Батин Н.В. и др. Основы информационных технологий
Подождите немного. Документ загружается.
Если уравнение имеет несколько решений, то функция fzero находит лишь
одно из них. Другие решения требуется определять, изменяя значения началь-
ной точки или границы отрезка (а или b).
Если в уравнении f(х)=0 функция f(x) представляет собой полином, то
можно найти все решения уравнения сразу, используя функцию
roots(коэффициенты), где коэффициенты - массив коэффициентов полинома.
Пример 4.23 - Найти все решения уравнения 0,25x+sin(x)-l=0 для значе-
ний х от 0 до 10.
Предварительно следует построить график функции y=0,25x+sin(x)-l, что-
бы примерно определить, где находятся решения уравнения. График будет
иметь такой вид, как показано на рисунке 4.2.
Создадим М-файл (функцию), реализующий левую часть уравнения:
function y=fun(x)
y=0.25*x+sin(x)-l;
Сохраним его под именем fun.m.
Для определения первого решения уравнения можно ввести:
x=fzero('fun', 1)
На экран выводится результат: х=0.8905.
Конечно, вместо 1 можно указать и другое значение. Можно также вместо
имени М-файла указать левую часть уравнения:
x=fzero('0.25*x+sin(x)-l',1)
Аналогично можно найти остальные решения, например:
x=fzero('fun', 3)
На экран выводится: х=2.8500.
x=fzero('fun', 5)
На экран выводится: х=5.8128.
Можно также использовать функцию fzero с несколькими выходными па-
раметрами, например:
[x,y,k]=fzero('fun', 1)
На экран выводятся следующие результаты: х=0,8905, у=0, k=1. Здесь у -
значение функции y=0,25x+sin(x)-l при найденном х (то, что это значение равно
нулю, подтверждает, что найдено верное решение); г - код результата, возвра-
щаемый функцией fzero; r=1 означает, что решение найдено.
Найдем решения уравнения 0,25x+sin(x)-l=0, используя функцию fzero в
форме fzero('уравнение', [а b]). Например, чтобы найти первое решение, мож-
но ввести:
x=fzero('fun', [0 1])
110
Пример 4.24 - Найти все решения уравнения 5x
3
+8x
2
+1 =0.
Для этого требуется ввести: roots([5,8,0,l]).
4.8 Решение систем алгебраических уравнений
Основная функция для решения систем алгебраических уравнений - функ-
ция fsolve('система_уравнений', начальная_точка), где 'систе-
ма уравнений' - имя М-файла (функции), реализующего левые части уравне-
ний системы; начальная_точка - массив, задающий начальную точку для по-
иска решения.
Для использования функции fsolve решаемую систему уравнений необхо-
димо преобразовать к виду, где правые части уравнений представляют собой
нули.
Пример 4.25 - Решить систему уравнений:
x
1
2
— x
1
х
2
=
е
-X1
x
2
2
— x
1
х
2
= е
-X2
.
Для этого требуется сначала преобразовать систему:
x
1
2
— x
1
х
2
- е
-X1
=
0
x
2
2
— x
1
х
2
- е
-X2
= 0.
Создадим функцию (М-файл), реализующую левые части уравнений ре-
шаемой системы:
function z=sist_ur(x)
z=[x(l)^2-x(1)*x(2)- ехр(-х(1)); х(2)^2+х(1)*х(2)- exp(-x(2))];
Для решения системы уравнений следует ввести:
[x,y,k]=fsolve('sist_ur',[0 0])
Здесь [0 0] - начальная точка для поиска решения системы уравнений.
На экран выводятся следующие результаты:
х =
0.9066 0.4611
У =
1.0е-011 *
0.2307
-0.0560
к =
1
Это означает, что решение системы уравнений следующее: x
1
=0,9066,
x
2
=0,4611. Переменная у представляет собой массив правых частей уравнений
при найденных значениях переменных х. Видно, что в данном случае правые
1ll
части уравнений практически равны нулю, что подтверждает правильность
найденного решения. Переменная r - код результата, возвращаемый функцией
fsolve; r=1 означает, что решение системы уравнений найдено.
