Асмус В.Ф. Логика
Подождите немного. Документ загружается.
Вторая составная часть всякого доказательства – основания, т. е. суждения, истинность которых или
уже установлена, или по крайней мере предполагается несомненной и которые поэтому могут служить
посылками умозаключений, при посредстве которых доказывается положение об истинности (или
ложности) тезиса.
Третья составная часть всякого доказательства – рассуждение (аргументация, демонстрация), т. е.
ряд умозаключений, доказывающих истинность (или ложность) тезиса. В рассуждении сопоставляются
основания, выступающие в качестве посылок умозаключений, с выводами, которые из этих оснований
следуют. Для обозначения частей доказательства в целом употребляются иногда термины «довод» и
«аргумент». Иногда «доводом» (или «аргументом») называют всё доказательство в целом, т. е. тезис,
основания и рассуждение. Иногда же терминами этими обозначаются основания доказательства.
Главнейшие виды доказательств
§ 6. Все доказательства могут быть разделены на две большие группы – в зависимости от того,
исследуется ли в них истинность содержания и правильность логической связи между основаниями и
тезисом или же исследуется происхождение суждений, входящих в доказательство, источник, из
которого эти суждения почерпнуты, условия, при которых они дошли до нас или переданы нам, и т. д.
Те доказательства, в которых исследуется содержание оснований, а также логическая связь между
основаниями и тезисом, называются доказательствами по существу. В этих доказательствах для
удостоверения в истинности (или ложности) тезиса не требуется ничего, кроме рассмотрения оснований
по существу их содержания и кроме рассмотрения логической связи между основаниями и тезисом. В
доказательствах по существу для характеристики тезиса в качестве истинного или ложного достаточно
удостовериться в том, имеется ли необходимая логическая связь между содержанием истинных
суждений, которые играют роль оснований, и содержанием тезиса.
Те доказательства, в которых исследуется происхождение суждений, входящих в доказательство, а
также условия, при которых эти суждения дошли до нас, называются доказательствами по источнику
происхождения суждений, или генетическими (от греческого слова «генезис», означающего
происхождение).
§ 7. Если бы каждое суждение, которое мы усваиваем в качестве истинного, принималось нами
только на основе доказательства по существу, то объём и разнообразие наших знаний были бы гораздо
меньшими, чем каковы они в действительности.
Существует ряд знаний, в которых убеждение в их истинности возникает в результате нашей
уверенности в том, что источники, из которых почерпнуты эти знания, не могут ввести нас в
заблуждение. Таковы в подавляющем большинстве случаев все усваиваемые нами в школе знания,
относящиеся к области геологии, географии, астрономии и т. д. Не только ученик, но и учитель,
опирающийся на учебник, по которому идёт преподавание предмета, не могут доказать каждое своё
утверждение по существу, т. е. путём рассмотрения одного лишь содержания суждений и логической
связи между этими содержаниями.
Никто из нас не мог побывать во всех уголках земного шара, чтобы проверить путём доказательства
по существу все те истины, которые сообщаются, например, учебником геологии о составе и строении
земной коры в различных местах и о характере происходящих в ней процессов образования и
исчезновения гор, морей, материков и т. д. Конечно, многие из этих истин, усваиваемых нами из
учебника путём доказательства по источнику их происхождения, могли бы быть проверены нами также
и путём доказательства по существу их содержания, если бы мы только могли посетить все изученные
геологами места и убедиться, посредством обращения к наблюдениям и к опыту, в истинности их
утверждений.
Однако необходимость удовлетворяться доказательствами по источнику происхождения наших
знаний обусловливается не только ограниченностью нашего личного опыта и неспособностью – в
границах этого опыта – проверить всё невообразимо огромное множество истин, установленных наукой
путём доказательств по существу.
Имеется ряд наук и отраслей знания, в которых, по самому характеру этих наук и этих отраслей
знания, многие доказательства всегда вынуждены остаться всего лишь генетическими, т. е.
доказательствами по источнику происхождения суждений. Во всех исторических науках для
доказательства огромного множества установленных в них истин нет других путей, кроме
удостоверения в том, что источники, из которых мы почерпнули эти истины, заслуживают доверия, не
201
могут нас обманывать или вводить в заблуждение. Никто из нас не был свидетелем, например,
Бородинской битвы, по мы знаем с совершенной достоверностью, что битва эта произошла 26 августа
1812 г., что русской армией командовал Кутузов, а французской – Наполеон, что русские войска
отразили все атаки французов и нанесли армии вторжения смертельный для неё удар и т. д. и т. д. Все
эти и бесчисленное множество подобных истин оправдываются путём доказательства по источнику
происхождения наших суждений – посредством изучения, сопоставления, критической проверки и
сравнительной оценки дошедших до нас официальных документов, сообщений, докладов, приказов,
донесений, дипломатической переписки, дневников и записей очевидцев, воспоминаний участников
этих событий, публицистической литературы и т. д.
