Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

Гпава 22

Рис, 22.1

Если f(xj

О,

то принимая за новый интервал изоляции

корня отрезок

\х^уЬ\

и применяя еще раз метод

хорд,

получаем в

точке пересечения хорды

осью Ск второе приближение к иско-

мому корню

(b-x^)f(x^)

' ' f(bhf(x,) ^"^^

Аналогично строятся и последующие приближения

х^

(п

\,2,...).

Вычисления обычно ведут до тех пор, пока не

перестанут изменяться в ответе сохраняемые десятичные знаки,

т.

е.

до заданной степени точности. Для промежуточных выкла-

док следует оставить один-два запасных знака.

Абсолютная погрешность приближенного корня х^ при

п-^оо оценивается формулой

min

\f'(x)\'

(5)

a<x<b

l^-^nl

здесь n — последовательность натуральных чисел.

4°.

Метод касательных (метод Ньютона), Пусть Ь —

тот из концов (рис. 22.2) отрезка [а,6] изоляции корня ^

уравнения [(х) =

О,

на котором f(a)

•

f(b) <

и f(b)

•

f'(b)

О.

Тогда первым приближением к корню будет точка х^ Пересе-

ЧИСПЕННЫВ МЕТОаЫ ВЫСШЕГО АНАЛИЗА

^2 X. b X

Рис. 22.2

чения с осью Ск касательной к кривой y

f(x) в точке

B(b.[(b))

^.=Ь-Щ.

(6)

f'(b)

^^^

Применяя этот прием вторично, будем иметь

r(xj

(7)

т.

д. Последовательность получаемых значений х^ (п

\,2,...)

сходится к искомому корню.

Абсолютная погрешность приближенного корня х^ при

п-^оо оценивается формулой

(8)

минимальное значение на промежутке

где т = mini/'(л:)

а<х<Ь.

Если f(a)f''(a) >

, то вычисления удобнее выполнять

по формулам: х^=а, x„=x„_,——

f(x ) ^^''^

!(Хп-х)

(п =

1,2,...)

или

42 Гпава 22

5°.

Комбинированный

метод. Применим метод хорд и ме-

тод касательных при определении действительного корня урав-

нения 1(х) =

на отрезке изоляции

[а,

6].

Пусть 1(a)

• ЦЪ)

функции f(x) и 1"(х) не меняют своего знака на отрезке изо-

ляции, причем в точке х^е [а,6] 1(х^)'1"(х^)>^. Используя

метод хорд и касательных, будем иметь

Xjj =а-

(Ь-а)'1(а)

(9)

^\1 ~ -^0

иЪ}-иа)

ПчУ

где JC,pX,2 —приближенные значения, принадлежащие отрезку

изоляции, и

1(х^^)'

и^хг)

О-

Следующее приближение

f(h2)-f(hl)

^^'^^--^ТГТГТТГТ' (10)

Л-л-^

~~* Д/]

Точки ^21 и ^22 расположены на числовой оси Ох между

точками x^j и

х^2,

причем f(x^^)'l(x22)<0. Продолжая данный

процесс, получим две последовательности

Xjj,

Х21, Х3Р ..., Х^р ...

-^12'

"^22' ^32' *••' -^«2' •••'

Причем одна из них монотонно возрастает, а другая монотонно

убывает. Приближенное значение корня определяется неравен-

ством x^j < ^ <

х„2

и-^и х^2

^ ^

^п\

И' ^сяи задана требуемая

погрешность е > О, то вычисления следует продолжать до тех

пор,

пока значения x^j и х^2 не будут совпадать

точностью £.

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ ВЫСШЕГО АНАПИЗА 43^

6°.

Метод

итераций.

Пусть уравнение f(x) -

можно при-

вести к виду X -(р(х), где

|фУхj|

< г <

(г — постоянная) при

[а,

Ь].

Если некоторое начальное значение х^ е [а, Ь], то мож-

но построить последовательность

предел которой и является корнем исходного уравнения при

Абсолютная погрешность п -го приближения х^ определя-

ется формулой

\^-ф

1~г

Если x^^j и х^ совпадают с точностью до в, то предельная

абсолютная погрешность для х^ будет равна

-j .

Отсюда для

нахождения приближенного значения корня

погрешностью S

число приближений п определяется из неравенства

7°.

Метод

проб.