Примечание - Функцию fsolve можно использовать и для решения одиночных уравне-
ний (например, для уравнения из примера 4.23).
4.9 Поиск экстремумов функций одной переменной
Для поиска минимумов функций одной переменной y=f(x) используются
следующие функции Matlab:
fminsearch('функция',x
0
)
или
fminsearch(функция', a, Ь),
где 'функция' - функция f(x), для которой требуется найти минимум, или имя
М-файла, реализующего эту функцию;
x
0
- значение переменной, в окрестности которого ищется минимум;
a, b - границы отрезка, на котором ищется минимум.
Если функция y=f(x) имеет несколько минимумов, то функции fminsearch
и fminbnd находят лишь один из них. Другие минимумы требуется определять,
изменяя значения x
0
, а или b.
Если требуется найти максимум функции y=f(x), то необходимо использо-
вать функции Matlab fminsearch или fminbnd, указав в них функцию f(x), ум-
ноженную на -1.
Примечание - Функция fminsearch может применяться также для поиска экстремумов
функций нескольких переменных (см. подраздел 4.10).
Пример 4.26 - Найти все точки экстремума функции y=0,25x+sin(x)-l для
значений х от 0 до 10, используя функцию fminbnd.
Предварительно следует построить график функции y=0,25x+sin(x)-l, что-
бы примерно определить, где находятся точки экстремума. График этой функ-
ции показан на рисунке 4.2.
Из графика видно, что на заданном отрезке функция имеет один минимум
и два максимума. Для поиска точки минимума следует ввести:
[x,y,k]=fminbnd('fun',4,5)
М-файл fun.m подготовлен при решении примера 4.23. Минимум ищется
на отрезке от 4 до 5 (конечно, можно задать и другие границы). На экран выво-
дятся следующие результаты: х=4,4597, у=-0,8533, к=1. Это означает, что ми-
нимум достигается при х=4,4597, при этом у=-0,8533. Код результата к=1 озна-
чает, что минимум найден.
Для поиска максимумов следует создать еще один М-файл, где исследуе-
мая функция будет указана с обратным знаком, например:
112
function y=fun_minus(x)
y=-(0.25*x+sin(x)-l);
Сохраним его под именем fun_minus.m.
Например, для поиска максимума на отрезке от 1 до 2 следует ввести:
[x,y,k]=fminbnd('fun_minus',l,2)
Результат должен быть следующим: х=4,4597, у=0,8533. Аналогично опре-
деляется еще одна точка максимума: х=8,1066, у= 1,9945.
Пример 4.27 - Найти все точки экстремума функции y=0,25x+sin(x)-1 для
значений х от 0 до 10, используя функцию fminsearch.
Например, дня поиска первой точки максимума (в окрестности точки х=4)
следует ввести:
[x,y,k]=fminsearch('fun_minus',2)
Аналогично определяются другие точки экстремума.
Примечание - Вместо имени М-файла в функциях fminsearch и fminbnd можно указы-
вать саму функцию, для которой требуется определить экстремум, например:
[x,y,k]=fminsearch('-(0.25*x+sin(x)-l)',2).
Пример 4.28 - Найти все точки экстремума функции у = 5 - 2/х - х
2
+ 10 sin х
и все решения уравнения 5 - 2/x - х
2
+ 10sin х = 0 для значений х от -10 до 10.
4.10 Поиск экстремумов функций нескольких переменных
Для поиска минимумов функций нескольких переменных используется
функция Matlab fminsearch('функция*, x
0
), где x
0
- массив, задающий началь-
ную точку для поиска решения.
Пример 4.29 - Найти точку минимума следующей функции двух перемен-
ных: f(x
1
,х
2
) = (х
1
-5)
2
(х
2
-2)
2
- (х
1
-5)(х
2
-2).
Создадим М-файл, реализующий исследуемую функцию:
function f=fun2(x)
f=((х(1)-5)^2)*((х(2)-2)^2)-(х(1)-5)*(х(2)-2);
Сохраним этот М-файл под именем fun2.m.