Поэтому генетические доказательства составляют особую группу доказательств, не сводимую
нацело к доказательствам по существу. Больше того: генетические доказательства по своему
значению для знания не только не уступают доказательствам по существу, но часто превосходят их.
Что может быть важнее для нашего знания и для формирования нашего мировоззрения, чем те истины,
которые мы усваиваем, изучая, например, вопросы истории общества? Но истины исторических наук
оправдываются только путём анализа и исследования источников, из которых они могут быть
почерпнуты, т. е. посредством доказательств генетических.
Доказательства по существу
§ 8. Доказательства по существу представляют, как мы уже знаем, исследование содержания
оснований и логической связи между основаниями и тезисом. В этих доказательствах решается вопрос:
имеется ли необходимая логическая связь между содержанием данных оснований и содержанием
тезиса, который из них выводится.
Доказательства по существу делятся на четыре главные группы: 1) доказательства, в которых все
случаи доказываемого тезиса исчерпываются при помощи полной индукции; 2) разделительные
доказательства, в которых последовательно исключаются все предположения, кроме одного, а именно
кроме доказываемого тезиса; 3) опровергающие доказательства, или опровержения, в которых от
истинности известного суждения заключают в ложности другого суждения, несовместимого с первым;
4) обусловливающие доказательства, в которых от наличия всех необходимых условий истинности (или
ложности) суждения заключают к его действительной истинности (или ложности).
§ 9. Доказательства, исчерпывающие все возможные случаи доказываемого тезиса. В этих
доказательствах рассматривается прежде всего доказываемый тезис. Рассмотрение это имеет целью
полностью исчерпать все возможные случаи доказываемого тезиса. Далее доказывается, что тезис
истинен для каждого из этих случаев в отдельности. Отсюда, по методу полной индукции, делается
заключение, что тезис истинен вообще, т. е. безотносительно к тому или иному частному случаю.
Этот вид доказательства по существу часто применяется в математике, особенно в геометрии.
Посредством этой формы доказательства обосновывается, например, теорема, по которой ни одно
коническое сечение не пересекается прямой более чем в двух точках.
§ 10. Разделительные доказательства. В разделительных доказательствах истинность
доказываемого тезиса удостоверяется посредством исключения всех гипотез разделительного
умозаключения, кроме одной единственной, которой является доказываемый тезис. Так как истинной
должна быть непременно одна из гипотез, в своей сумме исчерпывающих возможное деление, и так как
все они, кроме гипотезы, совпадающей с доказываемым тезисом, оказались опровергнутыми, то тезис
как единственная гипотеза, оставшаяся не опровергнутой, необходимо будет истинным.
Если, например, установлено, что некоторое преступление могли совершить только лица А, В, С и D,
и если, кроме того, установлено, что ни В, ни С, ни D не совершили его, то отсюда следует, что
заключение, признающее виновником преступления А, истинно.
При этом, однако, как это постоянно бывает в случае оправдания доказываемого тезиса,
доказываемое положение ограничивается одним тезисом, характеристика же самого тезис а в качестве
истинного обычно опускается.
Особенность этой формы доказательства – в том, что истинность доказываемого тезиса
удостоверяется не прямо, а косвенным образом. И действительно, оправдание доказываемого тезиса
достигается в этом случае не посредством прямого исследования или обоснования этого тезиса, но
лишь косвенно – путём опровержения всех возможных предположений, кроме того, которое совпадает с
тезисом.
202
§ 11. Опровергающие доказательства. Доказательства этой формы имеют задачей не оправдание
тезиса, а его опровержение. Достигается опровержение посредством сопоставления тезиса с другим
суждением, стоящим к тезису в отношении логической несовместимости. Основанием для заключения о
ложности тезиса является удостоверение в том, что несовместимое с тезисом суждение истинно.
Так, ложность мнения старых зоологов, полагавших, будто ни одно млекопитающее не принадлежит
к яйцекладущим, была доказана, как только было установлено, что некоторые млекопитающие,
например утконосы, относятся к яйцекладущим. Доказательство в этом случае было опровергающим.
Оно сводилось к сопоставлению опровергаемого тезиса с противоречащим ему, т. е. с несовместимым с
ним суждением.
Опровергающие доказательства имеют огромное распространение в практической жизни в в науке.
Доказательство невиновности обвиняемого в непосредственном совершении приписываемого ему
преступления достигается посредством опровержения предположения, будто обвиняемый мог
совершить его. Установив, например, alibi обвиняемого, т. е. отсутствие обвиняемого в момент, когда
было совершено преступление, в том месте, где оно было совершено, суд тем самым удостоверяет
истинность положения, логически несовместимого с предположением о виновности обвиняемого в
непосредственном совершении преступления. Тем самым опровергается предположение, будто
обвинённый в преступлении действительно есть непосредственный исполнитель преступления.
