Черный А.А. Математическое моделирование

61

Таблица 18

План 2·к + 1 при к = 2

№

х

1

х

2

у

1

А1 = х

1а

х

2е

Y (1) = у

1а

2

В1 = х

1b

х

2е

Y(2) = у

1b

3

х

1е

А1 = х

2а

Y(1) = у

2а

4

х

1е

В1 = х

2b

Y(2) = у

2b

5

х

1е

х

2е

Y(3) = у

е

Таблица 19

План 2·2 + 1 для у = f(х

1

)

№

х

1

х

2

у

1

А1 = х

1а

х

2е

Y(1) = у

1а

2

В1 = х

1b

х

2е

Y(2) = у

1b

3

х

1е

х

2е

Y(3) = у

е

Таблица 20

План 2·2 + 1 для у = f(х

2

)

№

х

1

х

2

у

1

х

1е

А1 = х

2а

Y(1) = у

2а

2

х

1е

В1 = х

2b

Y(2) = у

2b

3

х

1е

х

2е

Y(3) = у

е

62

Рис. 14. Зависимости показателя от трех факторов при планировании

2·3 + 1

Таблица 21

План 2·к + 1 при к = 3

№

х

1

х

2

х

3

у

1

А1 = х

1а

х

2е

х

3е

Y(1) = у

1а

2

В1 = х

1b

х

2е

х

3е

Y(2) = у

1b

3

х

1е

А1 = х

2а

х

3е

Y(1) = у

2а

4

х

1е

В1 = х

2b

х

3е

Y(2) = у

2b

5

х

1е

х

2е

А1 = х

3а

Y(1) = у

3а

6

х

1е

х

2е

В1 = х

3b

Y(2) = у

3b

7

х

1е

х

2е

х

3е

Y(3) = у

е

Таблица 22

План 2·3 + 1 для у = f(х

1

)

№

х

1

х

2

х

3

у

1

А1 = х

1а

х

2е

х

3е

Y(1) = у

1а

2

В1 = х

1b

х

2е

х

3е

Y(2) = у

1b

3

х

1е

х

2е

х

3е

Y(3) = у

е

63

Таблица 23

План 2·3 + 1 для у = f(х

2

)

№

х

1

х

2

х

3

у

1

х

1е

А1 = х

2а

х

3е

Y(1) = у

2а

2

х

1е

В1 = х

2b

х

3е

Y(2) = у

2b

3

х

1е

х

2е

х

3е

Y(3) = у

е

Таблица 24

План 2·3 + 1 для у = f(х

3

)

№

х

1

х

2

х

3

у

1

х

1е

х

2е

А1 = х

3а

Y(1) = у

3а

2

х

1е

х

2е

В1 = х

3b

Y(2) = у

3b

3

х

1е

х

2е

х

3е

Y(3) = у

е

План 2·к + 1 при к = 3 (табл. 20) является выборкой из плана 3

3

, так

как данные строк номер 9, 10, 11, 12, 13, 14, 27 плана 3

3

(табл. 16) соответ-

ствуют данным плана 2·3 + 1 (табл. 20). Отличие только в том, что в строке

27 (точка 27 на рис. 11) при планировании 2·3 + 1

х

1е

= 0,5(х

1а

+ х

1b

), х

2е

=

0,5(х

2а

+ х

2b

), х

3е

= 0,5(х

3а

+ х

3b

).

Рассматривая линии, построенные по точкам9-14, 27 рис. 11, можно

констатировать, что все эти линии пересекаются внутри куба в точке 27, а

точки 9-14 находятся на поверхностях, ограниченных ребрами куба, т.е. на

всех гранях между ребрами куба. Следовательно, при планировании 2·к + 1

можно выявлять не только существенное влияние каждого фактора на по-

казатель процесса, но и

прогнозировать возможность улучшения процесса,

достижения оптимальности.