Для поиска экстремума следует в командном окне ввести:
[x,y,k]=fminsearch('fun2',[0 0])
Здесь в качестве начальной точки для поиска экстремума используется на-
чало координат. Результат должен быть следующим: х
1
=0,3534, х
2
=1,8924,
у=-0,2500.
113
4.11 Решение задач линейного программирования
Понятие задачи линейного и нелинейного программирования рассмотрено
в подразделе 3.4. В Matlab процедура решения задач линейного и нелинейного
программирования существенно различается. Решение задач линейного про-
граммирования рассматривается в данном подразделе, а задач нелинейного
программирования - в подразделе 4.12.
Пример 4.30 - Решить следующую задачу линейного программирования:
Е = 5х
1
+ 4х
2
+
12х
3
—>
max
2х
1
+ 6x
2
+x
3
>= 100
3х
1
+2х
2
+ 4х
3
<= 1000
3х
1
+ 2х
2
<=
600
х
1
<= 20
х
2
>=
10
х
1
=
2х
2
х
1
+ х
2
+ х
3
= 1
х
i
>=0, i=1,...,3.
Здесь требуется найти значения переменных х
1
x
2
, х
3
, при которых целевая
функция Е будет иметь максимальное значение при соблюдении всех указан-
ных ограничений.
Чтобы решить такую задачу в Matlab, требуется привести ее к следующей
стандартной форме:
- целевая функция должна подлежать минимизации;
- все ограничения-неравенства должны иметь вид <=;
- все ограничения-равенства должны иметь в правой части число (а не
переменную и не выражение).
Примечание - Ограничения на минимальные и максимальные значения отдельных пе-
ременных могут иметь вид как <=, так и >=
Приведем к стандартной форме решаемую задачу:
-Е
=
5х
1
+
4х
2
+
12х
3
—>
min
-2х
1
- 6x
2
- х
3
<=
-100
3х
1
+ 2х
2
+ 4х
3
<= 1000
3х
1
+ 2х
2
<= 600
х
1
<= 20
-х
2
<= -10
х
1
- 2х
2
=
0
х
1
+ х
2
+ х
3
= 1
х
i
>= 0, i=1,...,3.
114
Для решения задач линейного программирования в Matlab используется
функция
linprog(f, a, b, a
r
, b
r
x
min
, x
max
)
где f - массив-столбец коэффициентов целевой функции, подлежащей миними-
зации;
а - матрица коэффициентов ограничений-неравенств, имеющих вид "мень-
ше или равно" (коэффициенты каждого ограничения указываются в от-
дельной строке матрицы);
b - массив-столбец правых частей ограничений-неравенств;
а
r
- матрица коэффициентов ограничений-равенств (коэффициенты каждого
ограничения указываются в отдельной строке матрицы);
b
r
- массив-столбец правых частей ограничений-равенств;
Xmin
-
массив-столбец ограничений на минимальные значения переменных;
Хmах -
массив-столбец ограничений на максимальные значения переменных.
Так как для функции linprog требуется задавать много исходных данных,
удобно не вводить их в командном окне, а подготовить эти данные в М-файле
(сценарии) и вызывать функцию linprog из этого же М-файла. Следует вызвать
редактор М-файлов (командой File - New - M-file) и ввести следующий текст:
f=[-5;-4;-12];
а = [-2,-6,-1;3,2,4;3,2,0;1,0,0;0,-1,0];
b = [-100; 1000; 600; 20; -10];
аr = [1, -2,0; 1,1,1];
br
=
[0;
1];
xmin = [0; 0; 0];
[х, е, k] = linprog(f, a, b, ar, br, xmin)
В данном случае не используется массив ограничений на максимальные
значения переменных. В последней строке (т.е. в вызове функции linprog) не
указана точка с запятой, чтобы результаты выводились на экран.
Здесь использованы три выходных параметра функции linprog: х - массив
значений переменных x, представляющих собой решение задачи; е - значение
целевой функции (в данном примере оно будет получено с обратным знаком,
так как целевая функция умножалась на -1 для приведения к стандартной фор-
ме); к - код результата, возвращаемый функцией linprog (k=l, если решение
успешно найдено).