§ 12. Обусловливающие доказательства. В этих доказательствах исследование начинается с
установления всех необходимых условий истинности тезиса. Далее удостоверяется, что все условия эти
имеются налицо. Отсюда заключают к истинности тезиса.
Пример обусловливающего доказательства был уже рассмотрен при объяснении отличия
доказательства от простого умозаключения. Другой пример обусловливающего доказательства:
требуется доказать тезис, что некоторые членистоногие не являются насекомыми. Самый тезис этот
может быть выведен из следующего умозаключения: «Все пауки – членистоногие, ни один паук не есть
насекомое, следовательно, некоторые членистоногие – не насекомые». Но наша задача – не в том
только, чтобы усмотреть необходимую логическую связь между найденными посылками и тезисом.
Наша задача – в том, чтобы доказать, что тезис «некоторые членистоногие – не насекомые» истинен.
Для удостоверения его истинности развиваем следующее обусловливающее доказательство: «Если
посылки «все пауки – членистоногие» и «ни один паук – не насекомое» истинны и если умозаключение
правильно, то положение «некоторые членистоногие – не насекомые» истинно». Но обе посылки
действительно истинны, также правильно и умозаключение. Поэтому тезис «некоторые членистоногие
– не насекомые» истинен.
§ 13. Как видно из обоих примеров, обусловливающее доказательство есть умозаключение об
умозаключении. В обоих случаях сначала было найдено умозаключение, обосновывающее тезис. Затем
было найдено умозаключение, доказывающее, что тезис этот истинен.
То умозаключение, посредством которого устанавливается логическая связь между основаниями и
тезисом, называется основным умозаключением обусловливающего доказательства. В нашем последнем
примере основным умозаключением является первое умозаключение: «Все пауки – членистоногие, ни
один паук – не насекомое, следовательно, некоторые членистоногие – не насекомые».
То умозаключение, посредством которого удостоверяется истинность тезиса, как вытекающая из
наличия всех условий его истинности, называется условным умозаключением.
Далеко не всегда обусловливающее доказательство заключает в своем составе оба эти
умозаключения: основное и условное. Обычно условное умозаключение не выражается в тексте самого
доказательства и лишь подразумевается. Полностью формулируется только основное умозаключение.
Но так как в основном умозаключении раскрывается только необходимая логическая связь между
основаниями и тезисом, истинность же тезиса удостоверяется только условным умозаключением, то ото
последнее есть главная составная часть обусловливающего доказательства.
На примере обусловливающего доказательства лучше, чем на примере какой бы то ни было другой
формы доказательства, видно различие между доказательством в специальном смысле понятия и
простым умозаключением.
§ 14. Так как обусловливающее доказательство состоит из двух умозаключений и так как одно из
них, а именно условное, обычно лишь подразумевается, то в случае обусловливающего доказательства
часто бывает трудно определить, какие суждения являются основаниями доказательства. И
действительно, так как в обусловливающем доказательстве обычно полностью выражается лишь
основное умозаключение, то легко возникает представление, будто его посылки и составляют основания
203
всего доказательства. Но так как характеристика тезиса как истинного (или ложного) содержится только
в условном умозаключении (независимо от того, высказано оно или только подразумевается), то, строго
говоря, основаниями обусловливающего доказательства являются посылки условного умозаключения:
посылка, указывающая необходимые условия истинности тезиса, и посылка, удостоверяющая, что в
данном случае все условия эти имеются налицо.
§ 15. Наиболее распространённая разновидность обусловливающего доказательства есть
доказательство, в котором, удостоверившись в истинности (или ложности) посылок основного
умозаключения и в правильности логической связи, заключают отсюда к истинности (или ложности)
тезиса.
Пусть, например, требуется доказать, что ни один папоротник не размножается семенами. Строим
умозаключение: «ни одно споровое не размножается семенами, все папоротники – споровые,
следовательно, ни один папоротник не размножается семенами». Рассмотрим посылки и логическую
связь между ними. Так как это рассмотрение обнаруживает, что обе посылки истинны и что логическая
связь между ними правильная, то мы вправе вывести, что основное умозаключение истинно. Из
истинности же основного умозаключения следует, что вытекающее из него суждение «ни один
папоротник не размножается семенами» истинно. Но это суждение и есть доказываемый тезис.
§ 16. Второй распространённой разновидностью обусловливающего доказательства является
доказательство, в котором, удостоверившись в ложности некоторого суждения, заключают отсюда к
ложности основного умозаключения, из которого это суждение следует.
Но ложность умозаключения может быть обусловлена: 1) или ложностью посылок, 2) или
неправильностью логической связи между посылками, 3) или соединением ложности посылок с
ошибочностью, устанавливаемой между ними логической связи.
Поэтому, установив – на основании ложности тезиса – ложность обосновывающего этот тезис
умозаключения, мы ещё не знаем, каким именно из указанных трёх условий вызывается в каждом
данном случае ошибочность умозаключения. Для решения этого вопроса должны быть исследованы,
во-первых, все посылки основного умозаключения, во-вторых, логическая связь между ними.
