Барметов Ю.П. Диагностике и надежности систем автоматизации

Подождите немного. Документ загружается.

закону распределения Пуассона:

at)exp(

(at)

(t)P



(4.1)

где а – параметр распределения.

Математическое ожидание числа отказов (событий) за

время t носит название ведущей функции потока и для закона

распределения Пуассона она равна:













at)exp(

(at)

n(t)nPt}m{n,W(t)

atexp(at)at)exp(at

1)!(n

(at)

at)exp(at















(4.2)

Среднее время между отказами T

=t/W(t)=1/a.

Производная по времени от ведущей функции потока

называется параметром потока. Для простейшего потока отказов

параметр потока равен a, т. е.

ω(t) 

. (4.3)

Сравнивая распределение Пуассона с экспоненциальным,

можно сделать вывод, что для простейшего потока отказов

параметр потока а аналогичен интенсивности отказов .

Для нестационарного пуассоновского потока событий

вероятность возникновения n событий на интервале (0, t) равна

 

 

 

















dττaexp

dττa

(t)P

(4.4)

ведущая функция потока

   





dττatW

, (4.5)

параметр потока

a(t)ω(t) 

. (4.6)

4.2. Ненагруженный резерв или резервирование

замещением.

Если система состоит из основного и N-1 резервных

элементов, включающихся в работу по мере отказа предыдущих,

включенных ранее, то структурная схема для расчета надежности

имеет следующий вид (см. рис. 13). Отказы элементов в такой

системе образуют простейший поток случайных событий,

вероятность свершения которых на интервале времени (0,t)

подчиняется закону распределения Пуассона (4.1). Система

откажет только после отказа всех N элементов и сохранит

работоспособность до отказа N-1 элемента включительно.

Вероятность безотказной работы такой системы равна сумме

вероятности несовместимых событий, т.е. сумме вероятностей

отсутствия отказов, отказа одного, двух, трех и т. д. до N –1

элемента

(t)...Q(t)Q(t)QP(t)

1-N



или











1-N

(at)

at)exp(at)exp(

(at)

(t)QP(t)

,(4.5)

где a=.

Среднее время наработки системы до отказа сумме средних

значений наработки до отказа всех N элементов





icp

Рис. 13. Резервирование замещением

Ненагруженный резерв.

Так как резервный элемент включается только после отказа

одного из работавших ранее, постоянно в работе находится N

элементов. Для систем с постоянной интенсивностью отказов

поток отказов является простейшим и вероятность отказов

подчиняется распределению Пуассона (4.1). Выражения для

безотказной работы аналогично (4.5), однако параметр потока

отказов в связи с тем, что одновременно работают N элементов,

равен а=N.

Лекция 5.

6. Расчет надежности восстанавливаемых систем.

6.1 Показатели надежности восстанавливаемых систем.

Основным отличием восстанавливаемых систем от

невосстанавливаемых с точки зрения показателей надежности

является то, что после отказа система некоторое время находится

в нерабочем состоянии (восстанавливается), затем вновь

переходит в рабочее состояние, вновь отказывает,

восстанавливается, и т.д. Поскольку чередование состояний

системы представляет собой некоторый поток событий, для

характеристики надежности такой системы используются

показатели потоков событий.

Ведущая функция потока отказов

Если система резервированная, процесс восстановления

резервированных отказавших элементов проходит без

отключения системы и последняя может отказать только если

отказал элемент, у которого в момент отказа нет резервного.

Также как и для невосстанавливаемых систем используется

вероятность безотказной работы на интервале времени P(t),

вероятность отказа Q(t), среднее время наработки до первого

отказа Тср, интенсивность отказов и плотность распределения

вероятности отказов. Помимо этих параметров используются:

- вероятность восстановления объекта за заданное время t,

равная вероятности того, что время восстановления не превысит

заданное

   

ttPtS



или статистическая оценка вероятности, равная отношению

восстановленных за время t объектов к количеству объектов,

поставленных на восстановление:

 

овв

N/NtS



;

- вероятность отсутствия восстановления объекта за

заданное время t

   

tStR 1

;

- плотность распределения вероятности восстановления

 

ta 

;

- интенсивность восстановления

 

t 

;

- среднее время восстановления

   

dttRdttatT







;

- дисперсия времени восстановления

   

dttaTtD

вв







;

- ведущая функция потока отказов W(t), равная

математическому ожиданию числа отказов за время t,

- параметр потока отказов

 

tw 

   

 

 



ji,j

tPtw

1 1

, (6.1)

где

 

- вероятность работоспособного состояния из

которого возможен переход в неработоспособное;

i,j



интенсивность перехода из j – го работоспособного

состояния в i – е неработоспособное; J, I – количество

работоспособных и неработоспособных состояний объекта;

статистическая оценка параметра потока подобна оценке

интенсивности отказов

   

 

tN/tntw



где

 

tn 

- количество отказов за малое время

t

при

условии, что отказавший объект заменяется новым или

восстанавливается, N – количество объектов, находящихся в

эксплуатации;

- функция готовности F

(t), равная вероятности того, что в

момент времени t объект будет работоспособным,

учитывающая возможность как сохранения

работоспособности, так и восстановления ее после ремонта

отказавшего объекта;

- коэффициент готовности, равный вероятности

работоспособного состояния объекта в произвольный

момент времени его использования и определяемый как

предел функции готовности

 

tFlimK





; (6.2)

- коэффициент оперативной готовности, равный

вероятности того, что объект в произвольный момент

времени , кроме планируемых перерывов в работе, окажется

работоспособным и с данного момента будет работать

безотказно в течение заданного времени

 