Необходимо сохранить этот файл (например, под именем lp.m), закрыть
редактор М-файлов и вернуться в командное окно. Для решения задачи следует
в командном окне ввести 1р.
Результат должен быть следующим: x
1
=20, x
2
=10, x
3
=70, E=980.
Рассмотренный способ решения задачи - не единственно возможный.
Можно, например, указать ограничение х
2
>= 10 как одно из ограничений на ми-
нимальные значения переменных, аx
1
<= 20 - как ограничение на максимальное
115
значение переменной. Тогда М-файл для вызова функции linprog будет иметь
следующий вид:
f=[-5; -4; -12];
а = [-2,-6, -1;3, 2, 4; 3,2,0];
b = [-100; 1000; 600];
аr = [1,-2,0; 1,1,1];
br
= [0; 1];
xmin = [0; 10; 0];
xmax = [20; inf; inf];
[x, e, k] = linprog(f, a, b, ar, br, xmin, xmax)
Здесь inf - стандартное обозначение бесконечности. Оно используется по-
тому, что для переменных х
2
и х
3
ограничения на максимальные значения не за-
даны.
Примечание
-
Если
в
задаче
отсутствуют
ограничения-равенства,
то
функция
linprog
вызывается следующим образом:
linprog(f, а, b, [], [],x
min
, x
max
)
Другими словами, если требуется пропустить какие-либо входные параметры функции,
то вместо них указываются пустые матрицы ([]). Это относится не только к функции linprog,
но и ко всем функциям Matlab.
Пример 4.31 - Решить следующую задачу линейного программирования:
Е
=
0,5x
1
+
1,2x
2
—> min
x
1
>=200
х
2
>= 100
25x
1
+40x
1
>= 20000
2x
1
+7x
2
<= 2500
x
1
>=
0,
х
2
>=
0.
Пример 4.32 - Решить следующую задачу линейного программирования:
Е = 20x
1
+ 25х
2
+ 17х
3
-> min.
4x
1
+
5х
2
+ 2х
3
>=
400
x
1
+ х
2
+ 4х
3
>=
250
x
1
+ х
2
+ х
3
= 150
2x
1
+ х
2
+ х
3
<=
300
x
i
>=0,i=1,...,3.
116
4.12 Решение задач нелинейного программирования
Решение таких задач рассмотрим на следующем примере.
Пример 4.33 - Решить следующую задачу нелинейного программирования:
х
1
+x
2
+ х
3
>=
50
3х
1
+ 2х
2
<= 600
х
2
>=
10
х
1
=
2х
2
х
1
х
2
+ х
2
x
3
<= 2000
х
1
х
2
>=
100
х
2
2
+х
3
2
=1000
х
i
>=0, i=1,...,3.
Чтобы решить задачу нелинейного программирования в Matlab, требуется
привести ее к следующей стандартной форме:
- целевая функция должна подлежать минимизации;
- все линейные ограничения (как равенства, так и неравенства) приводят-
ся к стандартной форме, как и для задач линейного программирования
(см. подраздел 4.11);
- все нелинейные ограничения должны иметь в правой части ноль, при-
чем все нелинейные ограничения-неравенства должны быть приведены
к виду <0.
Приведем к стандартной форме решаемую задачу:
-х
1
- х
2
- х
3
<=
-50
3х
1
+
2х
2
<=
600
-х
2
<=-10
х
1
-
2х
2
=
0
х
1
х
2
+ х
2
х
3
-2000 <= 0
-x
1
-x
2
+ 100 <= 0
х
2
2
+х
3
2
-1000 =0
х
i
>=0, i=1,...,3.
117
Для решения задач нелинейного программирования в Matlab используется
функция:
fmincon('ц_ф', х
0
, a, b, a
r
, b
r
,x
min
, x
max
, 'н_о')
где 'ц_ф'- целевая функция или имя М-файла, реализующего эту функцию;
х
0
- массив-строка, задающий начальные значения переменных;
а - матрица коэффициентов линейных ограничений-неравенств (ко-
эффициенты каждого ограничения указываются в отдельной
строке матрицы);
b - массив-столбец правых частей линейных ограничений-
неравенств;
а
г
- матрица коэффициентов линейных ограничений-равенств (коэф-
фициенты каждого ограничения указываются в отдельной строке
матрицы);
b
r
- массив-столбец правых частей линейных ограничений-равенств;
x
min
- массив-столбец ограничений на минимальные значения перемен-
ных;
x
max
- массив-столбец ограничений на максимальные значения пере-
менных;
'н_о' - имя М-файла (функции), реализующего нелинейные ограничения
задачи.
