Арзамасцев С.В. Полный факторный эксперимент

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Саратовский государственный технический университет

ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Методические указания к выполнению лабораторных работ

по дисциплине «Моделирование и оптимизация

технологии полимерных материалов»

для студентов очной и заочной форм обучения специальности 240502.65

Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного

технического университета

Саратов 2009

Дисциплина «Моделирование и оптимизация технологии

полимерных материалов» является завершающим этапом в

технологической подготовке инженеров химиков-технологов.

Лабораторные работы по дисциплине «Моделирование и

оптимизация технологии полимерных материалов» имеют следующие

цели:

 ознакомление студентов с возможностями использования

средств вычислительной техники для решения задач моделирования,

оптимизации и управления производственными процессами в

технологии полимерных материалов;

 привитие студентам навыков корректной постановки задач

технологии полимерных материалов для решения на ЭВМ, реализация

на них вычислительных алгоритмов и получение физически

обоснованных результатов расчета;

 обучение студентов методологии проведения расчетных ис-

следований химических процессов на ЭВМ и использование последних

для решения задач проектирования и оптимизации химических

процессов.

В настоящих методических указаниях к выполнению лабораторных

работ по дисциплине «Моделирование и оптимизация технологии

полимерных материалов» рассматриваются вопросы практического

применения студентами приемов математического моделирования с

использованием методики полного факторного эксперимента, включая

следующие этапы:

- проверка воспроизводимости результатов эксперимента;

2

- построение математической модели в явном виде с расчетом

коэффициентов уравнения регрессии;

- проверка адекватности математической модели;

- инженерная интерпретация полученного уравнения регрессии,

позволяющая оценить зависимость параметра оптимизации от выбранных

факторов и сформулировать условия для повышения эффективности

изучаемого технологического процесса.

Теоретические подходы к моделированию

химико-технологических процессов.

Химико-технологические процессы представляют собой комплекс

взаимосвязанных и протекающих в сложной взаимозависимости явлений,

описание которых затрудняется необходимостью установления

закономерностей протекания элементарных процессов и их

взаимодействия и взаимовлияния друг на друга. Эти процессы относят к

классу стохастических, в котором изменение определяющих величин

происходит беспорядочно и часто дискретно. При этом значение выходной

величины не находится в однозначном соответствии с входной. Для

описания стохастических процессов используют статистико-

вероятностные методы.

Примером стохастического процесса может служить контактно-

каталитический процесс, в котором выход продукта изменяется с падением

активности катализатора, обусловленным его старением во времени.

Одним из методов, хорошо зарекомендовавшим себя в решении

такого рода задач, является метод полного факторного эксперимента, в

основе которого лежит способ построения зависимости влияния

3

определяющих факторов на параметр оптимизации в виде отрезка

степенного ряда Тейлора.

Метод полного факторного эксперимента включает в себя

последовательные этапы математического моделирования:

1. Выбор параметра (или параметров) оптимизации и влияющих

факторов.

2. Выбор основного уровня и интервала варьирования по каждому

фактору.

3. Проверка воспроизводимости результатов эксперимента.

4. Собственно построение математической модели с вычислением

коэффициентов уравнения регрессии.

5. Проверка адекватности уравнения регрессии.

6. Инженерная интерпретация уравнения регрессии.

Выбор параметра (или параметров) оптимизации, влияющих

факторов, а также выбор основного уровня и интервала варьирования по

каждому фактору подробно рассматриваются в лекционном курсе. На

лабораторных занятиях студенты приобретают навыки решения задач

проверки воспроизводимости результатов эксперимента, построения

математической модели и проверки её адекватности на ЭВМ.

Пример:

Изучить влияние на параметр оптимизации Y, в качестве которого

выбрана дуктильность (растяжимость) полимербитумного

композиционного материала при 0

0

С, следующих факторов:

1. Содержание каучука марки СКМС в составе

полимербитумного вяжущего (X

1

);

4

2. Количество вводимого в композицию полиэтилена высокого

давления (X

2

);

3. Время гомогенизации композиции (X

3

).

Для факторов 1-3 были выбраны основные уровни, интервалы

варьирования (табл. 1).

Таблица 1

Значения уровней факторов и интервалов варьирования

Показатель фактор X

1

фактор X

2

фактор X

3

натурально

е значение,

%

кодирова

нное

значение

натуральн

ое

значение,

%

кодирова

нное

значение

натурально

е значение,

мин

кодирова

нное

значение

Основной

уровень 1,0 0 0,3 0 40 0

Интервал

варьирования 0,5 0,2 20

Нижний

уровень 0,5 -1 0,1 -1 20 -1

Верхний

уровень 1,5 +1 0,5 +1 60 +1

Результаты эксперимента для проверки воспроизводимости опытов

представлены в табл. 2.

Таблица 2

Эксперимент для проверки воспроизводимости опытов

Серия № опыта фактор Х

1

факторХ

2

фактор Х

3

Значения Y

1

,

см

1 1

2

3

+1

7,1

10,1

8,1

2 1

2

3

-1

5,3

4,1

5,1

3 1

2

3

0

4,4

4,2

4,6

5

Матрица планирования полного факторного эксперимента

представлена в табл. 3.

