Ассаул В.Н. Математика. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный
инженерно-экономический университет»
ЗАОЧНОЕ ОБУЧЕНИЕ
МАТЕМАТИКА
Методические указания к изучению дисциплины
и выполнению контрольной работы №1
для студентов заочной формы обучения
специальностей 060400, 060500, 060800,
061100, 061500, 062200, 351400.
Санкт-Петербург
2005
Допущено
редакционно-издательским советом СПбГИЭУ
в качестве методического издания
Составители
канд. технических наук, доцент В.Н.Ассаул
канд. экономических наук, доцент С.Е.Игнатова
старший преподаватель Н.А.Полозенко
старший преподаватель Т.Н.Грузина
Рецензент канд. экономических наук доцент Малевич.Ю.В.
Подготовлено на кафедре высшей математики
Одобрено научно-методическим советом
специальностей 060400, 060500, 060800,
061100, 061500,062200,351400.
Отпечатано в авторской редакции с оригинал-макета,
представленного составителями
СПбГИЭУ, 2005
2
Содержание
Стр.
Общие положения
Методические указания к изучению дисциплины
Методические указания к выполнению контрольной работы
Выбор варианта 4
Контрольные задания:
Матрицы и определители (задача 1) 13
1.варианты заданий
2.указания к решению
3.примеры
Прямая на плоскости (задачи 2) 19
1.варианты заданий
2.указания к решению
3.примеры
Прямая в пространстве (задача 3) 23
1.варианты заданий
2.указания к решению
3.примеры
Собственные числа и собственные векторы (задача 4). 27
1.варианты заданий
2.указания к решению
3.примеры
Решение систем линейных уравнений (метод Жордана).
(задача 5). 31
1.варианты заданий
2.указания к решению
3.примеры
Требования к оформлению контрольной работы
Список литературы
Приложение 1 (содержание дисциплины)
Приложение 2 (оформление титульного листа)
3
1. Общие положения
1.1. Цель курса – дать необходимый математический аппарат и
привить навыки его использования при решении инженерно-
экономических задач.
Задачи дисциплины - освоение методов математического
моделирования экономических ситуаций, математических методов их
исследования и решения (аналитически и при помощи
вычислительной техники), методов анализа полученных результатов.
Это способствует также развитию логического и алгоритмического
мышления.
Значительная часть материала выносится на самостоятельную
проработку, что служит развитию навыков самостоятельного изучения
литературы по математике и ее приложениям.
1.2. Программа математической подготовки специалистов в
области экономики включает следующие принципы:
1. Изучение высшей математики для формирования
фундаментальных знаний молодого специалиста;
2. Использование высшей математики как аппарата для
экономических исследований;
3. Закладка фундамента для непрерывной математической
подготовки, необходимой для проведения современных
экономических исследований, изучения и внедрения новых
технологий.
1.3.Высшая математика как учебная дисциплина в системе обучения
бакалавров и дипломированных специалистов опирается на школьный
курс математики,используя все его разделы.
Изученные в курсе математики методы и алгоритмы
используются во всех параллельных с ним и последующих за ним
курсах дисциплин.
1.4. При изучении дисциплины студент должен:
знать основные положения в области высшей математики;
уметь использовать основные понятия и теоремы в практической
деятельности; научиться собирать и систематизировать материал
практической деятельности, получить первоначальные навыки его
обработки.
1.5.Формой контроля является экзамен.
4
2. Методические указания к изучению дисциплины
Желательно изучать методическое пособие в порядке изложения
материала. Возможно изучение отдельной темы. В качестве
дополнительной литературы рекомендуется использовать издания
указанные в библиографическом списке.
В методических указаниях приведены краткие теоретические
сведения по каждому типу задач с подробными пояснениями к их
решению. Методические указания могут быть использованы
студентами заочной формы обучения при выполнении контрольных
работ, а также при подготовке к экзаменам.
Необходимость выпуска настоящего пособия вызвана
особенностями заочной формы обучения.
3. Методические указания к выполнению контрольной работы
Приводятся варианты контрольных работ по следующим
разделам курса:
1. Матрицы и определители (задача 1)
2. Прямая на плоскости (задачи 2)
3. Прямая в пространстве (задача 3)
4. Собственные числа и собственные векторы (задача 4).
5. Решение систем линейных уравнений (метод Жордана).
(задача 5).
Выбор варианта контрольной работы
Номер выполняемой работы определяется путем деления шифра
(номера зачетной книжки) на 20 и равен остатку, получающемуся при
делении. Например, для зачетной книжки №1773 это вариант №13.