Суть этого метода заключается в умень-

шении интервала изоляции, например, пополам. Определяя, на

границах какой из частей первоначального интервала функ-

ция меняет знак, снова делят интервал на две части и т. д. Про-

цесс деления интервала продолжают до тех пор, пока не бу-

дет обеспечена требуемая точность приближения в десятич-

ных знаках.

2.1.

По формуле Кардано решить уравнения:

а) гЧ18г-19 = 0; б) хЧбхЧ9х + 4 = 0; в)

2'-6г-4

= 0.

Решение, а) Уравнение уже приведено к виду, когда удобно

пользоваться формулами Кардано

(2).

Так,

р =

18,

= -19,

= -^

^- = 306,25>0,

А>^

17,5.

44 Гпава 22

Отсюда

^^^f-'^^'^-'^f-^^'^^^-^'

3-2_^./гЗ

2 -1±15л/з

б) Делаем подстановку x

z — = 2-2, тогда получим

(^2-2/+6(^2-2/+9(^2-2;+4

= 0 или2'-32 +

= 0.

Полагая р =

-3,

находим, что Д =

1—1

Отсюда

За 3-2 ^ 1 1 ^ ^> , ^

корни 2, =

—^

= = -2, 2, = 2, = —2, = —(-2) =

Оконча-

' р -3 '^22

тельнополучим: х, = -2-2 = -4, Х2=Хз=1-2 =

-1.

в)

Полагая

р = -6, ^ = -4,

находим,

6^ -4

1X7

y/l

А =

—= 4-8

-4<0. Отсюда ^^^^^^'у^"^

У'

2,/-- cos-

= 2л/2

cos

— =

4cos45''

• cosl5° =

+л/З;

' V 3 3 12

что

., -6 ^

л;,,

=2.1——cos

[!^т]-^-(^^т}

Используя формулы

преобразования произведения тригонометрических функций в

сумму, получим

2,3

4 COS— COS

12"

5п

COS —+ COS-

4 6

:1-V3.

2.2.

Найти

точностью до

0,001

действительные корни урав-

нения х^ - 2х^ + Зх -1 =

О:

а) методом

хорд;

б)

методом касатель-

ных;

в)

комбинированным методом.

Решение, а) Уравнение имеет корень между

и 1, так как,

если за f(x) обозначить его левую часть, то

/(^Оу)

= -1<0,

ЧИСПВННЫЕ МЕТОПЫ ВЫСШЕГО АНАПИЗА 45

/(^1^

> 0. С целью уточнения отрезка изоляции корня разде-

лим промежуток пополам

/(^0,5^

= —>

и, так как

/("0,5^

О,

возьмем промежуток

. Разделим его еще раз по-

полам и найдем, что К'^) ^ ^- Таким образом, за отрезок изоля-

ции корня возьмем

4'2

Теперь воспользуемся формулой (3) и найдем первое при-

ближение

., =0,25-"•"^-"•""^^ =0.49001.

' 0,0156 + 0,3748

Поскольку

l(Xy^)

- 0,0038 >

О,

за новый интервал изоляции

корня принимаем отрезок \а;х^

]

[0,25;

0,49001] и второе при-

ближение находим по формуле

^2 =а-

f(xj-f(a)

0,0038

0,3748

Вычисляя функцию в точке Xj, находим, что

/(^0,481^

=-0,0074 <

О,

т. е. мы перескочили через корень, по-

этому следующее приближение находим по формуле

,,= 0,48146-«:«?t^M12

0,4874.

' 0,0038 + 0,0074

Значение функции в точке

х-^

будет f(x^)

0,0005,

поэто-

му, оценивая погрешность по формуле

(5),

получим

|<^-д:з|<0,00041.

Таким образом, будем иметь 0,4874<| <0,4879, т. е.

1=0,4874 + 0,0005.

46 Гпава 22

б) Решим теперь это уравнение методом касательных, при-

нимая отрезок изоляции за

[0,25;

0,5]. Первое приближение на-

ходим по формуле (6).

=0,5-^^^^-^^

= 0,48686.

1,1875

Второе приближение находим по формуле (7)

X, =0.48686--»'°°'"^ =0.4870.

1,2167

Погрешности вычислений оценим по формуле (8)

0.000006^ ддддз.

' "

1,21638

Нетрудно заметить, что значение корня ^ = 0,487, найден-

ное методом касательных, более точное значение, и нам потре-

бовалось меньшее количество приближений.

