Батин Н.В. и др. Основы информационных технологий

Подождите немного. Документ загружается.

5.6 Списки и матрицы

5.6.1 Понятие списка. Способы задания списков

Список в Mathematica представляет собой совокупность произвольных

данных. Матрица - частный случай списка.

Например, а={5, 3.5, 7, 8, 4} - список из пяти элементов. Из этого примера

видно, что элементы списка указываются в фигурных скобках и перечисляются

через запятую.

Матрицы в Mathematica задаются как списки, элементами которых также

являются списки - строки матрицы. Например, матрица

вводится в Mathematica следующим образом: b={{5,2,7}, {4,6,2}, {1,9,4},

{3,7,2}}. Здесь матрица b - список из четырех элементов, каждый из которых в

свою очередь является списком из трех элементов.

Ссылка на конкретный элемент списка указывается в двойных квадратных

скобках. Если список представляет собой двумерную матрицу, то первым ука-

зывается номер строки, затем - номер столбца.

Пусть, например, в Mathematica введены матрицы а и b, показанные выше.

Если затем ввести а[[2]], то выводится 3.5. Если ввести b[[2]], то выводится

{4,6,2}, т.е. второй элемент списка b. Если ввести b[[3,2]], то выводится 9.

Кроме непосредственного перечисления элементов, списки в Mathematica

могут задаваться с помощью специальных функций.

Пример 5.10 - Создать список чисел от 1 до 10 с шагом 0.1, а также список

значений функции t

+sin t для значений переменной t от 1 до 10 с шагом 0,1.

1 Для получения первого из указанных списков ввести:

x=Range[l,10,0.1];

Точка с запятой в конце этой команды очень желательна, чтобы создавае-

мый список из 91 элемента не выводился на экран.

2 Для получения второго списка ввести:

y=Table[t^2+Sin[t],{t,l,10,0.1}]//N;

Список у можно получить и по-другому, используя уже созданный

список х, например: y=x^2+Sin[x]//N.

Список не всегда является матрицей. Например, х={5,{2,7,5}} - список из

двух элементов, первый из которых - число 5, а второй - список {2,7,5}.

140

5.6.2 Операции с элементами, строками и столбцами матриц

Операции с отдельными элементами матриц, а также их строками и столб-

цами (просмотр, добавление и т.д.) рассмотрим на следующем примере.

Пример 5.11 - Выполнить следующие операции с элементами, строками и

столбцами матриц.

1 Ввести следующую матрицу, как показано выше:

2 Присвоить переменной elem один из элементов матрицы а, например:

elem=a[[l,3]].

3 Просмотреть вторую строку матрицы: а[[2]].

4 Просмотреть второй столбец матрицы a: Transpose[a][[2]]. Здесь Trans-

pose [а] - операция транспонирования матрицы.

5 Вставить в матрицу а строку (5,7,5) в качестве второй строки:

a=Insert[a,{5,7,5},2].

6 Вставить в матрицу а два столбца (1,1,1,1) на второе и четвертое место.

Для этого выполнить следующие действия:

- транспонировать матрицу: a=Transpose[a];

- чтобы вставить в транспонированную матрицу две строки (1,1,1,1), вве-

сти: a=Insert[a,{l,l,l,l},{{2},{3}}]. Здесь

{{2},{3}}

- список номеров

строк, куда вставляются новые строки. Требуется указывать именно но-

мера 2 и 3 (а не 2 и 4), так как номер вставляемой строки определяется

по исходной матрице;

- снова транспонировать матрицу: a=Transpose[a].

7 Просмотреть матрицу а в матричной форме: MatrixForm[a].

8 Просмотреть матрицу а в табличной форме: TableForm[a].

5.6.3 Вычисления с матрицами

В Matlab имеются возможности для самых разнообразных операций с мат-

рицами: от поэлементного сложения до наиболее сложных операций матричной

алгебры. Рассмотрим эти операции на следующем примере.

Пример 5.12 - Выполнить следующие вычисления с матрицами.

1 Задать следующие матрицы, как показано выше:

2 Увеличить все элементы матрицы b на единицу: b=b+l.

141

3 Сложить матрицы а и b, присвоив результат матрице u: u=а+b.

4 Перемножить матрицы а и b

поэлементно,

присвоив

результат

матрице

v: v=a*b (или v=a b).

