
4.
При решении многих физических и геометрических
задач приходится искать неизвестную функцию по данно-
му соотношению между неизвестной функцией, ее произ-
водными и независимыми переменными. Такое соотноше-
ние называется дифференциальным уравнением, а отыска-
ние функции, удовлетворяющей уравнению, называется
решением или интегрированием данного уравнения.
Простейшее дифференциальное уравнение первого по-
рядка у' = f(у, t) имеет семейство решений у = у(t), являю-
щихся интегральными кривыми второго порядка, чаще
всего вида у = Се
t
, с произвольной постоянной С. Тогда
выбор начального значения у(0)=у
0
определяет одну из
кривых семейства решений, которая и будет считаться ре-
шением поставленной задачи.
Основной считается задача Коши в разделе высшей мате-
матики "решение дифференциальных уравнений приближен-
ными методами", формулирующаяся традиционно так: тре-
буется найти решение уравнения у' = f(у, t) в виде у = у(t),
удовлетворяющее начальному условию у(0) = у
0
.
Иными сло-
вами, требуется найти среди семейства интегральных кри-
вых, являющихся частными решениями дифференциального
уравнения у' = f(у, t), интегральную кривую у(t), которая про-
ходит через заданную точку М(t
0
, у
0
).
Для двумерного случая задача Коши формулируется
так: если f(х,у) непрерывна в некоторой области R,
определенной как |х - х
0
| < а; |у - у
0
| < b, то существует,
по крайней мере, одно решение у = у (х, t), определенное в
окрестности |х - х
0
| < h, где h > 0, и это решение будет
единственным, если выполняется условие Липшица
|f(х,ψ) - f(х,у)| < N
.
|ψ − у|,
где N - некоторая константа Липшица, зависящая в об-
щем случае от а и b.
Заметим, что решение системы дифференциальных
уравнений первого порядка
()
()
′
=
′
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
yfxyt
xgxyt
,,
,,
;
при условии, что производные
df/dу, df/dх, dg/dу и dg/dх
существуют на каждом интервале интегрирования, содер-
жит уже две постоянные интегрирования и, следователь-
но, нужны два начальных условия, чтобы однозначно оп-
ределить эти константы.
Как правило, аналитическими методами можно решить
дифференциальные уравнения только определенного вида.
Если уравнение не сводится никакими тождественными
преобразованиями ни к одному из известных типов диф-
ференциальных уравнений, то решение такой задачи
может быть найдено только специальными численными
методами. Рассмотрим наиболее часто применяемые на
практике.
§ 1. ophakhfemmne pexemhe na{jmnbemmncn
dhttepem0h`k|mncn rp`bmemh“
leŠndnl }ikep`
При обсуждении методов решения задачи Коши огра-
ничимся рассмотрением дифференциального уравнения
первого порядка у' = f(х,у), удовлетворяющего начальному
условию у(х
0
) = у
0
.
Численное решение задачи состоит в построении таб-
лицы приближенных значений у
1
, у
2
, ..., у
n
, являющихся
решениями уравнения у = у(х) в точках х
1
, х
2
, ..., х
n
. Чаще
всего точки х
i
расположены равномерно: х
i
= х
0
+ h
.
i, где i
= =1, 2, ..., n. Точки х
i
называют узлами сетки, h - шагом
сетки. Ясно, что h > 0.
Для получения решения задачи Коши воспользуемся
разложением функции в ряд Тейлора. Для этого продиф-
ференцируем исходное уравнение у' = f(х,у) по х n раз.
Тогда с учетом правила дифференцирования сложной
функции получим следующие соотношения:
у" = f
x
(х, у) + f
x
(х, у)
⋅
у';
у"'= f
xx
(х,у)+2f
xy
(х,у)
⋅
у' + f
yy
(х,у)
⋅
(у') + f
y
(х,у)
⋅
у"; . . .
Полагая х = х
0
и у = у
0
, получаем ряд у'(х
0
); у"(х
0
);
у"'(х
0
); ... ; у
(n)
(х
0
), который сходится к решению поставлен-
ной задачи, т.е.
()
()
()
(
)
yx y x
xx
i
i
i
i
n
≅⋅
−
=
∑
0
0
0
!
. (4.1)
Надо заметить, что если |х - х
0
| больше радиуса сходи-
мости ряда у'(х
0
); у"(х
0
); у"'(х
0
); ...; у
(n)
(х
0
), то погрешность
|ψ - у| не стремится к нулю при n
→
, т.е. ряд расходит-
ся. Тогда поступают следующим образом. Отрезок [х
0
,х
0
+Х],
на котором ряд расходится, разбивают на меньшие отрез-
ки [х
i
, х
i+1
], где i = 1, 2, ..., n, и получают новые последова-
тельные приближения у
j
к решению у(х
j
) при j = 1, 2, ..., m,
используя следующую схему:
1) у
i
считаем найденным (для первого шага им может
быть у
0
);
2) вычисляем в точке х
i
производные у
i
(k)
;
81