Беляк О.А., Дрезин С.В. Динамика материальной точки
Подождите немного. Документ загружается.
α OM
ϕ
τ
l
M
n
O
1
N
α
mg
ϕ
0
β
ϕ
M
0
mg
N
OO
m
dv
dt
= mg cos ϕ,
m
v
2
l
= N − mg sin ϕ,
ϕ
mv
2
2
−
mv
2
0
2
= mgl(sin ϕ − sin ϕ
0
),
v
0
= 0 ϕ
0
=
π
2
− α sin ϕ
0
= cos α
mv
2
2
= mgl(sin ϕ − cos α), v
2
= 2gl(sin ϕ − cos α).
N
N = mg sin ϕ +
mv
2
l
= 3mg sin ϕ − 2mg cos α.
ϕ = ϕ
1
=
π
2
− β
v
2
ϕ=ϕ
1
= v
2
1
= 2gl(sin ϕ
1
− cos α) = 2gl(cos β − cos α),
N
ϕ=ϕ
1
= N
−
1
= 3mg sin ϕ
1
− 2mg cos α = mg(3 cos β − 2 cos α).
ϕ
ϕ
l l − h
m
dv
dt
= mg cos ϕ,
m
v
2
l − h
= N − mg sin ϕ.
v N ϕ
mv
2
2
−
mv
2
1
2
= mg(l − h)(sin ϕ − sin ϕ
1
),
v
2
= v
2
1
+ 2g(l − h)(sin ϕ − cos β).
v
1
N = mg sin ϕ +
mv
2
l −h
= mg sin ϕ +
mv
2
1
l −h
+ 2mg(sin ϕ − cos β) =
= 3mg sin ϕ − 2mg cos β +
mv
2
1
l − h
= 3mg sin ϕ − 2mg cos β +
2mgl
l −h
(cos β − cos α).
N
+
1
ϕ = ϕ
1
=
π
2
− β
N
+
1
= 3mg sin ϕ
1
− 2mg cos β +
2mgl
l −h
(cos β − cos α) =
= 3mg cos β − 2mg cos β +
2mgl
l − h
(cos β − cos α) =
= mg cos β +
2mgl
l −h
(cos β − cos α).
N
+
1
− N
−
1
= mg cos β +
2mgl
l − h
(cos β − cos α) − mg(3 cos β − 2 cos α) =
= 2mg
l
l − h
− 1
(cos β − cos α) =
2mgh
l − h
(cos β − cos α).
OM
ϕ ϕ ∈ [0;
3π
2
]
M N > 0
α N = 0 ϕ =
3π
2
N
ϕ=
3π
2
= 3mg sin
3π
2
− 2mg cos β +
2mgl
l − h
(cos β − cos α) = 0.
−3 − 2 cos β +
2l
l − h
(cos β − cos α) = 0.
cos α
2l cos α = −3(l − h) + 2h cos β,
cos α =
h
l
cos β −
3(l −h)
2l
=
h
l
3
2
+ cos β
−
3
2
,
α
α = arccos
h
l
3
2
+ cos β
−
3
2
.
α
N
+
1
− N
−
1
=
2mgh
l − h
cos β −
h
l
cos β +
3(l − h)
2l
= 2mg
h
l
3
2
+ cos β
.
v ϕ =
3π
2
α
v
2
= v
2
1
+ 2g(l −h)(sin ϕ − cos β) =
= 2gl(cos β − cos α) + 2g(l − h)(sin ϕ − cos β) =
= 2gl
cos β −
3h
2l
−
h
l
cos β +
3
2
+ 2g(l − h)(sin ϕ − cos β) =
= 2g(l − h)
sin ϕ +
3
2
,
v
2
ϕ=
3π
2
= g(l − h),
l > h v =
p
g(l −h)
M
500 2
12
1000 20
84,8
M A
B 20
5 AM 20
1 4,9
R
v
0
f
v
0
>
s
gR
1 + 4f
2
[2(1 − 2f
2
) + 3e
2πf
]
m F
mw
a
= F ,
w
a
F
w
a
= w
r
+ w
e
+ w
c
,
w
r
w
e
w
c
w
c
w
c
= 2ω
e
× v
r
,
|w
c
| = 2|ω
e
| · |v
r
|sin α,
ω
e
v
r
α ω
e
v
r
mw
r
= F + J
e
+ J
c
.
J
e
= −mw
e
J
c
= −mw
c
F
J
e
J
c
J
c
= 0
mw
r
= F + J
e
.
ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
ξ
i
(i = 1, 2, 3)
m
¨
ξ
i
= F
i
+ J
ei
+ J
ci
, i = 1, 2, 3,
J
c1
= −2m
ω
e2
˙
ξ
3
− ω
e3
˙
ξ
2
.
1
ւ տ
2 → 3
ξ
i
(0) = ξ
i0
,
˙
ξ
i
(0) = v
i0
, i = 1, 2, 3.
A m B α
B
w A
O
x
y
α
A
B
F
N
J
e
w
mg
f α
A
Ox
A mg
N
F
J
c
= 0
mw
r
= mg + N + F + J
e
.
J
e
= −mw Ox, Oy
m¨x = mg sin α −F − mw cos α,
0 = N − mg cos α − mw sin α.
w
Ar
= ¨x
N = mg cos α + mw sin α
F = fN = fm(g cos α + w sin α).
w
Ar
= g(sin α − f cos α) − w(cos α + f sin α).
D = −N D = N
A w
Ar
= 0
tg α =
gf + w
g − fw
.
ω R
v
0
B AA
1
M ω
e
= ω = const
A
M
r, ϕ O
r = R ϕ OA
τ , n, b
O
A
A
1
B
M
M
1
ϕ
ϕ
N
n
v
r
J
e
J
c
ω
e
n
τ
mg
mg
N = N
n
+ N
b
n, b
J
e
J
c
mw
r
= mg + N + J
e
+ J
c
.
ε
e
w
τ
e
w
e
= w
n
e
M AA
1
M
1
J
e
= −mw
n
e
B J
c
= −mw
c
J
c
⊙
b |J
c
| = 2m|ω| · |v
r
|sin(π/2 − ϕ)
M
τ
mw
τ
r
= −mg sin ϕ + mw
n
e
cos ϕ.
w
τ
r
= R ¨ϕ.
M
MM
1
= R sin ϕ
w
n
e
= ω
2
R sin ϕ.
mR ¨ϕ = mω
2
R sin ϕ cos ϕ − mg sin ϕ.
A B ϕ = ϕ
0
v
r
w
r
sin ϕ
0
ω
2
R cos ϕ
0
− g
= 0,