Барметов Ю.П. Диагностике и надежности систем автоматизации

Подождите немного. Документ загружается.

       

dttPdttPdttPdPdPdPdPdP

210211210011

2 

       

tPtPtP

210

2 

   

dttPdttPdPdPdP

1212212



   

tPtP



Полученная система уравнений совпадает с системой (6.5).

Граф состояний для метода переходных интенсивностей подобен

представленному на рис. 14, но на нем отсутствуют ветви

сохранения состояний, а на ветвях перехода указываются

интенсивности перехода (рис. 15)

Рис. 15. Граф состояний для метода переходных интенсивностей

В общем случае, чтобы не повторять вывод, систему

уравнений по графу состояний составляют в следующем порядке:

- для каждого i –го состояния в левой части уравнения

записывают производную вероятности нахождения системы

в данном i-м состоянии;

- в правой части со знаком минус записывают вероятность

i-го состояния, умноженную на сумму интенсивностей всех

переходов, выполняемых из i-го состояния в другие;

- к указанному произведению прибавляют сумму

вероятностей всех состояний, из которых происходит

переход в i-е, умноженных на соответствующие

интенсивности переходов.

В записанной системе сумма правых частей всех уравнений

должна быть равна нулю.

6.4. Определение функции готовности

восстанавливаемых систем

Как указывалось ранее, функция готовности, равная

вероятности работоспособного состояния системы в момент

времени t, равна сумме вероятностей работоспособных

состояний. Для рассмотренного примера

     

tPtPtF

г 10



Чтобы найти

 

необходимо решить систему

дифференциальных уравнений (6.5) при соответствующих

начальных условиях. Обычно систему запускаю из полностью

исправного состояния, т. е.

 

P

   

000

PP

. (6.6)

Известно несколько методов решения систем обыкновенных

дифференциальных уравнений, записанных в форме Коши. В

частности, можно привести систему (6.5) к системе независимых

уравнений более высокого порядка, воспользовавшись

матричной формой записи системы

   

PAP 

где А – матрица постоянных коэффициентов дифференциальных

уравнений;

)t(P

- вектор переменных вероятностей;

и приводя матрицу А к диагональному виду, решать полученные

уравнения независимо.

Можно пойти более примитивным путем, а именно,

выразить из первого уравнения системы (6.5)

 

подставить во второе и третье.

     

 

tPtPtP

001







, (6.7)

   

 

     

 

 

tPtP)(tPtPtP

''''

0000











(6.8)

   

 

 

tPtPtP

200







. (6.9)

Упрощая уравнение (6.8) и выразив из него

 

   

 

)(

'''















, (6.10)

подставим

 

в (6.9)

   

     

 

   

 

.tP

)(

tPtPtP

)(

'''

'''''

000

































Упрощая, получим уравнение для

 

     

 

02223

 tPtPtP

''''''

. (6.11)

Записываем характеристическое уравнение

 

02223

2223

 kkk

, (6.12)

находим корни

k

   

 

2242323





или

 

423





Решение уравнения (6.11) запишется как

     

tkexpCtkexpCCtP

332210



. (6.13)

Для определения постоянных С

необходимо определить

начальные значения

 

при

0t

воспользовавшись начальными условиями (6.6) и уравнениями

(6.7), (6.10) при

0t

Тогда,

 

P

 

 20

   

 222320

)(P

Выражение (6.13) с учетом начальных условий дает три

уравнения для поиска постоянных С:

 

3210

 CCCP

 

 20

33220

kCkCP

   

 220

220

kCkCP

Определив

 

, выражение для

 

получим

подстановкой

 

в (6.7).

Лекция 7.

