Архіпова О.С., Протопопова В.П., Пахомова Є.С. Посібник для розв’язання типових завдань з курсу Вища математика
Подождите немного. Документ загружается.
О.С. АРХІПОВА,
В.П. ПРОТОПОПОВА,
Є.С. ПАХОМОВА
ПОСІБНИК ДЛЯ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ
ЗАВДАНЬ
З КУРСУ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ
ХАРКІВ − ХНАМГ − 2008
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ХАРКІВСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ МІСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА
О.С. АРХІПОВА, В.П. ПРОТОПОПОВА, Є.С. ПАХОМОВА
ПОСІБНИК ДЛЯ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ
ЗАВДАНЬ
З КУРСУ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ
(для студентів 1,2 курсів всіх спеціальностей академії)
ХАРКІВ − ХНАМГ − 2008
УДК 517.2+517.51
О.С. Архіпова, В.П. Протопопова, Є.С. Пахомова
Посібник для розв’язання типових завдань з курсу «Вища математика».
– Харків: ХНАМГ, 2008р. − 210 с.
В навчальному посібнику наведені необхідні теоретичні відомості з
формулами і дані приклади розв’язування типових задач з основних розділів
курсу вищої математики: лінійної алгебри та аналітичної геометрії,
диференціального та інтегрального числення, функції багатьох змінних,
звичайних диференціальних рівнянь, числових та функціональних рядів.
Посібник стане у пригоді студентам при розв’язанні практичних завдань
за діючою програмою з курсу вищої математики для студентів усіх
спеціальностей:
Рецензент: д-р фіз.-мат. наук, професор А.І. Колосов (ХНАМГ)
Рис. 96 Бібл. 34
ISBN О.С. Архіпова, В.П. Протопопова, Є.С. Пахомова
2008 р.
Зміcт
Передмова
………………………………………………………………………………….. 3
Розділ 1
Матрична алгебра, визначники, системи лінійних рівнянь
…………… 4
1.1. Матриці і дії над ними………………………………………………………… 4
1.1.1. Матриці та їх класифікація…………………………………………………… 4
1.1.2. Дії над матрицями…………………………………………………………….. 4
1.2. Визначники і їх властивості………………………………………………….. 5
1.3. Обернена матриця. Ранг матриці…………………………………………….. 6
1.3.1. Елементарні перетворення матриць…………………………………………. 8
1.3.2. Ранг матриці…………………………………………………………………… 8
1.4. Розв’язування систем лінійних рівнянь……………………………………… 9
1.4.1. Загальні поняття………………………………………………………………. 9
1.4.2. Правило Крамера……………………………………………………………… 9
1.4.3. Розв’язування систем рівнянь матричним способом (за допомогою
оберненої матриці)……………………………………………………………..
10
1.4.4. Системи m лінійних рівнянь із n невідомими. Теорема Кронекера-
Капеллі…………………………………………………………………………..
11
1.4.5. Правило розв’язування довільної системи m лінійних рівнянь із n
невідомими……………………………………………………………………..
11
Розділ 2
Векторна алгебра
…………………………………………………………….
13
2.1. Основні поняття……………………………………………………………….. 13
2.2. Лінійні операції над векторами……………………………………………….. 13
2.3. Координати вектора…………………………………………………………… 14
2.4. Ділення відрізка в заданому відношенні…………………………………….. 15
2.5. Напрямні косинуси. Орт вектора……………………………………………... 16
2.6. Скалярний добуток векторів………………………………………………….. 17
2.7. Векторний добуток векторів………………………………………………….. 20
2.8. Мішаний добуток векторів…………………………………………………… 21
2.9. Лінійна залежність векторів…………………………………………………. 23
2.10. Розкладання вектора по заданому базису……………………………………. 24
Розділ 3
Аналітична геометрія
…
…………………………………………………….. 26
3.1. Поняття про рівняння ліній і поверхонь…………………………………… 26
3.1.1. Геометричні місця точок……………………………………………………… 26
3.1.2. Полярна система координат………………………………………………….. 27
3.2. Поверхні й лінії першого порядку. Площина й пряма……………………… 29
3.2.1. Площина……………………………………………………………………….. 29
3.2.2. Пряма лінія на площині……………………………………………………….. 31
3.2.3. Пряма в просторі й на площині………………………………………………. 32
3.3. Лінії другого порядку…………………………………………………………. 36
3.3.1. Класифікація ліній другого порядку……………………………………… 36
3.3.2. Еліпс…………………………………………………………………………… 36
3.3.3. Гіпербола………………………………………………………………………. 37
3.3.4. Парабола……………………………………………………………………….. 38
3.3.5. Рівняння еліпса, гіперболи, параболи, паралельно зміщених щодо осей
координат……………………………………………………………………….