5 Извлечь квадратный корень из всех элементов матрицы b: Sqrt[b].

6 Перемножить матрицы a и c

правшам

матричной

алгебры:

z=a.c.

7 Транспонировать матрицу b, т.е. поменять местами строки и столбцы:

b=Transpose[b].

8 Вычислить определитель матрицы х: d=Det[x].

9 Вычислить матрицу, обратную к х: xobr=Inverse[x].

10 Чтобы убедиться, что обратная матрица найдена правильно, перемно-

жить матрицы х и xobr по правилам матричной алгебры, как показано выше.

Результатом должна быть единичная матрица, т.е. матрица, в которой диаго-

наль состоит из единиц, остальные элементы - нули.

11 Вычислить собственные значения матрицы х: Eigenvalues(x).

12 Вычислить собственные векторы матрицы х: Eigenvectors(x).

Пример 5.13 - Решить систему линейных уравнений:

6х

+ 14х

+ 7х

= 120

Зх

+5х

+ 9х

= 175

8х

+3х

+ 5х

= 100.

Для решения системы уравнений вычислить столбец значений переменных

х следующим образом: x=a

-1

b, где а - матрица коэффициентов уравнений (a

-1

обратная матрица), b - столбец правых частей уравнений. Для проверки полу-

ченного решения перемножить матрицы а и х; должны быть получены правые

части уравнений.

Решить систему линейных уравнений также с помощью функции Mathema-

tica LinearSolve[a,b].

5.7 Пакеты расширения

Пакеты расширения (Add-on) представляют собой наборы функций Ma-

thematica, загружаемые в память не автоматически (при загрузке самой системы

Mathematica), а по указанию пользователя. В пакеты расширения включаются

функции, относящиеся к определенному разделу математики (например, ли-

нейная алгебра, теория чисел и т.д.) или к определенному классу задач (напри-

мер, построение графиков). Пакеты расширения разбиваются на подпакеты.

Полная информация о пакетах и подпакетах расширения имеется в справочной

системе Mathematica. Пакеты расширения загружаются следующей командой:

«имя_пакета'имя_подпакета'

Следует обратить внимание, что кавычки, используемые в этой команде,

обычно указываются на клавише вместе с символом "~" (а также русской бук-

вой "Ё").

142

Пример 5.14 - Загрузить подпакет расширения для работы с физическими

константами.

Пусть решается некоторая задача, в которой часто требуется использовать

физические константы (например, скорость света, массу электрона и т.д.). Не-

обходимый подпакет расширения загружается следующей командой:

«Miscellaneous'PhysicalConstants'

Эта команда загружает подпакет PhysicalConstants пакета расширения

Miscellaneous. Если теперь ввести, например:

SpeedOfLight

то на экран выводится следующее:

299792459 Meter

Second

Другие примеры применения пакетов расширения (например, для построе-

ния графиков) будут рассмотрены в последующих разделах.

5.8 Построение графиков

Система Mathematica содержит большой набор функций для построения

графиков самого разнообразного вида. Некоторые из них входят в основной на-

бор функций Mathematica и доступны пользователю по умолчанию, другие -

входят в состав пакетов расширения.

Основная функция Mathematica для построения графиков средней сложно-

сти - Plot[функция, {переменная, начало, конец}, опции]. Здесь функция -

функция, график которой требуется построить (например, Sin[x]). Перемен-

ная - имя переменной, соответствующей оси абсцисс графика. Начало и ко-

нец- границы диапазона значений переменной, в котором строится график.

Опции задают внешний вид графика (типы и цвета линий, подписи осей и т.д.).

Для использования некоторых опций функции Plot необходимо загружать па-

кеты расширений.

Рассмотрим некоторые примеры построения графиков в Mathematica.

Пример 5.15 - Построить график функции y=0,25x+sin х -1 для значений х

от 0 до 10.

Для этого потребуется ввести:

Plot[0.25 x+Sin[x]-l,{x,0,10}]

Пример 5.16 - Построить графики функций y=0,25x+sin x - 1 и

y=0,25x+cos х - 1 для значений х от 0 до 10.

Для этого потребуется ввести:

Plot[{0.25 х + Sin[x] - 1,0.25x + Cos[x] -1}, {х, 0,10},

AxesLabel ->{"X", "Y"},

PlotStyle -> {Dashing[{}], Dashing[{0.05,0.025}]}]

143

Примечание - При наборе длинной команды, не помещающейся в одну строку, переход

в новую строку будет выполняться автоматически.