Определение функции готовности с использованием

преобразований Лапласа

Решать систему (6.5) можно также с помощью

преобразований Лапласа, применяя которые к систем (6.5)

получим

       

sPsPPssP

1000

20 

         

sPsP)(sPPssP

21011

20 

(6.14)

       

sPsPPssP

2122

0 

С учетом начальных условий (6.6) систему (6.14) перепишем

в виде:

     

 sPsPs

     

210

 sPsP)s(sP

(6.15)

     

 sPssP

Система линейных алгебраических уравнений (6.15) в

матричной форме

 













































s - 0

- s 2-

0 - 2

Главный и дополнительные определители коэффициентов

системы:

       

 

 

sss

sssss

2232

222





    

2  ssss

 

 s2

2

Изображения по Лапласу вероятностей работоспособных

состояний, получаемые через определители, будут равны

 

 

sss

2232

222











, (6.16)

 

 

sss

2232

222











. (6.17)

Для выполнения обратного преобразования Лапласа можно

воспользоваться формулой вычетов:

 

    

 

stexpsssP

lim













где L – количество различных корней уравнения

 

0 s

;

кратность i – го корня;

- корни уравнения

 

0 s

Если все корни уравнения

 

0 s

не повторяются, то

формула вычетов принимает более простой вид

 

   

 













































stexp

limstexpss

limtP

где L – количество корней уравнения

 

0 s

;

- корни

уравнения

 

0 s

;

 





Расчет коэффициента готовности системы

Из определения, данного ранее,

 

tFlimK





. Получать

коэффициент готовности можно различными путями. Наиболее

сложный из них – с получением функции готовности и

последующим предельным переходом при

t

Если воспользоваться преобразованиями по Лапласу

системы дифференциальных уравнений (6.5) и получить

изображения вероятностей рабочих состояний как в

рассматриваемом примере (6.16), (6.17), то предельное значение

во временной области легко получить, воспользовавшись

правилом предельного перехода между функцией – оригиналом

и ее изображением:

   

0



ssFlimtflim

Следовательно,

     

 

sPsPslimssFlimK

г 10





Еще более простой путь – это переход к пределу

непосредственно для системы дифференциальных уравнений

(6.5). Если существует некоторое постоянное значение, к

которому стремится функция при

t

, то производная этой

функции будет стремиться к нулю. Тогда система (6.5) при

t

примет вид:

 PP

210

 PP)(P

, (6.18)

 PP

где

 

tPlimP





Поскольку сумма всех уравнений равна нулю, система

недоопределена, т. к. одно из уравнений является линейной

комбинацией других. Чтобы сделать систему определенной,

следует любое уравнение заменить суммой вероятностей всех

состояний, которая, как известно, равна единице. Заменяют

обычно самое громоздкое уравнение, каковым в системе (6.18)

является второе уравнение:

 PP

210

 PPP

 PP

Решая последнюю систему, находим предельные значения

вероятностей рабочих состояний, сумма которых равна

коэффициенту готовности

PPK



Расчет среднего времени наработки на отказ

Выражение для среднего времени наработки на отказ дано

формулой (6.3), параметр пока отказов w(t) – формулой (6.1).

Для рассматриваемого примера

     

tPtPtF

г 10



   

tPtw



, так как единственное работоспособное состояние

из которого происходит переход в неработоспособное это первое,

а интенсивность перехода -  . Тогда

   

 

 





dttP/dttPtP

Лекция 8.

Расчет вероятности безотказной работы и среднего времени

наработки до первого отказа

Если на графе переходов запретить все возвраты из

неработоспособных состояний в работоспособные, то сумма

вероятностей работоспособных состояний будет являться

вероятностью безотказной работы системы и с увеличением

времени она будет стремиться к нулю. Интеграл от этой

вероятности на всем интервале времени равен среднему времени

наработки до отказа.

Граф для расчета этих показателей надежности показан на

рис. 16, система уравнений приведена ниже.

Рис. 16. Граф для расчета вероятности безотказной работы

   

tPtP

2 

   

tP)(tP

2 

Поскольку во второе уравнение последней системы не вошла

вероятность второго состояния, то нет и необходимости

составлять уравнение для этого состояния. Решая систему,

определяем

 

. Сумма вероятностей всех рабочих состояний

определяет в данном случае вероятность безотказной работы

системы

     

tPtPtP

c 10



, а среднее время наработки до

отказа равно

 







dttPT

ccp

Если система уравнений громоздкая, можно воспользоваться

преобразованиями Лапласа и их свойствами о интегрировании

оригинала и о предельном переходе. С учетом этих свойств,

среднее время наработки до отказа может быть получено как

 

sPlimT

0