При этом исследовании возможны два случая. Первый из них – когда исследованием
устанавливается, что логическая связь между посылками основного умозаключения правильная и что
все посылки, за исключением одной единственной, которая не рассматривается, истинны. Результатом
исследования в этом случае будет разделительное умозаключение: «Ошибочными могли быть или
самые посылки, или логическая связь между ними. Но так как ни логическая связь между посылками,
ни посылки – кроме одной, нами не рассмотренной, – не ошибочны, то ошибочна та единственная
посылка, которая осталась не рассмотренной».
§ 17. Примером этого случая являются доказательства, называемые аналогическими, или
«приведением к нелепости» (reductio ad absurdum). Если бы, рассматривая данное суждение, мы могли
сразу противопоставить ему другое суждение, логически несовместимое с первым и в то же время
заведома истинное, то мы тем самым опровергли бы данное суждение. Это был бы обыкновенный
случай так называемого «опровергающего» (см. выше § 11), а не обусловливающего доказательства.
Но если мы не можем сразу найти такое суждение, которое, будучи несовместимым с данным, было
бы в то же время заведомо истинным, то опровержение тезиса принимает ту форму обусловливающего
доказательства, о которой шла речь выше. А именно: строится умозаключение, в котором тезис, т. е.
опровергаемое суждение, является одной из посылок. Все остальные посылки умозаключения
подбираются истинные, логическая связь между ними устанавливается правильная. Получив – по
правилам вывода – заключение, находят затем другое суждение с таким расчётом, чтобы оно было
логически несовместимым с нашим заключением и в то же время чтобы оно было истинным. Найдя
такое суждение, тем самым опровергают заключение. В свою очередь опровержение заключения
обнаруживает ошибочность умозаключения, из которого заключение было выведено. Но в чём может
состоять в этом случае ошибочность умозаключения? Так как логическая связь в нём правильная и так
как все посылки, кроме той, которая является тезисом доказательства, истинны, то ложным должен
быть только тезис.
Пример аналогического доказательства. В геометрии доказывается теорема (см. рис. 67), согласно
которой при условии если два равных угла АОВ и COD имеют общую вершину О и две стороны ОВ и
ОС на одной прямой линии, то и две другие стороны ОА и OD составляют одну прямую линию, и
потому углы АОВ и COD – вертикальные. Доказывается теорема следующим образом. Положим, что
AOD – не прямая, а ломаная линия. Положим, далее, что ОЕ есть продолжение стороны АО. Тогда углы
204
АОВ и СОЕ как углы, составленные пересечением двух прямых линий, будут углы вертикальные и,
следовательно, равные между собой. Но по положению DOC равен АОВ. Две величины, равные
порознь третьей, равны между собой. Поэтому ЕОС должен равняться COD (так как ЕОС и COD
равны порознь каждый АОВ).
Но ЕОС, очевидно, не может равняться COD, так как СОЕ есть только часть COD. Итак,
предположение, будто AOD не есть прямая линия, как предположение, приводящее к нелепому
заключению, будто часть равна своему целому, ложно. Но если ложно, что AOD не есть прямая линия,
то должно быть истинным, что AOD – прямая и что углы АОВ и COD – вертикальные.
Присматриваясь к ходу этого рассуждения, мы видим, что оно вполне подходит под схему
рассматриваемой разновидности обусловливающего доказательства. Задачей рассуждения было
доказательство теоремы посредством опровержения противоречащего ей тезиса. Опровергаемый тезис
был сделан одной из посылок умозаключения. Все остальные посылки, кроме тезиса, оказались
истинными. Само умозаключение также оказалось правильным. Полученное из этого вывода
заключение (равенство ЕОС COD), сопоставленное с аксиомой о том, что целое больше своей части,
оказалось несовместимым с нею.
Рис. 67
Тем самым было удостоверено, что заключение, будто EOC равен COD, ложно. Но ложность
заключения означает ложность того умозаключения, из которого это заключение добыто. В свою
очередь исследование ложности умозаключения приводит к следующему разделительному силлогизму:
«Источником ошибки в нашем умозаключении могла быть либо ложность посылок, либо ошибочность
логической связи между ними. Но в данном случае логическая связь была правильная, все посылки,
кроме той, которая является опровергаемым тезисом, – тоже правильные. Стало быть, ложен
опровергаемый тезис.
§ 18. Логическая схема рассмотренной разновидности обусловливающего доказательства сама по
себе совершенно проста и ясна. Однако при её осуществлении на практике часто приходится
преодолевать значительные трудности.
Трудности эти возникают обычно в той части доказательства, где заключению, выведенному из
основного умозаключения, необходимо противопоставить другое – несовместимое с ним и в то же
время заведомо истинное суждение.
И действительно, для успешного решения этой задачи требуется, чтобы заключение, добываемое из
основного умозаключения, непременно было ложным, а противопоставляемое ему и несовместимое с
ним суждение было непременно истинным.