38
3.4. Поверхні другого порядку……………………………………………………. 39
Розділ 4
Границя і неперервність функції однієї змінної
…
………………………. 42
4.1.
Границя числової послідовності……………………………………………… 42
4.2. Границя функції……………………………………………………………….. 42
4.2.1. Геометричне означення границі функції в точці……………………………. 42
4.2.2. Однобічні границі функції……………………………………………………. 43
4.2.3. Нескінченно малі і їхні основні властивості………………………………… 43
4.2.4. Порівняння нескінченно малих величин…………………………………….. 44
4.2.5. Арифметичні дії з границями…………………………………………………. 44
4.2.6. Теореми про еквівалентні нескінченно малі величини……………………... 45
4.2.7. Приклади……………………………………………………………………… 46
4.3. Приклади порівняння нескінченно малих величин………………………… 54
4.4. Неперервність функції……………………………………………………….. 56
4.4.1. Точки розриву та їхня класифікація………………………………………….. 56
Розділ 5.
Диференціальне числення функції однієї змінної
…
…………………….. 59
5.1. Похідна…………………………………………………………………………. 59
5.1.1. Правила обчислення похідних………………………………………………... 59
5.1.2. Диференціювання неявних функцій…………………………………………. 60
5.1.3. Логарифмічне диференціювання……………………………………………... 61
5.1.4. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної і нормалі……………….. 62
5.2. Диференціал функції…………………………………………………………. 62
5.2.1. Геометричний зміст диференціала функції………………………………….. 63
5.2.2. Застосування диференціала до наближених обчислень…………………….. 63
5.3. Похідні і диференціали вищих порядків…………………………………….. 64
5.3.1. Диференціювання параметрично заданих функцій………………………… 65
5.4. Застосування похідних до дослідження функцій і побудови графіків……. 65
5.4.1. Розкриття невизначенностей за правилом Лопіталя……………………….. 65
5.4.2. Умови монотонності функції. Екстремуми…………………………………. 70
5.4.3. Опуклість і ввігнутість кривої. Точки перегину…………………………… 71
5.4.4. Асимптоти кривих……………………………………………………………. 71
5.4.5. Загальна схема дослідження функції й побудова графіка………………….. 72
Розділ 6.
Невизначенний інтеграл, методи інтегрування
…
……………………….. 75
6.1. Первісна, властивості невизначеного інтеграла…………………………….. 75
6.2. Методи інтегрування………………………………………………………….. 78
6.2.1. Метод заміни змінної…………………………………………………………. 78
6.2.2. Метод інтегрування частинами………………………………………………. 81
6.2.3. Інтегрування раціональних дробів…………………………………………… 83
6.2.4. Інтегрування тригонометричних виразів……………………………………. 86
Розділ 7.
В
изначенний інтеграл
…
…………………………………………………….. 90
7.1. Означення, властивості, геометричний зміст визначенного інтеграла……. 90
7.2. Методи обчислення визначенного інтеграла………………………………... 92
7.3. Геометричні застосування визначенних інтегралів. Обчислення площ,
об’ємів, довжин дуг…………………………………………………………….
100
Розділ 8.
Невласні
інтеграл
и…
………………………………………………………… 104
8.1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування
(1-го роду) і їх обчислення…………………………………………………….
104
8.1.1. Основні поняття……………………………………………………………….. 104
8.1.2. Геометричний зміст невласного інтеграла…………………………………... 104
8.1.3. Узагальнення формули Ньютона-Лейбніця………………………………….. 105
8.1.4. Ознаки збіжності невласних інтегралів першого роду
для невід’ємних функцій………………………………………………………
106
8.1.5. Невласні інтеграли від знакозмінних функцій………………………………. 107
8.2. Невласні інтеграли другого роду-інтеграли від необмежених функцій…… 109
8.2.1. Основні поняття………………………………………………………………. 109
8.2.2. Ознаки збіжності невласних інтегралів другого роду для невід’ємних
функцій………………………………………………………………………….
