Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

20 Гпава

Тензор f~^ называется

обратным

для тензора

если име-

ет место равенство

f-'f =

(7)

Пусть тензор

задан в диадной форме

(3,

п.2). Составим

систему векторов, взаимных

(1,

п.1)

^,^2*^3'

Р2ХР2

. р _ Рз^Ч . р _ Р]^^!

[рЩ' '

[рДр,]'

' [рЩ

Обозначим

Т-'=Р,ё,+Р2ё2+Р,ё,,

(8)

тогда

Таким образом, тензор 7"^ (8) является обратным тензору

f по определению (7).

Для обратного тензора справедливы следующие выра-

жения

f-'f

fr'=I;

(9)

(А'В)-'=А-''В-\

(10)

Нетрудно заметить, что выражение (9) следует из соотно-

шений

(7),

(8), и выражение

(10)

доказывается, на основании (9),

умножением его скалярно

на.

АВ.

Если скалярное умножение тензоров удовлетворяет выра-

жению

Т.Т^=Т^.Т

(И)

то тензор называется ортогональным.

Из сравнения (11)

(9) следует, что для ортогонального

тензора справедливо соотношение

ЭПЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСПЕНИЯ 2Л_

%=Г\ (12)

3.1.

Показать, что если а, 5, с —три некомпланарных век-

тора и fd

d\ fb = b\ Те

c\ то

_d'-(bxc)

b''(cxd)'{-c''(dxb)

d-(bxc)

d-(b'xc )

+ b

'(cxa )

+ c

-(axb')

d'(bxc)

J ^a-(b'xc)

d'(bxc)

Решение. Пусть вектор f

РЬ +yc имеет главное

направление, тогда ff

Xf, где Я главное значение.

Отсюда f(ad

pb+ ус)

X(ad

pb л-ус) или с учетом

условия задачи ad'+рЬ'+ус'= X(ad-{-рЕ+ ус) или

a(a-Xd)+p(b''-Xb)

y(c'-Xc)

Компланарностью трех векторов

d'-Xd,

b'-Xb, с'-Хс

является условие

(a--Xa)\(b'-Xb)x(c'-Xc)'\

Раскрывая это скалярно-векторное произведение, получим

относительно Я уравнение третьей степени

X' '-X^]^a\bxc)

d\b'xc)

d\bxc)^d\b

^х]^\Ь'хс)л-а\Ьхс)л-а\Ь'хс)^^

-[а^(б'хс')][а.(бхг)]"'=0.

22 Г пава 21

Сравнивая с инвариантами кубического уравнения (3),

получим

a'(bxc)^a'(b'xc)^-a-(bxc')

1=-

d-(bxc)

a'(b'xc

)^а '(bxc )^а -(b'xc)

d-(bxc)

_a-(b\c)

d'(bxc)

21.4. функции вектора

V. Рассмотрим функцию трех независимых переменных

и(х^,х^,х^), (1)

где

х,,

^2,

Хз

— ортогональные прямолинейные координаты ра-

диус-вектора f

Радиус-вектор в проекциях на оси координат

имеет вид

/ .Л/1 Ci I

Л/'уС'л

^V-JCT

откуда Xj = г-е,; Х2=^*^2'*

-^з~^*^з-

Подставляя эти значения в

(1),

получим

и(г).

Скалярная переменная и в данном случае является функ-

цией радиус-вектора г .

Рассмотрим теперь три независимые между собой веще-

ственные функции радиус-вектора г

l"".

Считаем, что переменные а^.а^уй^ являются ортого-

ЭПЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСПЕНИЯ 23

нальными прямолинейными координатами некоторого вектора

а ,тогда

а(х^,х^,х^)

а^(г)ё^

-f

а^(г)ё2

а^(г)ё^

а(г). (2)

Выражение

(2)

представляет функциональную связь между

векторами. Независимая переменная называется вектор-аргу-

ментом, а зависимая вектор-функцией.