Что касается ложности заключения, то, вообще говоря, как заключение вывода, в составе которого
имеется ложная посылка (опровергаемый тезис), заключение это должно быть ложным. Однако иногда
при ложной большей посылке заключение силлогизма может случайно оказаться истинным. Например,
из посылок «все студенты изучают французский язык» и «Николаев – студент» получается заключение
«Николаев изучает французский язык». Может случиться, что, несмотря на ложность большей посылки,
утверждающей, будто все студенты изучают французский язык, Николаев случайно окажется
принадлежащим к той части студентов, которые, не исчерпывая собой всех студентов, действительно
изучают французский язык. В этом случае ложность одной из посылок не препятствует истинности
тезиса. Объясняется это не тем, что истинность эта логически следует из ложности посылки, а тем, что
она не зависит от количества большей посылки: чтобы студент Николаев окапался принадлежащим к
изучающим французский язык, нет необходимости в том, чтобы все студенты изучали этот язык. Для
этого достаточно, чтобы хотя бы часть студентов изучала этот язык и чтобы Николаев оказался
принадлежащим именно к этой части.
205
Зная, что при известных условиях наличие в числе посылок одной ложной может сочетаться с
истинностью заключения, мы должны считаться с этой возможностью при разработке аналогических
доказательств. Так как в этих доказательствах заключение основного умозаключения необходимо
должно оказаться ложным, то посылки этого умозаключения должны подбираться с таким расчётом,
чтобы сочетание ложного тезиса, составляющего одну из посылок умозаключения, с другими
истинными его посылками дало в заключении непременно ложное суждение.
Напротив, суждение, противопоставляемое заключению, как несовместимое с ним, обязательно
должно быть истинным. Однако далеко не всегда истинность суждения, противопоставляемого
заключению и несовместимого с ним, оказывается непререкаемой для тех, к кому обращается
доказательство. Во многих отраслях знания суждение, истинное в глазах одних, представляется ложным
или по крайней мере сомнительным для других. Но если суждение, противопоставляемое
несовместимому с ним тезису, представляется ложным, то самый тезис уже не будет оцениваться в
качестве ложного, и, таким образом, опровержение тезиса, составляющее центр всего доказательства,
окажется не достигнутым.
§ 19. Мы рассмотрели первый случай исследования ошибочности основного умозаключения. В этом
случае исследованием устанавливается, что логическая связь между посылками и заключением
правильная и что все посылки истинны, кроме той, которая и есть опровергаемый тезис.
Второй случай исследования основного умозаключения имеет место, когда исследованием
устанавливается, что ошибочны не посылки, но логическая связь между посылками и заключением.
Для удостоверения в ошибочности логической связи исследуемое основное умозаключение
сопоставляется с другим умозаключением. Это последнее подбирается с таким расчётом, чтобы все без
исключения посылки в нём были истинны, чтобы логическая связь между посылками и заключением
была ошибочная и чтобы заключение было явно ложным.
Выполнение всех этих условий даёт право на следующий вывод. Умозаключение, с которым мы
сопоставляем основное умозаключение нашего доказательства, имеет ложное заключение. Поэтому оно
ошибочно. Ошибочность его может быть обусловлена или ошибочностью посылок, или ошибочностью
логической связи. Так как все посылки в нем, несомненно, истинны, то ошибочной в нём может быть
только логическая связь. Но наше основное умозаключение имеет такое же строение, как и то
умозаключение, с которым оно сравнивается. Так как заключения в этих умозаключениях ложны, а все
посылки истинны, то и в основном умозаключении ошибочна только логическая связь.
Например, требуется последовать ошибку в умозаключении; «Все великие художники были
впечатлительны, Н – впечатлителен, следовательно, Н – великий художник». Если ошибочность
логической связи в этом умозаключении не бросается в глаза и не поддаётся – вследствие недостатка у
исследующего логических познаний–точному логическому определению, то она может быть
обнаружена следующим образом.
Сопоставляют исследуемое умозаключение с другим, имеющим такое же строение, такое же ложное
заключение, но содержащим только истинные посылки: «У всех великих художников – две руки и две
ноги, у Н – две руки и две ноги, стало быть, Н – великий художник». Так как оба умозаключения имеют
совершенно одинаковое строение, так как все посылки в них истинны, а заключения ложны, то
ошибочна в обоих только логическая связь между посылками в заключением.
Генетические доказательства
§ 20. Мы уже знаем, что вторую группу доказательств после доказательств по существу составляют
так называемые генетические доказательства, или доказательства по источнику происхождения.
В генетических доказательствах истинность (или ложность) тезиса доказывается посредством
исследования: 1) условий возникновения тезиса в 2) условий его передачи от одних лиц к другим.
Потребность в генетических доказательствах возникает всюду там, где особое значение приобретает
вопрос об источнике суждения, а также где имеет значение вопрос о том, совпадает ли суждение,
дошедшее до нас путём передачи, с первоначальным суждением, послужившим для него источником.