110
8.3. Приклади………………………………………………………………………... 111
Розділ 9.
Функція декількох змінних…
……………………………………………….. 114
9.1. Основні поняття……………………………………………………………… 114
9.2. Частинні похідні………………………………………………………………. 115
9.3. Диференційовність функції………………………………………………….. 116
9.3.1. Диференціал…………………………………………………………………… 116
9.3.2. Застосування повного диференціала в наближених обчисленнях………….. 117
9.4. Геометричні зображення функції двох змінних……………………………... 117
9.5. Частинні похідні вищих порядків…………………………………………….. 118
9.6. Диференціювання складних функцій………………………………………… 120
9.7. Диференціювання неявних функцій…………………………………………. 121
9.8. Екстремум функції n змінних……………………………………………….. 122
9.9. Дотична площина і нормаль до поверхні……………………………………. 123
9.10. Похідна за напрямом…………………………………………………………. 124
9.11. Градієнт функції………………………………………………………………. 125
Розділ 10.
Диференціальні рівняння
…
………………………………………………… 127
10.1 Диференціальні рівняння першого порядку………………………………… 127
10.1.1. Рівняння з відокремлюванимиі змінними…………………………………… 128
10.1.2. Однорідні диференціальні рівняння………………………………………….. 129
10.1.3. Лінійні диференціальні рівняння…………………………………………….. 132
10.1.4. Рівняння Бернуллі……………………………………………………………… 133
10.2. Диференціальні рівняння другого порядку, що допускають зниження
порядку……………………………………………………………………………
134
10.3. Лінійні однорідні диференціальні рівняння…………………………………… 135
10.3.1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами……... 136
10.4. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку.
Метод варіації довільних сталих………………………………………………..
139
10.5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння n –го порядку
з постійними коефіцієнтами і з правою частиною спеціального виду.
Метод невизначених коефіцієнтів………………………………………………
141
Розділ 11.
Числові і фу
нкціональні ряди
…
…………………………………………….. 147
11.1. Числові ряди. Основні поняття. Необхідна ознака збіжності……………….. 147
11.2. Достатні ознаки збіжності рядів зі знакосталими членами………………….. 149
11.2.1. Ознаки порівняння………………………………………………………………. 149
11.2.2. Ознака Даламбера……………………………………………………………… 151
11.2.3. Радикальна ознака Коші………………………………………………………… 152
11.2.4. Інтегральна ознака збіжності Коші…………………………………………….. 153
11.3. Знакозмінні ряди. Абсолютна й умовна збіжності……………………………. 154
11.4. Функціональні ряди……………………………………………………………... 157
11.4.1. Степеневі ряди…………………………………………………………………... 157
11.4.2. Ряд Тейлора. Застосування рядів у наближених обчисленнях……………… 160
11.5. Ряди фур’є………………………………………………………………………. 164
11.5.1. Розкладання періодичних функцій у ряд Фур’є………………………………. 164
11.5.2. Ряди Фур’є для парних і непарних функцій………………………………….. 165
11.5.3. Періодичне продовження і розкладання в ряд Фур’є неперіодичної
функції…………………………………………………………………………….
170
11.5.4. Розкладання в ряд Фур’є функцій, заданих на відрізку [0,l]…………………. 173
Розділ 12.
Кратні інтеграли
…
……………………………………………………………. 176
12.1. Подвійні інтеграли і їх обчислення у декартовій системі координат………... 176
12.1.1. Правила знаходження меж інтегрування в повторному інтегралі…………… 176
12.1.2. Зміна порядку інтегрування……………………………………………………. 177
12.1.3. Заміна змінних у подвійному інтегралі……………………………………….. 179
12.2. Застосування подвійних інтегралів…………………………………………… 181
12.3. Потрійні інтеграли і їх обчислення в декартовій системі координат………. 185
12.4. Потрійні інтеграли і їх обчислення в циліндричній і сферичній системах
координат………………………………………………………………………..
187
Розділ 13.
Криволінійні інтеграли
…
……………………………………………………. 192
13.1. Криволінійні інтеграли 1-го роду………………………………………………. 192
13.1.1. Обчислення криволінійних інтегралів 1-го роду……………………………… 192
13.1.2. Застосування криволінійних інтегралів 1-го роду…………………………….. 193
13.1.3. Приклади обчислення криволінійних інтегралів 1-го роду………………… 194
13.2. Криволінійні інтеграли 2-го роду…………………………………………….. 198
13.2.1. Приклади обчислення криволінійних інтегралів 2-го роду…………………... 200
Л
ітература
…
……………………………………………………………………..