Таблица 3

Матрица планирования полного факторного эксперимента

№ опыта X

1

X

2

X

3

Y

1эксп

, см

1 +1 +1 +1 8,5

2 +1 +1 -1 9,7

3 +1 -1 +1 6,3

4 +1 -1 -1 12,0

5 -1 +1 +1 3,5

6 -1 +1 -1 4,7

7 -1 -1 +1 3,6

8 -1 -1 -1 5,2

Выполнение задания:

Обработка результатов ведется по следующему алгоритму:

1. Для каждой серии параллельных опытов вычисляют среднее

арифметическое значение функции отклика по формуле





k

i

ijj

Y

k

Y

1

,

1

(1)

где j- номер серии параллельных опытов;

k-число параллельных опытов, проведенных при одинаковых условиях;

ij

Y

,

- текущее значение параметра оптимизации i-го опыта j-й серии.

2. Для каждой серии параллельных опытов вычисляется оценка дисперсии

2

j

s

по формуле:

2

,

2

)(

1

jijj

YY

k

s 







(2)

6

3. Расчетное значение критерия Кохрена

Gp

находят из отношения

максимальной оценки дисперсии к сумме всех дисперсий





N

j

s

Gp

1

2

max

(3)

и сравнивают с табличным значением критерия Кохрена, выбираемым из

справочника при известных значениях общего количества дисперсий

N

, и

числом степеней свободы

f

, связанным с каждой из них как

1kf

. Если

выполняется условие

таблрасч

GG 

, то опыты считаются воспроизводимыми,

а оценки дисперсий - однородными. Оценки однородных дисперсий можно

усреднить и найти величину, называемую оценкой дисперсии

воспроизводимости





N

j

jY

s

N

s

1

22

1

, (4)

с которой связано число степеней свободы

)1(  kNf

. (5)

Оценку дисперсии среднего значения рассчитывают по формуле

k

s

Y

2



. (6)

С ней также связано число степеней свободы

)1(  kNf

. (7)

Результаты вычислений и выводы о воспроизводимости результатов

эксперимента по параметру оптимизации Y представлены в табл. 4.

Таблица 4

Результаты проверки воспроизводимости эксперимента

по параметру оптимизации Y – дуктильности при 0

0

С

Серия №

опыта

фактор Х

1

фактор

Х

2

фактор

Х

3

Значения

Y

1

, см

Y

,

см

2

j

s

1 1

2

+1

7,1

10,1 8,43 2,333

7

3 +1 +1 +1 8,1

2 1

2

3

-1

5,3

4,1

5,1

4,83 0,413

3 1

2

3

0

4,4

4,2

4,6

4,40 0,04

Расчетное значение критерия Кохрена

837,0

04,0413,0333,2

333,2





Gp

.

Табличное значение критерия Кохрена

табл

G

= 0,871

0,837<0,871 - опыты воспроизводимы.

Расчет коэффициентов уравнения регрессии ведется по формулам

(8)-(10) по исходным данным, представленным в табл. 3.





N

j

Y

N

b

1

0

1

; (8)





N

j

jjii

YX

N

b

1

; (9)





N

j

jjmjllm

YXX

N

b

1

, где

ml 

. (10)

Оценка значимости коэффициентов уравнения регрессии проводится

по условию

tsb

b



, (11)

где b - коэффициент уравнения регрессии;

t - критерий Стьюдента;

s

b

- оценка коэффициента уравнения регрессии, определяемая по

формуле

N

s

Y

b

2



. (12)

Адекватность уравнения регрессии проверяется с помощью критерия

Фишера:

8

),min(

),max(

22

Yад

ss

Fp 

, (13)

где

2

ад

s

- оценка дисперсии адекватности. В числителе дроби (13)

находится большая, а в знаменателе - меньшая из указанных оценок

дисперсий.

Оценку дисперсии адекватности вычисляют по формуле

 

2

р2

1







j

э

jад

YY

BN

s

, (14)

где В - число коэффициентов регрессии искомого уравнения, включая

свободный член;

p

j

э

j

YY ,

- экспериментальное и расчетное значение функции отклика в j-том

опыте;

N - число опытов полного факторного эксперимента.

С дисперсией адекватности связано число степеней свободы

BNf 

. (15)

Расчетное значение критерия Фишера выбирается из Приложения 1.

Уравнение регрессии считается адекватным, если выполняется условие

табл

FFp 

. (16)

Расчеты по приведенному выше алгоритму проводят в Microsoft

Excel путем программирования ячеек электронной таблицы.

Пример расчета: Переносим данные таблицы 2 на лист созданной

книги Microsoft Excel (рис. 1).

Расчет

ср

Y

и

2

j

s

производим путем программирования

соответствующих ячеек книги Microsoft Excel. Ввод формулы в ячейку

всегда начинается со знака равенства. Для расчета

ср

Y

активизируем

(выделяем мышью) ячейку G3 книги. После этого при помощи клавиатуры

вводим знак равенства, а затем, используя мастер функций нажатием

правой кнопкой мыши на значок

x

f

, выбираем в категории

9

«Статистические» функцию «среднее значение» - СРЗНАЧ (рис. 2) и

нажимаем «ОК».

Рис. 1. Окно книги Microsoft Excel.

Рис. 2. Окно мастера функций.

10

Арзамасцев С.В. Полный факторный эксперимент

Подождите немного. Документ загружается.