Так, историк постоянно вынужден проверять истинность суждений, высказывавшихся
историческими деятелями, очевидцами, мемуаристами. Для этого он обращается к исследованию
источника этих суждений, осведомлённости, добросовестности и точности лиц, которые их
высказывали, и т. п. Историк античной или древнерусской литературы применяет генетические
доказательства при оценке истинности дошедших до вас прямых и косвенных сведений о тех или иных
206
авторах, об их жизни в деятельности, об их произведениях и т. д. Судебное следствие проверяет
истинность свидетельских показаний о том или ином факте или действии, исследуя возможные
умышленные или невольные искажения истины при передаче суждений от одних лиц к другим и т. д.
Во многих случаях при решении вопроса об истинности или ложности суждения у нас нет другого
пути, кроме доказательства по источнику происхождения.
§ 21. Генетические доказательства, как всякие доказательства, представляют либо установление
истинности тезиса (его оправдание), либо обнаружение его ложности (его опровержение).
Оправдание тезиса в генетических доказательствах имеет следующее строение. В первой части
доказательства устанавливается, что первоначально возникшее суждение в силу самих условий его
возникновения не могло быть ошибочным. Во второй части доказательства устанавливается, что
проверяемый тезис совпадает с первоначальным суждением, так как при передаче первоначального
суждения от лица к лицу суждение это не могло исказиться. В этой части доказывается, что: 1)
первоначальное суждение не могло измениться вследствие ошибок памяти; 2) лицо, сообщившее
суждение, не имело целью умышленно исказить его; 3) лицо это точно выразило смысл суждения; 4)
лицо, усвоившее суждение в чужой передаче, правильно поняло смысл переданного.
Если ответ, на все эти вопросы получается положительный, то отсюда следует, что проверяемый
тезис действительно совпадает с первоначально сообщённым суждением.
В третьей части доказательства в результате предшествующих исследований получается
заключение об истинности тезиса.
Посредством генетических доказательств оправдываются только вероятные, но не достоверные
суждения. Степень вероятности суждений, доказываемых таким способом, вообще говоря, колеблется в
широких пределах – от весьма малой вероятности до вероятности, практически граничащей с
достоверностью. Чем больше звеньев передачи проходит сообщаемое первоначальное суждение, тем
легче могут возникать различные искажения его смысла, тем меньшей становится вероятность
доказываемого тезиса.
§ 22. Опровержение суждений в генетических доказательствах, как во всех других, есть
установление ложности доказываемого тезиса. Обычно установление это достигается следующим
образом. В первой части опровержения устанавливается ложность первоначально высказанного
суждения. Во второй части опровержения устанавливается, что рассматриваемое суждение совпадает с
первоначально высказанным суждением, так как ни в одном из звеньев передачи первоначальное
суждение не могло подвергнуться никакому искажению.
Так как первоначальное суждение, согласно первой части доказательства, ложно и так как
рассматриваемое суждение, согласно второй части доказательства, тождественно с первоначальным, то
рассматриваемое суждение также ложно.
§ 23. Не следует думать, будто ложность первоначального суждения делает излишним рассмотрение
условий его передачи от лица к лицу. Хотя, вообще говоря, ложность первоначального суждения
означает также и ложность того суждения, которое получается в результате передачи, возможны
случаи, когда, в итоге некоторых изменений, происшедших в звеньях передачи, рассматриваемое
суждение случайно оказывается истинным.
Так, например, лицо, высказывающее суждение, может умышленно сказать ложь, т. е. выдать
заведомо ложное сообщение за истинное. Но если, желая ложь выдать за истину, лицо это само
ошибётся и по ошибке будет считать ложью то, что в действительности истинно, то в результате
передачи рассматриваемое суждение может оказаться истинным.
§ 24. Генетическое опровержение возможно не только там, где первоначальное суждение ложно.
Если первоначальное суждение само по себе истинно, но если при этом оно испытало изменение в
звеньях передачи и если изменение это делает первоначальное суждение несовместимым с восходящим
к нему суждением, то тем самым доказывается, что это последнее суждение ложно. Например,
обвиняемый в получении взятки от лица Н утверждает, будто он взятки не брал.
Если это утверждение истинно, то в этом случае он, конечно, не мог ошибиться, т. е. относящееся к
этому случаю первоначальное суждение должно было быть истинным. Но свидетельскими показаниями
установлено, что в этом случае обвиняемый лжёт. Так как ложь не что иное, как замена
первоначального суждения несовместимым с ним суждением, то отсюда следует, что утверждение
обвиняемого ложно.