Здесь опция AxesLabel задает подписи осей. Опция PlotStyle с директивой

Dashing задает вид графиков: первый из выводимых графиков выводится

сплошной линией, второй - штриховой (здесь 0,05 - длина штриха, 0,025 -

длина интервала между штрихами). Подробная информация обо всех опциях и

директивах функции Plot имеется в справочной системе Mathematica.

Пример 5.17 - Построить графики функций y=0,25x+sin х - 1 и

y=0,25x+cos х - 1 для значений х от 0 до 10 с выводом легенды.

1 Загрузить подпакет Legend пакета расширения Graphics:

<<Graphics'Legend'

2 Для построения графиков ввести:

Plot[{0.25x + Sin[x] -1, 0.25x+Cos[x] -1}, {х, 0, 10},

AxesLabel -> {"X", "Y"} ,

PlotStyle-> {Dashing[{0.15, 0.025}],

Dashing[{0.05, 0.025}]},

PlotLegend -> {"0.25 x+Sin[x]-1", "0.25 x+Cos[x] -1"} ,

LegendPosition -> {-1, -1.2}, IegendSize -> {2, 0.5}]

Примечание - Опция LegendPosition задает расположение нижнего левого угла леген-

ды относительно центра графика. Первой указывается позиция по горизонтали, второй - по

вертикали. Сторона графика, имеющая максимальную длину, считается расположенной в

диапазоне от -1 до 1. В такой же системе координат задается размер легенды (LegendSize).

Пример 5.18 - Построить график функции, заданной параметрически:

x=6cos

y=6sin

для значений t от 0 до 2π. Для этого ввести:

ParametricPlot[{6*Cos[t]^3,6*Sin[t]^3},{t,0,2*Pi}]

Пример 5.19 - Построить график функции, заданной в полярных коорди-

натах: r=6 cos 3t, для значений f от 0 до 2π.

1 Загрузить подпакет Graphics пакета расширения Graphics:

<<Graphics'Graphics'

2 Чтобы построить график, ввести:

PolarPlot[6 Cos[3 t],{t, 0,2Pi}]

Пример 5.20 - Построить трехмерный график: график функции z=x

+2y

для значений х и у от -5 до 5. Для этого ввести:

Plot3D[x^2+2 у^2,{х,-5,5},{y,-5,5}]

Построить график той же функции, срезанный на уровне z=40:

144

Plot3D[x^2+2y^2,{x,-5,5},{y,-5,5},PlotRange->{0,40}]

Построить тот же график без линий каркаса:

Plot3D[x^2+2y^2,{x,-5,5},{y,-5,5},PlotRange->{0,40},Mesh->False]

Построить контурный график той же функции:

ContourPlot[x^2+2y^2,{x,-5,5},{y,-5,5},Axes->True,AxesLabel->{"X","Y"}]

Пример 5.21 - Построить график функции, заданной параметрически:

x=(cos t)(З+cos u)

y=(sin t)(3+cos u)

z=sin 2u

для значений t от 0 до 1,75π, и от 0 до 2π. Для этого ввести:

ParametricPlot3D[{Cos[t] (3+Cos[u]), Sin(t](3 + Cos[u]),

Sin[2u]} , {t, 0, 1.75Pi}, {u, 0, 2Pi}, Axes -> True,

AxesLabel -> {"X", "Y", "Z"}]

Пример 5.22 - Пусть в результате некоторого эксперимента получены

следующие значения двух величин:

1,2

3,1

6,7

7,8

9,8

12,5 14,3

15,7

12,2 10,4

6,2

6,1

5,9 5,8

Эти данные сохранены в текстовом файле. Требуется построить по этим

данным точечный график, отражающий связь величин X и Y.

1 Используя Блокнот, создать текстовый файл, содержащий два столбца

чисел:

1.2 15.7

3.1 12.2

6.7 10.4

7.8 6.2

9.8 6.1

12.5

5.9

14.3

5.8

2 Сохранить файл исходных данных и закрыть его.

