Черный А.А. Математическое моделирование
Подождите немного. Документ загружается.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ
АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
_____________________________________________________
ПЕНЗЕНСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
А.А.
ЧЕРНЫЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
П
ЕНЗА 2011
2
УДК 669.621.74
Ч е р н ы й А.А. Математическое моделирование: Учеб. пособие –
Пенза: Пенз.гос.ун-т, 2011. – 256 с.
Изложены основы эффективного математического моделирования .
Приводятся алгоритм математического моделирования при применении
ЭВМ, язык программирования Бейсик, разработки программ на языке
Бейсик и Турбо Паскаль, примеры выявления и анализа математических
моделей
. Даны задания для самостоятельной работы по математическому
моделированию, изложены вопросы для самопроверки, приведены обозна-
чения в компьютерных программах на языке Бейсик.
Учебное пособие подготовлено на кафедре «Сварочное, литейное
производство и материаловедение» Пензенского государственного универ-
ситета. Оно может быть использовано в учебном процессе при подготовке
инженеров по специальности «Машины и технология
литейного производ-
ства», а также аспирантами, инженерно-техническими работниками при
выполнении научно-исследовательских работ.
В пособии использованы оригинальные разработки автора, являю-
щиеся его интеллектуальной собственностью.
Р е ц е н з е н т ы:
Научный совет Пензенского научного центра;
А.С. Белоусов, главный металлург ОАО «Пензадизельмаш».
© А.А. Черный, 2011
3
В В Е Д Е Н И Е
Компьютеризация производства способствует ускорению использо-
вания научных достижений. Во всех отраслях машиностроения и приборо-
строения используются литые заготовки. Литьем получают заготовки
практически любой конфигурации, с минимальными припусками на обра-
ботку, высокими служебными свойствами.
В производстве литых заготовок для деталей машин и приборов
зна-
чительное место занимают специальные способы литья: по выплавляемым
моделям, в керамические формы, в кокиль, под давлением, центробежное
литье, электрошлаковое литье. Специальные виды литья позволяют полу-
чить отливки повышенной точности, с чистой поверхностью, минималь-
ными припусками на обработку.
Прообразом современного процесса литья по выплавляемым моде-
лям является литье по восковым
моделям, известное в глубокой древности.
В эпоху Возрождения великие художники, скульпторы, литейщики ис-
пользовали восковые модели для отливки скульптур и украшений. Эле-
менты восковых моделей применялись древними русскими мастерами при
литье колоколов, пушек, ювелирных изделий. В дальнейшем развитие
процесса изготовления отливок по выплавляемым моделям показало эко-
номическую целесообразность его использования в
машиностроении и
приборостроении. Процесс получения отливок механизирован и автомати-
зирован, созданы автоматизированные литейные цехи по производству
точных отливок.
Однако, несмотря на длительное развитие и совершенствование про-
цессов литья и достигнутые успехи в литейном производстве существуют
проблемы, которые необходимо решать: надо многие процессы оптимизи-
ровать, сделать дешевле, экологически чистыми, безопасными, привлека-
тельными для молодых специалистов, более механизированными и авто-
матизированными. Необходимы в литейном производстве новые усовер-
шенствования и изобретения.
Но процессы литейного производства зачастую сложны, на них
влияет ряд неучтенных факторов. Поэтому для совершенствования литей-
ного производства рационально применять моделирование.
Предлагаются оригинальные разработки математического моделиро-
вания при планировании экспериментов на двух и
более уровнях факторов.
Основы математического моделирования применительно к литейному
производству частично изложены в работах автора [1, 2, 4 – 9] и в даль-
нейшем конкретизируются в новых работах.
В данной работе приводятся усовершенствованные программы ма-
тематического моделирования и расчетов по математическим моделям.
4
Программы проверены при использовании экспериментальных и практи-
ческих данных исследованных процессов литейного производства. Они
носят универсальный характер. Предлагаемые программы можно приме-
нять в различных областях науки и техники.
5
ОСНОВЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ И МАТЕМАТИЧЕ-
СКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ
На основании анализа ортогональных методов планирования экспе-
риментов разработана новая методика математического моделирования
процессов, которая менее трудоемка, чем ранее предложенные, позволяет
проще, при меньшем количестве опытов оптимизировать процессы, выяв-
лять более точные математические модели при планировании эксперимен-
тов на пяти уровнях независимых
переменных (факторов) или, в частных
случаях, на четырех, трех, двух уровнях независимых переменных. Графи-
чески зависимость показателя процесса от одного фактора показана на рис.