Создадим М-файл, реализующий целевую функцию решаемой задачи:
function f=cel_fun(x)
f=exp(x(l))/(x(2)*exp(x(3)));
Сохраним этот М-файл под именем cel_fun.m.
Требуется также создать М-файл, реализующий нелинейные ограничения.
Этот М-файл должен представлять собой функцию, имеющую два выходных
параметра: первый - массив нелинейных ограничений-неравенств, второй -
массив нелинейных ограничений-равенств (именно в указанном порядке):
function [ner, rav]=nel_ogr(x)
ner=[х(1)*х(2)+х(2)*х(3)-2000; -х(1)*х(2)+100];
rav=[x(2)^2+x(3)^2-1000];
Сохраним этот М-файл под именем nel_ogr.m.
Здесь пег - массив ограничений-неравенств, rav - массив ограничений-
равенств.
Примечание - Если в задаче нелинейного программирования отсутствуют нелинейные
ограничения какого-либо вида (равенства или неравенства), то вместо них указывается пус-
той массив. Например, если бы в данной задаче отсутствовали нелинейные ограничения-
равенства, то М-файл, задающий нелинейные ограничения, имел бы следующий вид:
function [ner, rav]=nel_ogr(x)
ner=[х(1)*х(2)+х(2)*х(3)-2000; -х(1)*х(2)+100];
rav=[];
118
Для решения задачи нелинейного программирования требуется вызвать
функцию fmincon. Как и для функции linprog, для нее требуется задавать мно-
го исходных данных. Поэтому для ее вызова также используем файл-сценарий:
х0=[1,1,1];
а=[-1, -1, -1; 3,2,0; 0,-1, 0];
b=[-50; 600; -10];
ar=[1,-2,0];
br=[0];
xmin=[0; 0; 0];
[x,e,k]=fmincon('cel_fun',x0,a,b,ar,br,xmin,[],
'
nel_ogr')
Здесь в качестве начальных значений переменных задано x
1
= x
2
= х
3
= 1
(массив x0). Смысл выходных параметров функции fmincon (переменные х, е
и к) тот же, что и при решении задачи линейного программирования.
Сохраним этот файл-сценарий, например, под именем nlp.m. Для решения
задачи следует в командном окне ввести nlp.
Результат должен быть следующим: x
1
=20, х
2
=10, х
3
=30, E=4,54х10
-6
.
Примечание - Функцию fmincon можно использовать и для решения задач линейного
программирования (см. подраздел 4.11). Однако делать это не рекомендуется.
Пример 4.34 - Решить задачу нелинейного программирования:
Е = x
1
x
2
+2x
1
Х
3
+2х
2
х
3
—> min
x
1
х
2
х
3
= 100
x
i
>=0, i=l,...,3.
Пример 4.35 - Решить задачу нелинейного программирования:
Е=5х
]
- 0,2x
1
2
+ 2x
2
- 0,2x
2
2
-> max
13x
1
+ 6х
2
<=90
8x
1
+ 11х
2
<=
88
x
1
>=
0,
х
2
>=
0.
4.13 Решение дифференциальных уравнений
Для решения дифференциальных уравнений в Matlab имеется ряд специ-
альных функций, называемых решателями. Они различаются по применяемым
математическим методам, поэтому выбирать решатель следует в зависимости
от вида дифференциального уравнения. Полная информация о решателях диф-
ференциальных уравнений имеется в справочной системе Matlab.
Рассмотрим применение одного из этих решателей - ode45. Решатель
ode45 реализует метод Рунге-Кутта четвертого и пятого порядков и предназна-
чен для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений сле-
дующего вида:
119