3 Вернуться в систему Mathematica. Ввести данные из файла в какую-либо

переменную (в этом примере - переменная dan). Для этого ввести:

dan=ReadList["имя_файла", Number, RecordLists->True]

Имя файла указывается, как показано в примере 5.4. Директива Number

необходима для того, чтобы данные из файла вводились как отдельные числа;

если не указать Number, то числа, указанные в одной строке, будут перемно-

жаться. Директива RecordLists->True необходима для того, чтобы данные вво-

дились в виде двумерной матрицы (если не указать эту директиву, то все числа

из файла будут введены в виде одномерной матрицы). В результате переменная

dan будет представлять собой матрицу из двух столбцов.

4 Чтобы построить график, ввести: ListPlot[dan].

145

5 Чтобы график имел лучший внешний вид (например, чтобы увеличить

точки графика), ввести:

ListPlot[dan, PlotRange->{-l,15}, PlotStyle->PointSize[0.02]]

Пример 5.23 - Построить график следующей функции, заданной неявно:

)

-x

=0, для значений х от -2 до 2. Необходимый для этого пакет рас-

ширения, подпакет и функцию для построения графика найти самостоятельно,

используя справочную систему Mathematica.

Примечание - "Неявная функция" на английском языке - implicit function.

Пример 5.24 - Загрузить файл из примера 5.22. Используя операции со

списками (см. подраздел 5.6), получить два списка: списки значений X и Y.

5.9 Решение алгебраических уравнений

Для аналитического решения алгебраических уравнений в Mathematica

применяются следующие функции:

Solve[ypaвнение, переменная]

или

NSolve[ypaвнение, переменная]

где уравнение - решаемое уравнение;

переменная - переменная, относительно которой решается уравнение.

Функция Solve определяет решение уравнения в символьной форме или в

виде рациональных дробей, функция NSolve - в числовой форме (в виде деся-

тичных дробей).

Примечание - Более подробно о том, как определяется форма получаемого результата,

см. в подразделах 5.1 и 5.2.

Если уравнение имеет несколько решений, то функции Solve и NSolve оп-

ределяют все решения. Если получить список всех решений невозможно (на-

пример, их количество бесконечно из-за периодичности функций, входящих в

уравнение), то выводится предупреждающее сообщение.

Если аналитическое решение уравнения невозможно, то функция Solve или

NSolve выводит на экран уравнение без решения. В этом случае необходимо

решать уравнение численными методами. Для этого применяется следующая

функция:

FindRoot[ypaвнение, {переменная, начальная_точка}]

где уравнение - решаемое уравнение;

переменная - переменная, относительно которой решается уравнение;

начальная_точка - значение переменной, в окрестности которого ищется

решение.

146

Если уравнение имеет несколько решений, то функция FindRoot находит

лишь одно из них (ближайшее к заданной начальной точке). Другие решения

требуется определять, изменяя начальную точку.

Рассмотрим применение этих функций на примерах.

Пример 5.25 - Решить уравнение sin х + cos х = 0.

1 Для решения уравнения ввести:

Solve[Sin[x]+Cos[x]==0,x]

На экран выводится следующий результат:

Выводится также предупреждающее сообщение о том, что все решения не

могут быть найдены.

Как видно, результат получен в виде списка подстановок.

2 Для проверки результата подставить его в исходное уравнение:

Sin[x]+Cos[x]==0/.%

Должен быть получен ответ: {true,true}. Это означает, что при подстановке

обоих найденных решений исходное уравнение является верным равенством.

Примечание - В данной операции использована подстановка (/.) и ссылка на результат

последней операции (%). Подробнее об этом см. в подразделах 5.2 и 5.4.

3 Выполнить действия, рассмотренные на шагах 1 и 2, другим способом:

присвоив строку решаемого уравнения некоторой переменной (см. подраз-

дел 5.2). Для этого ввести (после каждой команды нажимать Shift-Enter):

ur=Sin[x]+Cos[x]==0

Solve[ur,x]

ur/.%

Здесь строка уравнения (Sin[x]+Cos[x]==0) присваивается переменной ur,

что позволяет сократить последующие выражения. Результаты должны быть

такими же, как на шагах 1 и 2.

4 Получить решение уравнения sin х + cos х = 0 в виде десятичных дро-

бей. Для этого ввести:

NSolve[ur,x]

Результатом является следующий список подстановок:

{{х -> -0.785398}, {х -> 2.35619}}

5 Проверить полученный результат. Для этого подставить найденные ре-

шения в левую часть уравнения:

Sin[x]+Cos[x]/.%

Результаты должны быть примерно следующими: {1.11022х10

-16

1.11022х10

-16

}, т.е. очень близкими к правой части уравнения (нулю).