207
Роль практики и опыта в доказательствах
§ 25. Во всех науках и во всех научных доказательствах все понятия, которые входят в состав
доказательства, ведут своё происхождение в конечном счёте из практики, из опыта. В этом отношении
не составляют исключения и доказательства математических наук. Правда, понятия, которыми
пользуется математик, отвлекаются от целого ряда свойств, которые принадлежат предметам этих
понятий в нашем опыте. Математический круг, куб, шар и т. д. не существуют в опыте в том виде, в
каком их мыслит ум геометра. И всё же даже самые отвлечённые понятия математики возникли в
конечном счёте из опыта и на основе опыта. То же справедливо относительно математических
определений и относительно аксиом, т. е. непосредственно очевидных истин, лежащих в основе всего
математического знания, как бы ни казались далёкими от опыта, а иногда даже противоречащими опыту
эти определения и аксиомы, – все они в конце концов являются продуктами отвлечения от известных
сторон опыта и не могли сложиться в мысли иначе, как на основе опыта.
§ 26. Так обстоит дело с понятиями, определениями и аксиомами математики. Сложнее обстоит дело
с доказательствами. Во всех науках, кроме математических, доказательство всегда непосредственно
связано с опытом. Это значит, что кроме той связи с опытом, без которой вообще не могло бы
существовать никакое понятие, никакая аксиома, в науках этих в состав доказательства всегда входят
такие части и такие данные, которые прямо предполагают обращение к опыту: к наблюдению,
эксперименту и т. д.
Напротив, в математических науках доказательства – если рассматривать одну логическую их
сторону, а не происхождение понятий, входящих в состав доказательств, – всегда ведутся таким
образом, что в ходе доказательства математику не приходится прямо обращаться к опыту, помимо тех
элементов опыта, которые уже содержатся в его понятиях, определениях и аксиомах. Иными словами,
опыт входит в математические доказательства не непосредственно, как он входит в доказательства
физика, химика, биолога, но лишь посредством понятий, которые некогда образовались на основе
опыта, но в своём современном содержании являются отвлечёнными по отношению к этому опыту.
§ 27. Это различие между науками математическими и науками эмпирическими, т. е.
доказывающими свои положения на основе прямого обращения к опыту, порождает различив в видах
доказательства.
Доказательства математических наук, не требующие привлечения прямых данных опыта в самом
ходе доказательства и опирающиеся на опыт лишь через посредство тех элементов опыта, которые
содержатся в основных понятиях, определениях и аксиомах этих наук, называются математическими
доказательствами.
Доказательства наук о природе, необходимо требующие привлечения прямых данных опыта в самом
ходе доказательства и, таким образом, не ограничивающиеся теми элементами опыта, которые
содержатся в их основных понятиях, называются эмпирическими доказательствами.
Из этих определений и объяснений ясно, что различие между этими двумя видами доказательства
состоит вовсе не в том, что доказательства математических наук стоят якобы вне опыта, а
доказательства эмпирических наук основываются на опыте. Все доказательства всех наук –
математических так же, как и эмпирических, – предполагают опыт в качестве необходимой последней
основы и проверочной инстанции всех своих истин и положений.
Различие между этими двумя видами доказательства обусловлено только тем, что в одном самым
ходом доказательства требуется прямое обращение к данным опыта, в другом для осуществления
доказательств достаточно той связи с опытом, которая дана уже в самом содержании понятий,
входящих в состав доказательства.
Из сказанного видно, что различие между математическими и эмпирическими доказательствами – не
безусловно. Ряд наук о природе, доказывающих свои истины при помощи прямого обращения к опыту,
содержат в себе и такие части, в которых доказательства ведутся по методу доказательств
математических наук. С другой стороны, и в математических науках математической форме
доказательства часто предшествует обоснование, предполагающее прямое обращение к опыту, так что
математическая форма доказательства вырабатывается впоследствии, когда доказываемый тезис, т. е.
результат доказательства, стал уже известен из опыта. Примером такого перехода от найденного в
опыте результата к его математическому и дедуктивному по форме обоснованию может служить уже
упомянутая выше история архимедовского определения площади параболы.
208
Наконец, даже в строго математических по форме доказательствах последние основания, на которые
эти доказательства опираются, а именно определения основных понятий науки и аксиомы, возникли в
конечном счёте на основе опыта, хотя в том содержании, в каком они мыслятся наукой в настоящее
время, они могут вследствие своей крайней отвлечённости казаться ни от какого опыта не зависящими.
Деление доказательств на математические и эмпирические зависит, как было показано, от того,
ведётся ли доказательство без прямого обращения к опыту или же в состав доказательства в том или
ином объёме входит также и прямое обращение к данным опыта.
§ 28. Доказательства различаются также и по ходу мысли в самом рассуждении. Доказательство, в
котором рассуждение идёт от установленных или признанных положений – через ряд следствий,
выведенных из этих положений,–к тезису или доказываемому суждению, называется прогрессивным
доказательством. Название это показывает, что мысль в ходе рассуждения идёт всё время вперёд – от
оснований – через рассуждение – к доказываемому тезису.