Дадим вектор-аргументу г бесконечно малое прираще-

ние dr и рассмотрим соответствующее приращение вектор-

функции da . Проекции приращения вектор- функции примут

вид

, Эа, , Эа, , Эа, ,

da,

=-r-^dx,

+-^-^dx^ +^-^dx.;

Эх,

da.

=—-dx,

Эх,

дх2 Эхз

^^Lrf;,

^^dX •

Эх

Эх,

(3)

da^ =—^rfx,

+—-dx^ +—-dx^.

Эх, Эхз Эхз

Поскольку совокупность трех величин

da^,

da2,

<^аз

являет-

ся проекциями вектора da , а совокупность

dx^,

dx^, dx^ — про-

екциями вектора dr , то по определению тензора

(2,

п.2), (5, п.2)

коэффициенты линейных соотношений (3) представляют также

тензор

Эа,

Эа, Эа,

Эх,

Эа^

Эх,

Эоз

Эх2

Эа2

Эх2

Эаз

Эхз

Эа2

Эхз

Эаз

Эх, Эх. Эх,

(4)

Г пава 21

Тензор (4) называется тензором, производным от вектора

а по вектору г .

4.1.

Разложить хензор — на симметричную и антисим-

метричную части.

Решение. Рассмотрим тензор, сопряженный

тензором (4)

да, Эа. да.

Vd =

дх^

Эа,

дх^

да^

дх^

да^

дх^

да^

дх^

да^

дх^

Э^з

Эхз Э^з Эхз

Разложим производный тензор— на симметричную и ан-

тисимметричную части

~dr

(da

~dr

+ Va

\(dd

-Va

Симметричный тензор есть

lldr

+ Va

da^

Эх,

да-у да,

—-

—^

, Эх, Эх.

(да. да, ^

—1

—L

Эх, Эх,

Эа

^^2

Эх2 Эх,

Эа.

Эх.

Эа. Эа.

Эх. Эх,

и, если вектор а(г ) представляет вектор смещения частиц, то

называется деформационным тензором.

Антисимметричная часть производного тензора будет

ЭПЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСПЕНИЯ 25

\(da

^^^

—\

lydf

-ш.

-(Or,

(О,

где,

как

легко видеть, вектор

равен

СУ

=—rota.

21.5.

Фундаментальный тензор.

Символы Кристоффеля

Пусть координаты некоторой точки

—мерного про-

странства х\х^,...,х'' связаны

координатами этой

же

точки

х\х^,...,х",в

другой системе координат формулами преобразо-

вания

J *J/°.A

РЛ

x^=x^(x\x\....Г)

l2 п).

(1)

Разрешая соотношения

(1)

относительно

х\

х^,.,.,х''

будем

иметь

х'

=х'(х\х\,..^х'') Г/

= 1,2,...,гг/ (2)

Пусть для системы координат

х'

определена совокупность

функций

А',

а для системы координат

х'

совокупность функций

Если при преобразовании координат

(1)

эти функции преоб-

разуются по формулам

дх'

А=^А'

Г^-

1,2,.,„АгЛ

(3)

то величины

А^

называются компонентами контравариантно-

го вектора.

Если

для

системы координат

х'

определена совокупность

функций

Л.,

а для системы

х'

совокупность функций

Д,

кото-

26 Г пава 21

рые преобразуются по формулам

Д=|^Л

(1 =

\Х....п),

(4)

дх

то величины Д называются компонентами ковариантного век-

тора.

2°. Приведем аналогичные определения для тензора. Если

для системы координат

х'

определена совокупность функций

А^^,

которая при преобразовании координат (1) преобразуется

по формулам

^ ~д7дх^^ ' ^^^

то величины

А^^

называются компонентами контравариант-

ного тензора второго ранга.