1. Построения графика выполнены по пяти точкам (уровней фактора пять).
Рис. 1. Зависимость показателя от m –го фактора
(m – порядковый номер фактора)
В результате предварительного анализа для нелинейного математи-
ческого моделирования процессов при ортогональном планировании од-
нофакторных и многофакторных экспериментов на пяти уровнях незави-
симых переменных предложено универсальное уравнение регрессии, в
общем виде представляющее пятичлен
y = b
′
о
⋅
х
о
+ b
mn
⋅
x
mn
+ b
mr
⋅
x
mr
+ b
ms
⋅
x
ms
+ b
mw
⋅
x
mw
; (1)
в котором y – показатель (параметр) процесса; х
о
= +1;
х
mn
= x
n
m
+ v
m
; x
mr
= x
r
m
+ a
m
x
n
m
+ c
m
;
х
ms
= x
s
m
+ d
m
x
r
m
+ e
m
x
n
m
+ f
m
;
х
mw
= x
w
m
+ q
m
x
s
m
+ h
m
x
r
m
+ к
m
x
n
m
+ l
m
;
6
m – порядковый номер фактора; x
m
-m –й фактор (независимое переменное);
n, r, s, w – изменяемые числа показателей степени факторов; v
m
, a
m
, c
m,
d
m
,
e
m
, f
m
, q
m
, h
m
, к
m
, l
m
– коэффициенты ортогонализации; b
′
o
, b
mn
, b
mr
, b
ms
, b
mw
–
коэффициенты регрессии.
Для каждой величины m –го фактора x
ma
, x
mb
, x
mc
, x
md
, x
me
определя-
ются соответственно параметры y
a
, y
b
, y
c
, y
d
, y
e
.
В табл.1 представлена матрица планирования однофакторных эксперимен-
тов на пяти уровнях независимых переменных.
Таблица 1
Матрица планирования однофакторных экспериментов
на пяти уровнях независимых переменных
В матрице планирования экспериментов (табл.1):
x
mna
= x
n
ma +
v
m
; x
mnb
= x
n
mb
+ v
m
;
x
mnc
= x
n
mc
+ v
m
; x
mnd
= x
n
md
+ v
m
;
x
mne
= x
n
me
+ v
m
; x
mra
= x
r
ma
+ a
m
· x
n
ma
+ c
m
;
x
mrb
= x
r
mb
+ a
m
· x
n
mb
+ c
m
; x
mrc
= x
r
mc
+ a
m
· x
n
mc
+ c
m
;
x
mrd
= x
r
md
+ a
m
· x
n
md
+ c
m
; x
mre
= x
r
me
+ a
m
· x
n
me
+ c
m
;
x
msa
= x
s
ma
+ d
m
· x
r
ma
+ e
m
⋅
x
n
ma
+ f
m ;
x
msb
= x
s
mb
+ d
m
· x
r
mb
+ e
m
⋅
x
n
mb
+ f
m
;
x
msc
= x
s
mc
+ d
m
· x
r
mc
+ e
m
⋅
x
n
mc
+ f
m
;
x
msd
= x
s
md
+ d
m
· x
r
md
+ e
m
⋅
x
n
md
+ f
m
;
x
mse
= x
s
me
+ d
m
· x
r
me
+ e
m
⋅
x
n
me
+ f
m
;
x
mwa
= x
w
ma
+ g
m
· x
s
ma
+ h
m
⋅
x
r
ma
+ k
m
⋅
x
n
ma
+ l
m
;
x
mwb
= x
w
mb
+ g
m
· x
s
mb
+ h
m
⋅
x
r
mb
+ k
m
⋅
x
n
mb
+ l
m
;
x
mwc
= x
w
mc
+ g
m
· x
s
mc
+ h
m
⋅
x
r
mc
+ k
m
⋅
x
n
mc
+ l
m
;
x
mwd
= x
w
md
+ g
m
· x
s
md
+ h
m
⋅
x
r
md
+ k
m
⋅
x
n
md
+ l
m
;
x
mwe
= x
w
me
+ g
m
· x
s
me
+ h
m
⋅
x
r
me
+ k
m
⋅
x
n
me
+ l
m
.
