)^2 + ’diff (sin(w), w);

(%o1) cos (y) + sin (x) +

d w

sin (w) + (w + 1)

(%i2) ev (%, sin, expand, diff, x=2, y=1);

(%o2) cos (w) + w

+ 2 w + cos (1) + 1.909297426825682

Флаг simp разрешает либо запрещает упрощение выражений. Изначально она равна true, если

установить ее равной false, то упрощения производиться не будут:

(%i1) f:a+2*a+3*a+4*a;

(%o1) 10 a

3.7. Типы данных, переменные и функции 37

(%i2) simp:false;

(%o2) false

(%i3) f:a+2*a+3*a+4*a;

(%o3) a + 2 a + 3 a + 4 a

Функцию ev не обязательно указывать явно, например:

(%i3) x+y, x: a+y, y: 2;

(%o3) y + a + 2

Оператор, принудительного вычисления, обозначенный двумя апострофами, является син они-

мом к функции ev(выражение). Сама функция ev предоставляет гораздо более широкие возмож-

ности, нежели простое принудительное вычисление заданного выражения: она может принимать

произвольное число аргументов, первый из которых — вычисляемое выражение, а остальные —

специальные опции, которые как раз и влияют на то, как именно будет производиться вычисление.

В терминологии Maxima невычисленная форма выражения называется «noun form», вычислен-

ная — «verb form». Сохраняя лингвистические параллели, на русский это можно перевести как

«несовершенная форма» и «совершённая форма». Значение вводимого выражения в Maxima за-

кономерно сохраняется до его вычисления (т. е. в несовершенной форме), а значение выводимого

выражения — после (т. е. в совершённой); другими с ловами, тут имеется естественный порядок

«ввод — вычисление — вывод».

Функция factor факторизует (т.е. представляет в виде произведения некоторых сомножителей)

заданное выражение (функция gfactor - аналогично, но на множестве компле ксных чисел и выра-

жений). Пример:

(%i1) x^3-1,factor;

(%o1) (x −1)

+ x + 1

(%i2) factor(x^3-1);

(%o2) (x −1)

+ x + 1

Ещё примеры факторизации различных выражений:

(%i3) factor (-8*y - 4*x + z^2*(2*y + x));

(%o3) (2 y + x) (z − 2) (z + 2)

(%i4) factor (2^63 - 1);

(%o4) 7

73 127 337 92737 649657

38 Глава 3. Основы Maxima

(%i5) factor (1 + %e^(3*x));

(%o5) (e

+ 1)

2 x

− e

+ 1

Пример использования функции gfactor:

(%i6) gfactor(x^2+a^2);

(%o6) (x −i a) (x + i a)

(%i7) gfactor(x^2+2*%i*x*a-a^2);

(%o7) (x + i a)

Функция factorsum факторизует отдельные слагаемые в выражении.

expand ((x + 1)*((u + v)^2 + a*(w + z)^2));

(%o8) a x z

+ a z

+ 2 a w x z + 2 a w z + a w

x + v

x + 2 u v x + u

x + a w

+ v

+ 2 u v + u

(%i9) factorsum(%);

(%o9) (x + 1)

a (z + w)

+ (v + u)

Функция gfactorsum отличается от "factorsum"тем же, чем "gfactor"отличается от "factor":

(%i10) gfactorsum( a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3+x^2+2*%i*x*y-y^2 );

(%o10) (b + a)

− (y − i x)

Функция expand раскрывает скобки, выполняет умножение, возведение в степень, например:

(%i1) expand((x-a)^3);

(%o1) x

− 3 a x

+ 3 a

x −a

(%i2) expand((x-a)*(y-b)*(z-c));

(%o2) x y z − a y z − b x z + a b z − c x y + a c y + b c x − a b c

(%i3) expand((x-a)*(y-b)^2);

(%o3) x y

− a y

− 2 b x y + 2 a b y + b

x −a b

Функция combine объединяет слагаемые с идентичным знаменателем

3.7. Типы данных, переменные и функции 39

(%i5) combine(x/(1+x^2)+y/(1+x^2));

(%o5)

y + x

+ 1

Функция xthru приводит выражение к общему знаменателю, не раскрывая скобок и не пытаясь

факторизовать слагаемые

(%i6) xthru( 1/(x+y)^10+1/(x+y)^12 );

(%o6)

(y + x)

+ 1

(y + x)

(%i1) ((x+2)^20 - 2*y)/(x+y)^20 + (x+y)^(-19) - x/(x+y)^20;

(%o1)

(y + x)

(x + 2)

− 2 y

(y + x)

−

(y + x)

(%i2) xthru (%);

(%o2)

(x + 2)

− y

(y + x)

Функция multthru умножает каждое слагаемое в сумме на множитель, причем при умножении

скобки в выражении не раскрываются. Она допускает два варианта синтаксиса multthru(mult,sum);

multthru(expr); В последнем случае выражение expr включает и множитель, и сумму (см. второй

пример).

(%i1) x/(x-y)^2 - 1/(x-y) - f(x)/(x-y)^3;

(%o1) −

x −y

(x −y)

−

f (x)

(x −y)

(%i2) multthru ((x-y)^3, %);

(%o2) −(x −y)

+ x (x − y) − f (x)

(%i3) ((a+b)^10*s^2 + 2*a*b*s + (a*b)^2)/(a*b*s^2);

(%o3)

(b + a)

+ 2 a b s + a

a b s

(%i4) multthru (%);

(%o4)

a b

(b + a)

a b

Функции assume (ввод огранич ений) и forget (снятие ограничений) позволяют управлять усло-

виями выполнения (контекстом) прочих функций и операторов. Пример:

40 Глава 3. Основы Maxima

(%i20)␣sqrt(х^2)␣;

(%o20)␣|x|

(%i21)␣assume␣(к<0)␣;

(%o21)␣[␣x<␣0␣J

(%i22)␣␣␣␣sqrt(х^2)␣;

(%o22)␣␣␣␣-x

(%i23)␣␣␣␣forget(x<0);

(%o23)␣␣␣␣[␣x<␣0␣]

(%i24)␣␣␣␣sqrt␣(х^2)␣;

(%o24)␣␣␣␣|x|

Функция divide позволяет вычислить частное и остаток от деления одного многочлена на другой:

(%i1) divide(x^3-2,x-1);

(%o1) [x

+ x + 1, −1]

Первый элемент полученного списка - частное, второй - остаток от деления.

Функция gcd позволяет найти наибольший общий делитель многочленов

Подстановки осуществляются функцикй subst. вызов этой функции: subst (a, b, c) (подставляем

a вместо b в выражении c). Пример:

(%i1) subst (a, x+y, x + (x+y)^2 + y);

(%o1) y + x + a

3.7.6 Преобразование рациональных выражений

Для выделения числителя и знаменателя дробных выражений используются функции num и

denom:

(%i1) expr:(x^2+1)/(x^3-1);

(%o1)

+ 1

− 1

(%i2) num(expr);

(%o2) x

+ 1

(%i3) denom(expr);

(%o3) x

− 1

Функция rat приводит выражение к каноническому представлению. Она упрощает любое выра-

жение, рассматривая его как дробно- рациональную функцию, т.е. работает с операциями

"+", "-", "*", "/"