Контрольные задания
Задача 1
1.1-1.20. Решить матричные уравнения и сделать проверку.
1.1
2 1 1
3 4 2
3 2 4
5 2
1 1
3 2
3
2 0
1 1
2 1
X
1.2
X
1 1 2
2 1 2
4 1 4
1 1 0
0 1 2
2
2 1 1
1 0 1
5
1.3
3 2 1
2 3 1
2 1 3
3
1
4
2
1
1
0
X
1.4
X
2 1 3
1 4 2
1 2 2
2
3 1 2
4 1 3
5
0 1 2
1 2 0
1.5
1 2 4
2 1 1
3 1 1
1 1
2 1
0 2
2
2 1
2 3
1 2
X
1.6
2
1 1 2
4 1 4
2 1 2
3
2
1
3
2
1
1
2
X
1.7
X
2 3 1
3 2 1
2 1 3
1 1 1
2 1 0
3
2 1 3
0 1 2
1.8
X
1 2 4
5 1 2
3 1 1
2 2 1 4 4 3 1 1
1.9
1 1 2
4 1 2
2 1 4
1
2
3
2
4
2
1
X
1.10
3
3 1 2
1 2 4
1 1 1
5 1 1 2 1 3 2
X
1.11
X
2 3 3
1 4 2
1 2 4
2
5 1 3
2 1 2
3
2 1 2
0 1 1
1.12
1 1 2
2 1 2
3 1 4
1 1
2 1
1 1
2 1
1 0
4 1
X
1.13
3 1 4
3 2 2
2 3 1
1 1 3
2 1 1 0X
1.14
5
1 1
2 1
1 1
2 1 1
1 4 2
3 2 2
2
3 4
1 1
2 3
X
1.15
1 2 0
1 1 2
1 2 3
2 1 1
4 1 1
2
2 2 1
1 3 2
X
1.16
1 1 2 2
1 2 4
1 1 1
2 2 4
3 2 1 3
X
1.17
3
2 0
1 1
3 2
3 2 2
2 3 1
1 1 3
2
1 2
1 1
1 0
X
6
1.18
4
3
1
1
1 5 3
2 1 1
4 2 1
2
2
1
4
X
1.19
2 4 2 1
1 4 2
1 1 1
2 2 4
1 2 3
X
1.20
5
1
1
3
3 1 1
1 2 1
2 4 1
2
1
2
X
Указания к задаче 1: матрицы и определители.
Задача 1 связана с действиями над матрицами. Для решения этой
задачи следует использовать следующие сведения:
1)Всякая система
m n
, расположенных в виде прямоугольной
таблицы, содержащей m строк и n столбцов, называется матрицей
размера
m n
и записывается в виде:
A
m n
a a a
n
a a a
n
a
m
a
m
a
mn
a
ij
i m
j n
11 12 1
21 22 2
1 2
1
1
. .
. .
. . . . .
. . . . .
. .
2) Матрица размера
m m
(количество строчек равно количеству
столбиков) называется квадратной матрицей порядка m.
3) Диагональ квадратной матрицы, идущая от левого верхнего
угла к правому нижнему, называется главной диагональю, а вторая
диагональ называется побочной.
4) Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят
единицы, а остальные цифры нули, называется единичной матрицей и
обозначается следующим образом:
E
m m
1 0 0
1 0
0 0 1
.
. .
. . . .
.
5) Две матрицы одной размерности равны друг другу, если равны
все элементы этих матриц, стоящие на одинаковых местах, т.е. если
A
m n
a
ij
i m
j n
m n
b
ij
i m
j n
и A
m n
B
m n
ij
b
ij
i m и вс ех j n
1
1
1
1
1 1
, ,
,
B
т о a для все х
6) Произведением матрицы
A
m n
a
ij
i m
j n
1
1
,
на число
называется матрица
C
m n
, каждый элемент которой
равен произведению соответствующего элемента матрицы
A
m n
на число
.
7
A
m n
C
m n ij
a
ij
i m и всех j n, если с для всех 1 1
7)
Суммой двух матриц одной размерности
A
m n
a
ij
i m
j n
m n
b
ij
i m
j n
1
1
1
1
,
,
B
называется
матрица
C
m n
той же размерности, каждый элемент которой равен
сумме соответствующих элементов матриц
A
m n
и
B
m n
, т.е.
A
m n
+
B
m n
=
C
m n
, где
с + для всех
ij
a
ij
b
ij
i m и всех j n 1 1
8) Умножение матрицы на матрицу
Пусть даны две матрицы
A
m n
и
B
n k
, таких что число столбцов
матрицы А равно числу строк матрицы В . Тогда произведением
матриц
A
m n
и
B
n k
называется матрица
C
m k
,каждый элемент
которой C
ij
равен сумме попарных произведений элементов i-той
строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца
матрицы В, т.е.