64

Рис. 15. Схема зависимости показателя от четырех факторов

при планировании 2·4 + 1

Таблица 25

План 2·к + 1 при к = 4

№

х

1

х

2

х

3

х

4

у

1

А1 = х

1а

х

2е

х

3е

х

4е

Y(1) = у

1а

2

В1 = х

1b

х

2е

х

3е

х

4е

Y(2) = у

1b

3

х

1е

А1 = х

2а

х

3е

х

4е

Y(1) = у

2а

4

х

1е

В1 = х

2b

х

3е

х

4е

Y(2) = у

2b

5

х

1е

х

2е

А1 = х

3а

х

4е

Y(1) = у

3а

6

х

1е

х

2е

В1 = х

3b

х

4е

Y(2) = у

3b

7

х

1е

х

2е

х

3е

А1 = х

4а

Y(1) = у

4а

8

х

1е

х

2е

х

3е

В1 = х

4b

Y(2) = у

4b

9

х

1е

х

2е

х

3е

х

4е

Y(3) = у

е

65

Рис. 16. Схема зависимости показателя от пяти факторов

при планировании 2·5 + 1

Таблица 26

План 2·к + 1 при к = 5

№

х

1

х

2

х

3

х

4

х

5

у

1

А1 = х

1а

х

2е

х

3е

х

4е

х

5е

Y(1) = у

1а

2

В1 = х

1b

х

2е

х

3е

х

4е

х

5е

Y(2) = у

1b

3

х

1е

А1 = х

2а

х

3е

х

4е

х

5е

Y(1) = у

2а

4

х

1е

В1 = х

2b

х

3е

х

4е

х

5е

Y(2) = у

2b

5

х

1е

х

2е

А1 = х

3а

х

4е

х

5е

Y(1) = у

3а

6

х

1е

х

2е

В1 = х

3b

х

4е

х

5е

Y(2) = у

3b

7

х

1е

х

2е

х

3е

А1 =

х

4а

х

5е

Y(1) = у

4а

8

х

1е

х

2е

х

3е

В1 =

х

4b

х

5е

Y(2) = у

4b

9

х

1е

х

2е

х

3е

х

4е

А1 = х

5а

Y(1) = у

5а

10

х

1е

х

2е

х

3е

х

4е

В1 = х

5b

Y(2) = у

5b

11

х

1е

х

2е

х

3е

х

4е

х

5е

Y(3) = у

е

66

Рис. 17. Схема зависимости показателя от шести факторов

при планировании 2·6 + 1

Таблица 27

План 2·к + 1 при к = 6

№

х

1

х

2

х

3

х

4

х

5

х

6

у

1

А1 = х

1а

х

2е

х

3е

х

4е

х

5е

х

6е

Y(1) = у

1а

2

В1 = х

1b

х

2е

х

3е

х

4е

х

5е

х

6е

Y(2) = у

1b

3

х

1е

А1 = х

2а

х

3е

х

4е

х

5е

х

6е

Y(1) = у

2а

4

х

1е

В1 = х

2b

х

3е

х

4е

х

5е

х

6е

Y(2) = у

2b

5

х

1е

х

2е

А1 = х

3а

х

4е

х

5е

х

6е

Y(1) = у

3а

6

х

1е

х

2е

В1 = х

3b

х

4е

х

5е

х

6е

Y(2) = у

3b

7

х

1е

х

2е

х

3е

А1 = х

4а

х

5е

х

6е

Y(1) = у

4а

8

х

1е

х

2е

х

3е

В1 = х

4b

х

5е

х

6е

Y(2) = у

4b

9

х

1е

х

2е

х

3е

х

4е

А1 = х

5а

х

6е

Y(1) = у

5а

10

х

1е

х

2е

х

3е

х

4е

В1 = х

5b

х

6е

Y(2) = у

5b

11

х

1е

х

2е

х

3е

х

4е

х

5е

А1 = х

6а

Y(1) = у

6а

12

х

1е

х

2е

х

3е

х

4е

х

5е

В1 = х

6b

Y(2) = у

6b

13

х

1е

х

2е

х

3е

х

4е

х

5е

х

6е

Y(3) = у

е

67

В ряде случаев рационально применять математическое моделиро-

вание на основе планирования экспериментов на четырех уровнях факто-

ров.

При планировании экспериментов на четырех уровнях независимых

переменных предложено универсальное уравнение регрессии, в общем ви-

де представляющее четырехчлен:

y = b

′

о

⋅

х

о

+ b

mn

· x

mn

+ b

mr

· x

mr

+ b

ms

· x

ms

, (30)

в котором

y – показатель (параметр) процесса; х

о

= +1;

х

mn

= x

n

m

+ v

m

; x

mr

=x

r

m

+a

m

· x

n

m

+c

m

; x

ms

=x

s

m

+ d

m

· x

r

m

+ e

m

· x

n

m

+ f

m

;

m

– порядковый номер фактора; x

m

– m-й фактор (независимое перемен-

ное);

n, r, s – изменяемые числа показателей степени факторов; v

m

, a

m

, c

m

,

d

m

, e

m

, f

m

– коэффициенты ортогонализации; b

′

o

, b

mn

, b

mr

, b

ms

– коэффициен-

ты регрессии.