№
Уровни
факторов
х
о
x
mn
x
mr
x
ms
x
mw
у
1
a
+1
x
mn,1
=x
mnа
x
mr,1
=x
mrа
x
ms,1
=x
msа
x
mw,1
=x
mwа
y
1
=y
a
2
b
+1
x
mn,2
=x
mnb
x
mr,2
=x
mrb
x
ms,2
=x
msb
x
mw,2
=x
mwb
y
2
=y
b
3
с
+1
x
mn,3
=x
mnc
x
mr,3
=x
mrc
x
ms,3
=x
msc
x
mw,3
=x
mwc
y
3
=y
c
4
d
+1
x
mn,4
=x
mnd
x
mr,4
=x
mrd
x
ms,4
=x
msd
x
mw,4
=x
mwd
y
4
=y
d
5
e +1 x
mn,5
=x
mne
x
mr,5
=x
mre
x
ms,5
=x
mse
x
mw,5
=x
mwe
y
5
=y
e
7
Для сокращения дальнейших записей введены следующие обозначе-
ния средних арифметических величин:
(
)
n
me
n
md
n
mc
n
mb
n
ma
n
m
xxxxx
N
x ++++=
1
;
(
)
r
me
r
md
r
mc
r
mb
r
ma
r
m
xxxxx
N
x ++++=
1
;
(
)
s
me
s
md
s
mc
s
mb
s
ma
s
m
xxxxx
N
x ++++=
1
;
(
)
w
me
w
md
w
mc
w
mb
w
ma
w
m
xxxxx
N
x ++++=
1
;
(
)
n
me
n
md
n
mc
n
mb
n
ma
n
m
xxxxx
N
x
222222
1
++++=
;
(
)
r
me
r
md
r
mc
r
mb
r
ma
r
m
xxxxx
N
x
222222
1
++++=
;
(
)
s
me
s
md
s
mc
s
mb
s
ma
s
m
xxxxx
N
x
222222
1
++++=
;
(
)
rn
me
rn
md
rn
mc
rn
mb
rn
ma
rn
m
xxxxx
N
x
++++++
++++=
1
;
(
)
sn
me
sn
md
sn
mc
sn
mb
sn
ma
sn
m
xxxxx
N
x
++++++
++++=
1
;
()
wn
me
wn
md
wn
mc
wn
mb
wn
ma
wn
m
xxxxx
N
x
++++++
++++=
1
;
(
)
sr
me
sr
md
sr
mc
sr
mb
sr
ma
sr
m
xxxxx
N
x
++++++
++++=
1
;
()
wr
me
wr
md
wr
mc
wr
mb
wr
ma
wr
m
xxxxx
N
x
++++++
++++=
1
;
()
ws
me
ws
md
ws
mc
ws
mb
ws
ma
ws
m
xxxxx
N
x
++++++
++++=
1
;
(
)
me
md
mc
mb
mam
xxxxx
N
x ++++=
1
;
Ортогональность матрицы планирования (см.табл.1) обеспечивается
в том случае, если
0
=
++++
mncmndmnemnbmna
xxxxx ,
0
=
++++
mrcmrdmremrbmra
xxxxx ,
8
0
=
++++
mscmsdmsemsbmsa
xxxxx ,
0
=
++++
mwcmwdmwemwbmwa
xxxxx ,
0=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+⋅
mremnemrdmndmrcmncmrbmnbmramna
xxxxxxxxxx
.
0=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+⋅
msemnemsdmndmscmncmsbmnbmsamna
xxxxxxxxxx .
0=
⋅
+
⋅
+
⋅
+⋅+⋅
mwemnemwdmndmwcmncmwbmnbmwamna
xxxxxxxxxx .
0
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+⋅
msemremsdmrdmscmrcmsbmrbmsamra
xxxxxxxxxx .
0=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+⋅
mwemremwdmrdmwcmrcmwbmrbmwamra
xxxxxxxxxx .
0=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+⋅
mwemsemwdmsdmwcmscmwbmsbmwamsa
xxxxxxxxxx .
После подстановки в уравнения системы значений слагаемых и со-
множителей, замены получаемых сумм средними арифметическими вели-
чинами и сокращения одинаковых величин получается система из десяти
уравнений, по которой определяются десять коэффициентов ортогонали-
зации.
9
10