згог

tPKK 

;

- среднее время наработки на отказ на интервале (0,t)

определяется как отношение среднего времени

работоспособного состояния объекта за время t к

математическому ожиданию числа отказов за время t

 





dttw

dttF

, (6.3)

для бесконечно большого интервала эксплуатации (при

t

)

 

twlim





; (6.4)

- гамма – процентная наработка на отказ – наработка, в

течение которой с вероятностью гамма отказ не возникнет;

- ресурс – наработка от начала эксплуатации до перехода

объекта в предельное состояние, при котором дальнейшее

использование его либо невозможно, либо нецелесообразно;

- средний ресурс – математическое ожидание ресурса:

- назначенный ресурс – установленная в нормативно –

технической документации суммарная наработка, при

достижение которой эксплуатацию объекта следует

прекратить;

- срок службы – календарная продолжительность от начала

эксплуатации объекта до перехода его в предельное

состояние.

6.2. Метод переходных вероятностей в расчете

показателей надежности систем

Метод может быть использован при любом законе

распределения времени наработки до отказа элементов систем.

Рассмотрим его на примере системы (рис.13), состоящей из

дублированного объекта с нагруженным резервным элементом,

причем, интенсивности элементов одинаковы, восстановление

производит одна бригада и интенсивность восстановления

постоянна и равна .

Рис. 13. Дублированный объект

Для расчета показателей надежности восстанавливаемых

систем составляют граф – схему состояний системы (граф

переходов)(рис. 14), на которой вершинами графа обозначают

все возможные состояния системы, а направленными ветвями –

возможные переходы между состояниями за бесконечно малый

промежуток времени. При составлении графа придерживаются

принципа ординарности, т.е. принципа невозможности

возникновения больше одного отказа или восстановления за

бесконечно малый промежуток времени. Для рассматриваемого

примера возможны следующие состояния:

0 – все элементы работают (система работоспособна);

1 – отказал один из элементов (система работоспособна);

2 – отказали оба элемента (система неработоспособна).

Неработоспособное состояние на графе заштриховано.

При нахождении системы в нулевом состоянии, за время t

она может сохранить это состояние с вероятностью

 

tP 

либо перейти с вероятностью

 

tP 

в первое состояние в

результате отказа одного из элементов.

Рис. 14. Граф состояний системы

Если же система в момент времени t находилась в первом

состоянии, то за время t она может перейти в нулевое состояние

в результате восстановления отказавшего ранее элемента,

перейти во второе состояние в результате отказа

работоспособного элемента, либо сохранить первое состояния,

если не произойдет ни отказа, ни восстановления. Аналогично

для второго состояния возможен либо переход в первое

состояние при восстановлении одного из элементов, либо

сохранение состояния.

Наиболее простые зависимости для условных вероятностей

переходов получаются при экспоненциальном распределении

времени наработки до отказа:

       

texptP/ttPtP  2

Раскладывая экспоненту в ряд Тейлора и ограничиваясь

первыми двумя членами, что вполне допустимо при бесконечно

малом t, получим упрощенную линейную зависимость:

 

ttP  21

Запишем остальные вероятности, используя формулы для

экспоненциального распределения и разложение в ряд:

   

ttexptP  221

   

ttexptP  1

     

t)(texptexptP  1

   

ttexptP  1

   

ttexptP  1

   

ttexptP  1

Используя приведенные зависимости, запишем вероятности

для всех состояний в момент времени t+t:

         

tPtPtPtPttP

1100000



             

tPtPtPtPtPtPttP

2211110011



         

tPtPtPtPttP

2221122



Подставляя выражения для условных вероятностей

переходов, получим

       

ttPtPtttP

100

21 

   

 

   

ttPtPt)(ttPttP

2101

12 

       

tPtttPttP

212

1 

Раскрывая скобки в правых частях последней системы

уравнений и перенося вероятности с единичным коэффициентом

в левую часть, перепишем систему в следующем виде:

       

ttPttPtPttP

1000

2 

         

ttPttP)(ttPtPttP

21011

2 

       

ttPttPtPttP

2122



Разделив левые и правые части уравнений на

t

и переходя

к пределу при

0t

, получим систему дифференциальных

уравнений

   

tPtP

2 

     

tPtP)(tP

210

2 

, (6.5)

   

tPtP



Решая полученную систему, определяем вероятности

нахождения системы в рабочих состояниях

 

нерабочем -

 

Сумма вероятностей всех рабочих состояний определяет

вероятность работоспособного состояния системы и равна

функции готовности

     

tPtPtF

г 10



Лекция 6.

6.3. Метод переходных интенсивностей в расчете

показателей надежности систем

Обоснование метода достаточно близко к предыдущему

обоснованию, но применим метод только для экспоненциального

распределения времени наработки до отказа элементов. Так, для

схемы рис. 13 уменьшение вероятности нахождения системы в

нулевом состоянии в результате отказа одного из элементов

(перехода в первое состояние) за бесконечно малое время dt

равно

   

dttexpdttPdP

 22

001

или

 

dttPdP

001

2 

Уменьшение вероятности первого состояния в результате

отказа работоспособного элемента (переход во второе состояние)

или восстановления отказавшего ранее элемента (переход в

нулевое состояние) за время dt

     

 

dttexpdttPdPdP



11012

или

   

dttPdttPdPdP

1012



Аналогично для второго состояния:

   

dttexpdttPdP



221

или

 

dttPdP

221



Полное изменение вероятности нулевого состояния за время

dt уменьшается на величину

и увеличивается на

   

dttPdttPdPdPdP

1010010

2 

или

   

tPtP

2 

Аналогично для остальных состояний