147

Примечание - Попытка выполнить подстановку ur/.% (как это было сделано для реше-

ния, найденного в виде рациональных дробей) могла бы привести к неожиданному результа-

ту: {false, false}, хотя уравнение решено правильно. Причина в том, что решение, полученное

в виде десятичных дробей - приближенное.

6 Получить решение уравнения sin х + cos х = 0 в виде списка чисел (а не

подстановок, как во всех предыдущих случаях). Для этого ввести:

rez=x/.NSoIve[ur,x]

Здесь результаты, возвращенные функцией NSolve (т.е. подстановки, пока-

занные на шаге 4), подставляются в переменную х, которая присваивается пе-

ременной rez. Переменная rez будет представлять собой список {-0.785398,

Примечания

1 Если ввести команду x/.NSolve[ur,x], то результаты функции NSolve будут подстав-

лены в переменную х и выведены на экран в виде чисел, но не сохранятся в какой-либо пе-

ременной.

2 В команде rez=x/.NSolve[ur,x] необходимо использовать именно переменную х (а не

переменную с каким-либо другим именем), так как в уравнении, задаваемом переменной иг,

используется переменная х (см. шаг 3).

7 Для проверки полученных результатов (т.е. решений в виде чисел) вы-

полнить следующую подстановку:

Sin[x]+Cos[x]/.x->rez

Должны быть получены значения, очень близкие к нулю.

Пример 5.26 - Найти все решения уравнения 0,25х + sin х - 1 = 0 для зна-

чений х от 0 до 10.

1 Попытаться найти решения уравнения с помощью функции Solve. На

экран выводится следующее:

Solve[-1+0.25 x+Sin[x]==0,x]

Это означает, что уравнение не может быть решено аналитически. Необхо-

димо искать каждое из решений уравнения численными методами.

2 Чтобы примерно определить, где находятся решения уравнения, по-

строить график функции y=0,25x+sin х - 1 для значений х от 0 до 10, используя

функцию Plot. График будет иметь такой вид, как показано на рисунке 5.2.

2.35619}.

Рисунок S.2 - График функции у=0,25х + sin х -1

148

3 Для решения уравнения будет использоваться функция FindRoot (см.

выше). Например, чтобы найти первое из решений, можно ввести:

FindRoot[0.25*x+Sin[x]-l=0,{x,0}]

Это означает, что поиск решения будет выполняться в окрестностях точки

х=0. Результат будет следующим: {х->0.890487}.

4 Для проверки полученного результата ввести:

0.25*x+Sin[x]-l/.%

Это означает, что вместо х в формулу подставляется число 0,890487. Ре-

зультат должен быть очень близким к нулю.

5 Получить решение уравнения в виде числа (а не в виде подстановки).

Для этого ввести:

xl=x/.FindRoot[0.25*x+Sin[x]-l==0,{x,0}]

Здесь решение уравнения (число 0,890487) подставляется в переменную х,

которая присваивается переменной x1.

6 Для проверки ввести:

0.25*x+Sin[x]-l/.x->xl

Результат должен быть близок к нулю.

7 Аналогично найти остальные решения уравнения в виде числовых пе-

ременных х2 и х3.

8 Получить список найденных решений. Для этого ввести: x={xl,x2,x3}.

5.10 Решение систем алгебраических уравнений

Для аналитического решения систем алгебраических уравнений использу-

ются функции Solve и NSolve, для численного - функция FindRoot. Однако

системы алгебраических уравнений, для которых возможно аналитическое ре-

шение, встречаются в практических задачах достаточно редко. Поэтому в дан-

ном пособии рассматривается только численное решение систем алгебраиче-

ских уравнений. Для этого применяется функция FindRoot в следующей фор-

ме:

FindRoot[{ypaвнения}, {х,x

},{у,у

},...]

где уравнения - уравнения, входящие в решаемую систему;

х, у,... - переменные, относительно которых решается система уравнений;

, у

,... - начальные значения искомых переменных.

Пример 5.27 - Решить следующую систему уравнений:

- x

=е

-X1

- x

=е

-X2