Соответственно, для компонентов

Д;

ковариантного тен-

зора имеем преобразование

Дифференцируя выражения (2) по правилу дифференциро-

вания сложных функций, получим

.о,

дх' J 1 Эх' 2 Эх' „ дх' , k

dx' =—-rfx4—-dx^

^-... +

rfx"

=—-dx^

(7)

Эх^

Эх' Эх" Эх' ^ ^

где

dx^,

согласно зависимостям

(3),

являются компонентами

контравариантного вектора.

В этом случае квадрат расстояния между двумя бесконечно

близкими точками будет определяться фундаментальной квад-

ратичной формой по формуле

dS''=Y,dxj=g..(x\x\...,x'')dx'dx'^ (8)

ЭПЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСПЕНИЯ 27

где

g,(x\x\...X)

Yfr^4l (Ч

= 12,....п)

(9)

составляющие ковариантного фундаментального тензора, удов-

летворяющие условию симметрии

g^j

gj^.

Ковариантные компоненты вектора

помощью фундамен-

тального тензора выражаются через контравариантные по фор-

мулам

Лпё.Л'.

(10)

Разрешая формулы (10) по правилу Крамера относительно

контравариантных составляющих, будем иметь

^'•=^4,

(И)

где

g'^

= -^ — составляющие контравариантного фундаменталь-

ного тензора;

G^j

— алгебраическое дополнение элемента gij в

фундаментальном определителе g

g--

Sw g\2 "' S\n

ell Sn '" Sin

Snl Snl

Sni

(12)

3°.

Обозначим дифференциальные операции фундаменталь-

ного тензора следующими символами

^gnk_

дх

= Г +Г

т k.mn

n,mk>

дх

= Г +Г

(13)

Г пава 21

^g.

Эх"

Г +Г

m.nk k.nm'

Вычитая из сум\5ы первых двух выражений (13) последнее

и учитывая симметрию функций относительно индексов

^ife,mn=^Mm'находим

n.km

Эх" Эх* Эх"

(14)

Символы (14) называются символами Кристоффеля перво-

го рода.

Умножая символы (14) на фундаментальный тензор g^^,

получим символы

rL=g'"n,r.>

(15)

которые называются символами Кристоффеля второго рода.

Умножая символы (15) на фундаментальный тензор g^i,

получим взаимные формулы

n,km Snl km'

(16)

Здесь следует отметить, что символы Кристоффеля не явля-

\отся тензорами.

5.1.

Вычислить символы Кристоффеля для: а) круговых

цилиндрических координат; б) сферических координат.

Решение. Формулы связи между декартовыми координа-

тами и круговыми цилиндрическими имеют вид

pcos(p, y = psin(p, z-z.

Координаты фундаментального тензора равны

ь>пп I

Эх

Эг/

Y [

Ъг

Эх"

Яш.

=0.

ЭПЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСПЕНИЯ

где индексы

т,

могут принимать различные частные значения

2 и

3, являющиеся номерами координат, присваиваемых им,

согласно порядку правовинтовой системы.

Ковариантные компоненты фундаментального тензора

будут

где числовым индексам присвоены координатные направления

Символы Кристоффеля, отличные от нуля, будут

Эр 2^22 Ф Р

L^^-_n

Г2.2

_ ^ ^g22 _ ^

2^11

Эр 2^22 Эр р

/-2.1 _ Г1.2 ____^_Эй21=:^^_

2§,,^22

Эр Р'

б) Формулы связи между декартовыми

х, у, z и

сферичес-

кими

р,

(р,

координатами имеют вид

pcoscpsinO,

psincpsinO,

z-pcosd.

Ковариантные компоненты фундаментального тензора

равны

ё^11=Ь

^22=Р'^ g33=P'sin'0.

Здесь числовые индексы

1, 2 и 3

присвоены координатым

направлениям

р,в,(р.

Символы Кристоффеля, отличные от нуля, примут вид

^ 2,12 ^ 1.22

9 ;^Л ^'^ ""

^'^^

~ 9 Д -

РЬШ

О,