в) Применим комбинированный метод. По формулам (9)

будем иметь

025(^03748; ^<,„^

0,0156

0,3748

=0,5-^^^^^

= 0,48686.

1,1875

Поскольку приближенные значения

х^^

х^2,

принадлежа-

щие отрезку изоляции, удовлетворяют неравенству

f(^\\)'f(^\i) > О, то следующее приближение находим по фор-

мулам

^1\

~^\2

rirtЖ^,o.48686-;^^^^H5£±5^^ii!=o4873;

f(x„)-l(x,J

0,0036+0,00017

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ ВЫСШЕГО АНАПИЗА

Л'лл ^~ Д/|

^^^ = 0,48686-

£// \

-0,00017

1,2167

= 0,487.

Известно, что найденные значения удовлетворяют требуе-

мой точности.

2.3.

Методом итераций найти вещественные корни уравне-

ния Т" = 4х.

Решение. Начальное приближение

найдем,

построив график

функций i/ =

2""

и // = 4х (рис. 22.3). По графику видно, что наи-

меньший положительный корень

близок

0,5;

второй корень

уравнения равен 4.

Рис, 22.3

Для нахождения наименьшего корня воспользуемся проце-

дурой итераций (11), представив исходное уравнение в виде

1 ^

^ = -2 ,где Хо=0,5.

Таким образом, х,

^-^l""'^

=0,3535; х^ =-2^'^^^^ =

0,3192

J^=-2'''^^^ =0,311925,- х,=-2'''"'^ =0,310375; х=-2''''^''=0,310001.

4 4 4

Процесс дальнейших приближений можно продолжить до

достижения желаемой точности.

48 Гпава 22

22.3.

Решение системы двух уравнений

1°.

Метод

Ньютона.

Пусть

требуется найти приближенные

значения действительных

корней

системы

двух

уравнений с дву-

мя

неизвестными

\f(x.y)

\(р(х.у)

(^^

Начальные приближения решений системы

Х^1А

у^у^

можно найти, например, графически, построив кривые

f(x,y)

= 0

11(р(х,у)

0и определив приближенно координаты

точек пересечения

этих

кривых.

Если

функциональный определитель /

отличен от

д(х,у)

нуля

окрестности начального приближения х =

у^у^.то

первое приближение можно записать в виде х^=^х^+а^у

Ух^Уо-^

Ро^

TjicaQ,pQ —

находятся из решения системы линей-

ных

уравнений

f(4>yJ^ccX(x^,yJ-\'pJy(x^,yJ=^{);

(p(Xo^yo)'^^o<Pjx^>yJ^Po%(4>yJ

= ^-

Аналогично находится второе приближение х^^х^Л-а^,

У2=У\'^

Р\>

где

«J,

—

находятся

из

решения системы

f(x,,y,)-^ajjx,,y,)

l3jj(x,,yj

(p(x,.yJ+a,(pJx,,y,)+p,(Py(x,,yJ

Продолжая

процесс

уточнения

решения,

нетрудно получить

результат с требуемой точностью.

2°.

Метод

итераций.

Разрешим систему (1) относительно

переменных

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ ВЫСШЕГО АНАЛИЗА

(2)

\у

Ф(х,у),

Если известно начальное приближение решения (х^, у^) си

стемы и выполняются условия

F. (^'УА

Ф. (^.У)\

< г < 1;

Ри

(^'УА

Ф„

(х,у)\

</•<!,

то последовательность приближений решений (х„,у^)

(п

\,2,...) строится по следующей схеме

X, =

F(Xa,yJ,

у, =Ф(х^,у^;

x^=F(x„yJ,

у^=Ф(х„у,);

К =

Р(\-^'

Уп-Х )>

Уп =

Ф(Хп-Х.

УпЧ

)•

(3)

Преобразование системы (1) в систему (2) может быть осу-

ществлено по формулам

X =

af(x,y)

P (р(х,у) = F(x,y);

= У +

ГН^^У)

8(р(х,у)

Ф(х,у),

при условии, что

\а

7 S

ibQ,

Параметры а,р,у,5 выберем та-

кими, чтобы частные производные функций F(x,y) и Ф(х,у)

были равны или близки к нулю при х

х^, у

у^,т,о,из реше-

ния системы уравнений

afJx^,yJ-hp(pJxQ,yJ

YfJ^o>yo)

S(pJx^,yJ

^-^Yfy(^o^yo)-^S(pJx^,yo)