Для каждой величины

m-го фактора x

ma

, x

mb

, x

mс

, x

md

определяются

соответственно параметры

y

a

, y

b

, y

c

,y

d

.

В табл.28 представлена матрица планирования однофакторных экс-

периментов на четырех уровнях независимых переменных.

Таблица 28

Матрица планирования однофакторных экспериментов

на четырех уровнях независимых переменных

В матрице планирования экспериментов (табл.28):

x

mna

= x

n

ma

+

v

m

; x

mnb

= x

n

mb

+ v

m

; x

mnc

= x

n

mc

+ v

m

; x

mnd

= x

n

md

+ v

m

;

x

mra

= x

r

ma

+ a

m

· x

n

ma

+ c

m

; x

mrb

= x

r

mb

+ a

m

· x

n

mb

+ c

m

;

x

mrc

= x

r

mc

+ a

m

· x

n

mc

+ c

m

; x

mrd

= x

r

md

+ a

m

· x

n

md

+ c

m

;

x

msa

= x

s

ma

+ d

m

· x

r

ma

+ e

m

· x

n

ma

+ f

m

;

x

msb

= x

s

mb

+ d

m

· x

r

mb

+ e

m

· x

n

mb

+ f

m

;

№

Уровни

факторов

х

о

x

mn

x

mr

x

ms

у

1

a

+1

x

mn,1

= x

mnа

x

mr,1

= x

mrа

x

ms,1

= x

msа

y

1

= y

a

2

b

+1

x

mn,2

= x

mnb

x

mr,2

= x

mrb

x

ms,2

= x

msb

y

2

= y

b

3

с

+1

x

mn,3

= x

mnc

x

mr,3

= x

mrc

x

ms,3

= x

msc

y

3

= y

c

4

d

+1

x

mn,4

= x

mnd

x

mr,4

= x

mrd

x

ms,4

= x

msd

y

4

= y

d

68

x

msc

= x

s

mc

+ d

m

· x

r

mc

+ e

m

· x

n

mc

+ f

m

;

x

msd

= x

s

md

+ d

m

· x

r

md

+ e

m

· x

n

md

+ f

m

.

Для сокращения дальнейших записей введены следующие обозначе-

ния средних арифметических величин:

(

)

4/

n

md

n

mc

n

mb

n

ma

n

m

xxxxx +++= ;

(

)

4/

r

md

r

mc

r

mb

r

ma

r

m

xxxxx +++= ;

(

)

4/

sn

md

s

mc

s

mb

s

ma

s

m

xxxxx +++= ;

(

)

4/

22222 n

md

n

mc

n

mb

n

ma

n

m

xxxxx +++= ;

(

)

4/

22222 r

md

r

mc

r

mb

r

ma

r

m

xxxxx +++= ;

(

)

4/

22222 s

md

s

mc

s

mb

s

ma

s

m

xxxxx +++= ;

(

)

4/

rn

md

rn

mc

rn

mb

rn

ma

rn

m

xxxxx

+++++

+++= ;

(

)

4/

sn

md

sn

mc

sn

mb

sn

ma

sn

m

xxxxx

+++++

+++= ;

(

)

4/

sr

md

sr

mc

sr

mb

sr

ma

sr

m

xxxxx

+++++

+++= ;

(

)

4/

mdmcmbmam

xxxxx +++= .

Ортогональность матрицы планирования (см. табл.28) обеспечивает-

ся в том случае, если

0

=

+

mndmncmnbmna

xxxx ,

0

=

+

mrdmrcmrbmra

xxxx ,

0

=

+

msdmscmsbmsa

xxxx ,

0

=

⋅

+

⋅

+

⋅

+⋅

mrdmndmrсmnсmrbmnbmramna

xxxxxxxx ,

0

=

⋅

+

⋅

+

⋅

+⋅

msdmndmsсmnсmsbmnbmsamna

xxxxxxxx ,

0

=

⋅

+

⋅

+

⋅

+⋅

msdmrdmsсmrсmsbmrbmsamra

xxxxxxxx .

После подстановки в эти уравнения значений слагаемых, замены по-

лучаемых сумм средними арифметическими величинами и сокращения

одинаковых величин получится система из шести уравнений, по которой

определяются шесть коэффициентов ортогонализации.

69

70

Черный А.А. Математическое моделирование

Подождите немного. Документ загружается.