203
Навчальне видання
ПОСІБНИК ДЛЯ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАВДАНЬ З КУРСУ ВИЩОЇ
МАТЕМАТИКИ
(для студентів 1,2 курсів всіх спеціальностей академії)
Укладачі: Архіпова Олена Семенівна,
Протопопова Валентина Петрівна,
Пахомова Євгенія Серафимівна
Відповідальний за випуск: А.І.Колосов
Редактор: М.З.Аляб’єв
План 2008, поз. 178
__________________________________________________________________
Підп. до друку 11.07.2008 Формат 60 × 84 1/16 Папір офісний
Друк на ризографі Умовн. – друк. арк. 12,6 Обл. – вид. арк. 15,0
Тираж 100 прим. Замовл. №
__________________________________________________________________________________________________________________
61002, Харків, ХНАМГ, вул. Революції, 12
__________________________________________________________________________________________________________________
Сектор оперативної поліграфії ІОЦ ХНАМГ
61002, Харків, вул. Революції, 12
- 3 -
ПЕРЕДМОВА
Посібник для розв’язання типових завдань з курсу вищої математики
відповідає навчальній програмі курсу «Вища математика» для студентів
технічних спеціальностей Харківської національної академії міського
господарства і може бути корисним для студентів 1, 2 курсів всіх
спеціальностей академії.
Авторами посібника враховано досвід багаторічного викладання вищої
математики студентам технічних та економічних спеціальностей.
Посібник містить теоретичний та довідковий матеріал, задачі з
основних розділів, що входять до програми курсу вищої математики.
Викладення ведеться на строгому і доступному рівні. Видання актуальне
також в зв’язку з недостатньою кількістю опублікованих методичних
розробок з курсу вищої математики для втузів на українській мові.
В посібник входять наступні розділи вищої математики: лінійна
алгебра, аналітична геометрія на площині та у просторі, векторна алгебра,
диференціальне та інтегральне числення, диференціальні рівняння, числові та
функціональні ряди, кратні та криволінійні інтеграли.
Крім теоретичного матеріалу, в наборі практичних вправ є достатня їх
кількість для розуміння і засвоєння курсу. Кожний розділ супроводжується
вправами і аналізом методів їх розв’язання
- 4 -
Розділ 1
МАТРИЧНА АЛГЕБРА, ВИЗНАЧНИКИ, СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
1.1. Матриці й дії над ними
1.1.1. Матриці та їх класифікація
Систему m чисел, записаних у вигляді прямокутної таблиці, що містить
m рядків й n стовпців, називають матрицею розмірності (розміру) m на n.
==
mnmm
n
n
mn
aaa
aaa
aaa
AA
...
............
...
...
21
22221
11211
Одиничні матриці позначаються через E або I.
Матриця, отримана з матриці А, заміною рядків стовпцями зі збереженням
їхнього порядку, називається транспонованою матрицею стосовно матриці А
й позначається
або
T
A A
′
.
=
mnnn
m
m
T
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22212
12111
Наприклад,
−
=
371
804
132
A
,
−
=
381
703
142
T
A
1.1.2. Дії над матрицями
1) Матриці А и В називають рівними й пишуть
B
A
=
, якщо:
а) ці матриці однієї розмірності:
,
mn mn
A A B B
= =
;
б)
ijij
ba =
для всіх
.,1,,1 njmi ==
2) Для матриць однакової розмірності визначена операція (дія)
алгебраїчного додавання:
(
)
(
)
;,
mn
ijmn
mn
ijmn
bBBaAA ====
(
)
njmibaBABA
mn
ijijmnmn
,1,,1, ==±=±=±
– сума або різниця матриць.
3) Добутком матриці А на число а або числа а на матрицю А називають
матрицю, елементи якої одержують множенням всіх елементів матриці А на
число а:
(
)
.,1,,1, njmiaaAaaA
ij
==⋅=⋅=⋅
4) Якщо число стовпців матриці
mk
AA =
дорівнює числу рядків матриці
kn
BB =
, то тоді (і тільки тоді!) визначається добуток матриці
mk
A
на матрицю
kn
B
:
(
)
.
mn
ijmnknmk
cCBA ==⋅