Баландин Д.В., Коган М.М. Использование LMI toolbox пакета Matlab в синтезе законов управления
Подождите немного. Документ загружается.
λ
min
= min{λ : Γ(X, Y, G
1
, G
2
) < λI, X > 0,
Y > 0 , L
i
(X, Y ) < 0, i = 1, 2, 3},
Γ(X, Y, G
1
, G
2
) = (I G
1
)
X I
I Y
!
I
G
1
!
+
+(G
2
I)
X I
I Y
!
G
2
I
!
,
G
i
= G
T
i
, i = 1, 2
A2 A1
Γ(X, Y, G
1
, G
2
) < λI
Γ(X, Y, G
1
, G
2
) = (G
1
+ Y
−1
)Y (G
1
+ Y
−1
) + (G
2
+ X
−1
)X(G
2
+ X
−1
)+
+(X − Y
−1
) + (Y −X
−1
) ≥ 0
L
3
(X, Y ) < 0 X > Y
−1
λ
min
= 0
X Y A G
1
= −Y
−1
G
2
= −X
−1
j = 0
G
1
= G
(j)
1
G
2
= G
(j)
2
A2
λ
j+1
, X
j
, Y
j
G
(j+1)
1
= −Y
−1
j
G
(j+1)
2
= −X
−1
j
j = j + 1
G
(0)
1
G
(0)
2
λ
j
lim
j→∞
λ
j
= λ
∗
≥ 0 , lim
j→∞
X
j
= X
∗
, lim
j→∞
Y
j
= Y
∗
.
Γ(X, Y, G
1
, G
2
)
∆ρ = ρ(Γ(X
j+1
, Y
j+1
, G
(j+1)
1
, G
(j+1)
2
)) − ρ(Γ(X
j
, Y
j
, G
(j)
1
, G
(j)
2
))
∆ρ = ∆ρ
1
+ ∆ρ
2
=
[ρ(Γ(X
j+1
, Y
j+1
, G
(j+1)
1
, G
(j+1)
2
)) − ρ(Γ(X
j
, Y
j
, G
(j+1)
1
, G
(j+1)
2
))]+
+[ρ(Γ(X
j
, Y
j
, G
(j+1)
1
, G
(j+1)
2
)) − ρ(Γ(X
j
, Y
j
, G
(j)
1
, G
(j)
2
))] .
(j + 1) λ X = X
j+1
Y = Y
j+1
Γ(X
j
, Y
j
, G
(j+1)
1
, G
(j+1)
2
) − Γ(X
j
, Y
j
, G
(j)
1
, G
(j)
2
) =
= (G
(j+1)
1
+ Y
−1
j
)Y
j
(G
(j+1)
1
+ Y
−1
j
) + (G
(j+1)
2
+ X
−1
j
)X
j
(G
(j+1)
2
+ X
−1
j
)−
−(G
(j)
1
+ Y
−1
j
)Y
j
(G
(j)
1
+ Y
−1
j
) − (G
(j)
2
+ X
−1
j
)X
j
(G
(j)
2
+ X
−1
j
) .
G
(j+1)
1
= −Y
−1
j
G
(j+1)
2
= −X
−1
j
Γ(X
j
, Y
j
, G
(j+1)
1
, G
(j+1)
2
) − Γ(X
j
, Y
j
, G
(j)
1
, G
(j)
2
) =
−(Y
−1
j
− Y
−1
j−1
)Y
j
(Y
−1
j
− Y
−1
j−1
) − (X
−1
j
− X
−1
j−1
)X
j
(X
−1
j
− X
−1
j−1
) ≤ 0 .
A − B ≤ 0 ρ(A) ≤ ρ(B) ∆ρ ≤ 0
ρ
j
λ
∗
= 0 X
∗
Y
∗
= I
X
∗
Y
∗
A λ
∗
> 0
A
G
(0)
1
G
(0)
2
λ
j
< ε |λ
j+1
− λ
j
| < ε
¨ϕ − ϕ = u
y = ϕ + ˙ϕ
A =
0 1
1 0
!
, B =
0
1
!
, C = (1 1) .
L
i
(X, Y ) < 0, i = 1, 2 G
(0)
1
G
(0)
2
G
(0)
1
=
0.8709 −0.1795
−0.1795 0.7873
!
, G
(0)
2
=
−0.8842 0.6263
0.6263 −0.9803
!
.
10
−4
ε = 10
−3
λ = 8 · 10
−6
X =
0.8425 0.0028
0.0028 0.6975
!
, Y =
1.1869 −0.0047
−0.0047 1.4337
!
Θ = −2.2263
¨ϕ − ϕ = u
y = ϕ
A =
0 1
1 0
!
, B =
0
1
!
, C = (1 0) .
x
r
∈ R
1
L
i
(X, Y ) <
0, i = 1, 2
W
T
C
0
(A
T
0
X + XA
0
− βX)W
C
0
< 0 , X > 0 ,
W
T
B
T
0
(Y A
T
0
+ A
0
Y −βY )W
B
T
0
< 0 , Y > 0 ,
A
0
B
0
C
0
β/2 = 0, 005
G
(0)
1
= G
(0)
2
[−1, 1] 1000 996
λ
ε = 10
−5
4 − 6
X =
X
11
X
12
X
21
X
22
,
X
11
(n × n) X
22
(m × m)
X
11
6= 0
X
−1
=
X
−1
11
+ X
−1
11
X
12
H
−1
X
21
X
−1
11
−X
−1
11
X
12
H
−1
−H
−1
X
21
X
−1
11
H
−1
,
H = X
22
− X
21
X
−1
11
X
12
.