С
ij
= a
i1
b
1j
+ a
i2
b
2j
+a
i3
b
3j
+...+a
in
b
nj
для всех i = 1 до m и j = 1 до
к. Заметим, что
A B B A
9) Определители квадратных матриц
Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число,
обозначаемое
A
a a
m
a
m
a
mn
11 1
1
.............
.......................
.............
Рассмотрим определители для матриц первого, второго и третьего
порядков:
а) Пусть А= (а11 ) , тогда
A
a a
11 11
(1)
Из формулы (1) следует, что определитель для матрицы первого
порядка совпадает с элементом матрицы
A
11
б) Пусть
A
a a
a a
11 12
21 22
,тогда
A
a a
a a
a a a a
11 12
21 22
11 22 12 21
(2)
Из формулы (2) следует, что определитель для матрицы второго
порядка равен разности произведений элементов матрицы, стоящих на
главной и побочной диагоналях.
в.) Пусть
A
a a a
a a a
a a a
11 1 2 1 3
21 2 2 23
31 3 2 33
, тогда
A
a a a
a a a
a a a
a a a a a a
a a a a a a a a a a a a
11 12 13
21 22 23
31
32 33
11 22 33 21 32 13
12 23 31 13 22 31 23 32 11 12 21 33
(3)
Формулу (3) запомнить значительно труднее, чем (1) и (2) ,
но это
и не требуется, так как существуют различные правила,
позволяющие
8
легко подсчитать те шесть слагаемых, из которых состоит
определитель для матрицы третьего порядка.
Например, можно использовать «правило треугольников», которое
условно показано на схемах 1 и 2 .
схема 1 схема 2
Первые три слагаемые, входящие в формулу (3) со своим знаком,
подсчитываются в соответствии со схемой 1 , а следующие три
слагаемые, входящие с противоположным знаком, подсчитываются по
схеме 2 .
10) Алгебраическим дополнением элемента а
ij
квадратной
матрицы
A
m m
называется число А
ij
,вычисляемое по формуле:
A M
ij
i j
ij
( ) ,1
где M
ij
-определитель полученный из определителя
матрицы
A
m m
удалением строки с номером i и столбца с номером j .
11)Обратная матрица
Матрица А
-1
называется обратной к матрице А, если
A A A A E
1 1
,где Е - единичная матрица. Из определения
следует, что матрицы А и А
-1
- квадратные матрицы одного порядка.
Квадратная матрица имеет обратную, если ее определитель отличен от
нуля и
A
A A A
A A A
A A A
A
m
m
m m mn
1
11 21 1
12 22 2
1 2
1
......
......
.......................
.....
, где А
ij
-
алгебраические дополнения элемента а
ij
матрицы
A
m m
.
12) Решение простейших алгебраических уравнений
а)
A X B
, где А и В - заданные матрицы, причем А - квадратная
матрица, определитель которой
0
.Тогда
X A B
1
.
б)
X A B
, где А и В - заданные матрицы, причем А - квадратная
матрица, определитель которой
0
.Тогда
X B A
1
Примеры:
1) Выполнить действия:
( )A B C 2
, где
9
A
2 2 2 2
3 1
2 5
5 3 7
1 2 1
, B =
5 - 2
4 1
,
C
2 3
Решение:
2B = 2
5 - 2
4 1
=
10 - 4
8 2
,
( по п. 6)
710
37
52
1
=
28
4-103-
=2B+A
(по п.7)
A + 2B C =
7 3
10 7
5 3 7
1 2 1
7 5 3 1 7 3 3 2 7 7 3 1
10 5 7 1 10 3 7 2 10 7 7 1
32 15 52
57 44 63
( ) ( ) ( ) ( )
( )
(по п.8)
2) Найти А
-1
,если
A
3 1
2 3
Решение:
11
3
11
2
11
1
11
3
32
13
11
1
33
22
1
22
A11
12
1
21
A
22
21
133
11
1
11
A
22
A
12
A
21
A
11
A
1
01129
32
13
1-
Атогда
)( )(
)(
12
A )(
1-
А
и
1-
А существует ьно,следовател
Проверим, верно ли нашли А
-1
. Для этого умножим А на А
-1
и
убедимся, что получим единичную матрицу.
10
01
11
9
11
2
11
6
11
6
11
3
11
3
11
2
11
2
32
13
11
3
11
2
11
1
11
3
Задача 1.
Решить уравнение AX - B = C, где
10