Так, например (см. рис. 68), из пифагоровой теоремы (а
2
+ b
2
= с
2
) и из определения
тригонометрических функций синуса в косинуса (sin α = и cos α = ) может быть посредством
прогрессивного доказательства выведена одна из основных формул тригонометрии.
В самом деле, по теореме Пифагора имеем:
Разделим обе части уравнения на с
2
и получим:
В левой части уравнения каждый её член есть квадрат:
Но так как, согласно определениям, = sin α, и = cos α, то наше уравнение (3) принимает вид:
§ 29. Но ход рассуждения в доказательстве может быть и обратный. В ряде случаев рассуждение
исходит не из оснований, а из рассмотрения доказываемого тезиса. Рассмотрение это показывает, что из
тезиса (окажись он принятым) необходимо вытекает ряд положений, о которых уже известно, что они
истинны, и которые были доказаны другими способами. Доказательство, в котором рассуждение идёт
не от оснований к тезису, но наоборот – от рассмотрения тезиса к уяснению необходимой связи этого
тезиса с основаниями, называется регрессивным. Название это показывает, что мысль в ходе
рассуждения идёт как бы назад: от тезиса к основаниям.
Часто одно и то же положение может быть доказано как прогрессивным, так и регрессивным
способом. Та же тригонометрическая формула, которую мы выше вывели посредством прогрессивного
доказательства, может быть выведена путём доказательства регрессивного.
Требуется доказать, что sin
2
α + соs
2
α = 1.
Рассматривая доказываемый тезис и вспоминая, что по определению sin α = и cos α = , можем
выразить тезис в уравнении:
209
Осуществив требуемое формулой (2) возведение и в квадрат, получаем:
Помножая обе части уравнения (3) на с
2
, имеем: а
2
+ b
2
= c
2
(4), т. е. формулу теоремы Пифагора.
В истории разработки науки весьма многие положения были сначала найдены путём регрессивного
доказательства. Часто догадка об истине, предвосхищение истины предшествовали той форме
доказательства, при которой доказываемый тезис получается как итог длинного ряда выводов,
направляющихся от оснований к доказываемому положению. В этих случаях доказательство принимает
регрессивную форму. Исследователь, «предчувствуя» истинность тезиса, направляет своё внимание на
то, чтобы уяснить необходимую связь, существующую между тезисом и другими истинами, ранее
познанными из других оснований.
§ 30. Математические доказательства могут быть различаемы в зависимости от того, доказывается ли
тезис прямо или же путем опровержения суждения, противоречащего доказываемому тезису.
Доказательство, в котором тезис прямо выводится из других суждений, установленных или принятых в
качестве истинных, называется прямым.
Доказательство, в котором для обоснования тезиса опровергается суждение, противоречащее тезису,
называется косвенным. Из этого определения видно, что к косвенным доказательствам принадлежит
уже известное нам аналогическое доказательство.
Аналогическое доказательство называется также «reductio ad absurdum»*, т. е. «приведением к
нелепости». Название это указывает, что выводы из допущения, принятого в начале аналогического
доказательства, извлекаются до тех пор, пока не дойдут до вывода, который оказывается нелепым, так
как противоречит другим – истинным – посылкам.
* Некоторые логики называют его «deductio ad absurdum».
Нетрудно заметить, что в ходе этого доказательства применяется модус tollens, а также закон
исключённого третьего. В самом деле: ложность допущенного положения выводится из ложности
следствия, к которому это допущение приводит, т. е. по модусу tollens, а истинность доказываемого
тезиса выводится из ложности допущенного положения, которое стоит в отношении противоречащей
противоположности к тезису и потому, оказавшись ложным, тем самым доказывает, согласно закону
исключённого третьего, истинность тезиса.
В математике аналогические доказательства называются «доказательствами от противного».
Название это, с точки зрения логической терминологии, не совсем точно, так как в доказательствах этих
опровергается не противное по отношению к доказываемому тезису, но именно противоречащее
допущение.
Опровержение
§ 31. Опровержение, как мы уже знаем, по существу не отличается от доказательства. Опровержение
состоит либо в доказательстве того, что посылки ошибочны или сомнительны, либо в доказательстве
того, что вывод не вытекает с необходимостью из данных посылок, хотя бы каждая из них в
отдельности была истинной. При этом для опровержения не требуется, чтобы посылки были
непременно ложными: достаточно, чтобы они были только сомнительными, – и вывод уже не имеет
доказательной силы.
Опровержение известного утверждения, т. е. доказательство ложности его по существу, есть в то же
время опровержение всякого доказательства этого утверждения, каковы бы ни были применяемые при
этом формы доказательства.
Но опровержение данного доказательства, т. е. обнаружение его несостоятельности, не есть eще
опровержение того тезиса, или утверждения, которое должно было быть обосновано посредством
этого доказательства. Вполне возможен случай, когда тезис по существу истинен, но доказательство,
при помощи которого его пытаются обосновать, ошибочно. Ошибочным оно может быть или потому,
210