X
22
6= 0
X
−1
=
K
−1
−K
−1
X
12
X
−1
22
−X
−1
22
X
21
K
−1
X
−1
22
+ X
−1
22
X
21
K
−1
X
12
X
−1
22
,
K = X
11
− X
12
X
−1
22
X
21
.
X
11
6= 0 X
22
6= 0
X
−1
=
K
−1
−X
−1
11
X
12
H
−1
−H
−1
X
21
X
−1
11
H
−1
,
K H
X =
X
11
X
12
X
21
X
22
,
X
11
(n × n) X
22
(m × m)
X
11
X
H = X
22
− X
21
X
−1
11
X
12
X = X
11
H .
X
22
X
K = X
11
− X
12
X
−1
22
X
21
X = X
22
K .
X
11
= X
T
11
X
21
= X
T
12
X
22
= X
T
22
X > 0 ;
X
11
> 0 , X
22
− X
T
12
X
−1
11
X
12
> 0 ;
X
22
> 0 , X
11
− X
12
X
−1
22
X
T
12
> 0 .
X =
X
11
X
12
X
T
12
X
22
,
X
11
X
22
X
11
> 0 X ≥ 0
X
22
− X
T
12
X
−1
11
X
12
≥ 0 .
X
22
> 0 X ≥ 0
X
11
− X
12
X
−1
22
X
T
12
≥ 0 .
X =
X
11
X
12
X
13
X
T
12
X
22
X
23
X
T
13
X
T
23
X
33
.
X
22
> 0 X > 0
X
11
X
13
X
T
13
X
33
−
X
12
X
T
23
X
−1
22
(X
T
12
X
23
) > 0 .
X x =
(x
1
, x
2
, x
3
)
x
T
Xx = (x
2
+ X
−1
22
X
T
12
x
1
+ X
−1
22
X
23
x
3
)
T
X
22
(x
2
+ X
−1
22
X
T
12
x
1
+ X
−1
22
X
23
x
3
)+
+x
T
1
(X
11
− X
12
X
−1
22
X
T
12
)x
1
+ x
T
3
(X
33
− X
T
23
X
−1
22
X
23
)x
3
+
+2x
T
1
(X
13
− X
12
X
−1
22
X
23
)x
3
.
X
22
> 0 X > 0
X
11
− X
12
X
−1
22
X
T
12
X
13
− X
12
X
−1
22
X
23
X
T
13
− X
T
23
X
−1
22
X
T
12
X
33
− X
T
23
X
−1
22
X
23
> 0 ,
A n × n R r × r X
Y n ×r r ×n A + XRY
(A + XRY )
−1
= A
−1
− A
−1
X(R
−1
+ Y A
−1
X)
−1
Y A
−1
.
A (m × n) r
A = (U
1
U
2
)
Σ 0
0 0
V
∗
1
V
∗
2
= U
1
ΣV
∗
1
,
∗
Σ = (σ
1
, ···, σ
r
) , σ
1
≥ ··· ≥ σ
r
> 0 ,
σ
i
= λ
1/2
i
(AA
∗
) A U = (U
1
U
2
) V = (V
1
V
2
)
U
∗
U = I V
∗
V = I
R(A) = (U
1
) , N(A
∗
) = (U
2
) ,
R(A
∗
) = (V
1
) , N(A) = (V
2
) ,
R(·) N(·) (·)
X
11
= X
T
11
> 0 Y
11
= Y
T
11
> 0 (n × n)
X
12
X
22
= X
T
22
(n × k) (k × k)
X =
X
11
X
12
X
T
12
X
22
> 0 ,
X
11
X
12
X
T
12
X
22
−1
=
Y
11
Y
12
Y
T
12
Y
22
Y
12
Y
22
X
11
I
I Y
11
≥ 0 , (I − X
11
Y
11
) ≤ k .
X
11
Y
11
+ X
12
Y
T
12
= I ,
X
11
Y
12
+ X
12
Y
22
= 0 ,
X
T
12
Y
11
+ X
22
Y
T
12
= 0 ,
X
T
12
Y
12
+ X
22
Y
T
22
= I .
I − X
11
Y
11
= X
12
Y
T
12
.
k
k
(I − X
11
Y
11
) ≤ k .
Y
11
= X
−1
11
(I − X
12
Y
T
12
)
X
T
12
X
−1
11
+ (X
22
− X
T
12
X
−1
11
X
12
)Y
T
12
= 0 .
Y
12
Y
12
X
T
12
X
−1
11
+ Y
12
(X
22
− X
T
12
X
−1
11
X
12
)Y
T
12
= 0 .
Y
12
X
T
12
= I − Y
11
X
11
.
(I − Y
11
X
11
)X
−1
11
+ Y
12
(X
22
− X
T
12
X
−1
11
X
12
)Y
T
12
= 0 .
X
−1
11
− Y
11
= −Y
12
(X
22
− X
T
12
X
−1
11
X
12
)Y
T
12
.
X > 0
X
22
− X
T
12
X
−1
11
X
12
> 0 .
X
−1
11
− Y
11
≤ 0 ,
X
11
I
I Y
11
≥ 0 .
X
11
Y
11
(I − X
11
Y
11
) = r ≤ k .
X
11
Y
12
Y
22
Y
−1
11
= X
11
− X
12
X
−1
22
X
T
12
,
X
11
− Y
−1
11
= X
12
X
−1
22
X
T
12
.