Архіпова О.С., Протопопова В.П., Пахомова Є.С. Посібник для розв’язання типових завдань з курсу Вища математика
Подождите немного. Документ загружается.
- 195 -
1 1
0 0
(2 ) 5[2 ( 2 2)] 2 5 2 5
AB
x y dl x x dx dx+ = + − + = =
∫ ∫ ∫
;
б
) 0,0:
=
′
=
y
xxBC ; dydyxdl
y
=
′
+=
2
1 ;
2
2
2
0
0
(2 ) 2
2
BC
y
x y dl ydy
+ = = =
∫ ∫
;
в
) 0,0:
=
′
=
x
yyCA ; dxdxydl
x
=
′
+=
2
1 ;
1
1
2
0
0
(2 ) 2 1
CA
x y dl xdx x
+ = = =
∫ ∫
.
Отже
,
(2 ) 2 5 2 1 3 2 5
L
x y dl+ = + + = +
∫
.
Приклад
.
Обчислити
(2 4 4 1)
L
x y z dl
+ − +
∫
,
де
L
-
відрізок
прямої
між
точками
)3,9,8(
1
M
і
)5,10,6(
2
M .
Розв
′
язання
.
Складемо
рівняння
прямої
,
що
проходить
через
точки
1
M
і
2
M :
12
1
1
2
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
=
−
−
; t
zyx
=
−
=
−
=
−
−
2
3
1
9
2
8
.
Якщо
ввести
параметр
t
,
одержимо
рівняння
:
10,
32
9
82
≤≤
+=
+=
+
−
=
t
tz
ty
tx
;
dtdtdtzyxdl
ttt
3414
222
=++=
′
+
′
+
′
= ;
[ ]
1 1
0 0
(2 4 4 1) 3 2( 2 8) 4( 9) 4(2 3) 1 3 (41 8 ) 111.
L
x y z dl t t t dt t dt+ − + = − + + + − + + = − =
∫ ∫ ∫
Приклад
.
Обчислити
( )
L
x y dl
+
∫
,
де
L
:
пелюстка
лемніскати
sin2
ρ ϕ
= ,
розташована
у
першому
координатному
куті
.
Розв
’
язання
.
2 2
cos ,
sin 2 ,
sin .
x
a dl d
y
ϕ
ρ ϕ
ρ ϕ ρ ρ ϕ
ρ ϕ
=
′
= = +
=
.
2 2
2
cos2 cos 2
; ;
sin 2
sin 2
a a
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ρ ρ
ϕ
ϕ
′ ′
= =
- 196 -
ρ
0
φ
=
π
/4
Рис
. 13.2
2 2 2
2 2 2
cos 2
sin2
sin2 sin2
a a
a
ϕ
ϕ
ρ ρ ϕ
ϕ ϕ
′
+ = + = .
Для
встановлення
меж
інтегрування
слід
визначити
проміжок
зміни
ϕ
,
що
відповідає
пелюстці
кривої
у
першому
координатному
куті
.
Очевидно
,
π
∈ϕ
2
0
,
.
Тоді
2
0
( ) ( cos sin )
sin2
L
a
x y dl d
π
+ = ρ ϕ+ρ ϕ ϕ=
ϕ
∫ ∫
=
2
2
0
(cos sin )a d
π
ϕ ϕ ϕ
+ =
∫
2 2 2
2
0
(sin cos ) (1 1) 2 .
a a a
π
ϕ− ϕ = + =
Приклад
.
Обчислити
2 2 2 2 2 2
2 . : ,
L
x y dl L x y z a z x
+ + + = =
∫
.
Розв
′
язання
.
Лінія
задана
перетином
двох
поверхонь
:
сфери
і
площини
.
Складемо
параметричні
рівняння
цієї
лінії
.
Для
цього
,
підставляючи
в
рівняння
сфери
z = x
,
одержимо
спочатку
рівняння
проекції
заданої
лінії
на
площину
XOY
:
1
2
2
2
2
2
=+
a
y
a
x
.
Ця
проекція
є
еліпс
з
півосями
2
a
та
а
.
Параметричні
рівняння
еліпса
мають
вигляд
:
[ ]
cos ; sin ; 0,2
2
a
x t y a t t
= = ∈ π
.
Оскільки
z = x
,
параметричне
рівняння
лінії
L
має
вигляд
:
[ ]
cos ; sin ; cos ; 0,2
2 2
a a
x t y a t z t t
= = = ∈ π
.
Знайдемо
:
2
2 2 2 2 2 2
2 sin cos
2
a
dl x y z dt t a tdt adt
′ ′ ′
= + + = + = ;
2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
0 0
2 2 cos sin 2
2
L
a
x y dl t a t a dt a dt a
π π
+ = + ⋅ ⋅ = = π
∫ ∫ ∫
.
- 197 -
Приклад
.
Знайти
довжину
дуги
гвинтової
лінії
:
4cos
: 4sin , (0 2 )
3
x t
L y t t
z t
=
= ≤ ≤ π
=
.
Розв
′
язання
.
4cos 4sin
: 4sin , (0 2 ) 4cos
3 3
t
t
t
x t x t
L y t t y t
z t z
′
= =−
′
= ≤ ≤ π ⇒ =
′
= =
;
2 2 2 2 2
16sin 16cos 9 5
t t t
dl x y z dt t t dt dt
′ ′ ′
= + + = + + = ;
2
1
2
2
2 2 2
0
0
5 5 10
t
t t t
L t
l dl x y z dt dt t
π
π
′ ′ ′
= = + + = = = π
∫ ∫ ∫
.
Приклад
.
Знайти
центр
ваги
гвинтової
лінії
:
cos , sin , , 0,
2
x a t y a t z bt t
π
= = = ∈
,
якщо
лінійна
щільність
у
кожній
точці
є
пропорційною
добутку
перших
двох
координат
.
Розв
′
язання
.
Для
розвязання
використовуємо
формули
:
( , , ) ( , , ) ( , , )
; ;
( , , ) ( , , ) ( , , )
L L L
c c c
L L L
x x y z dl y x y z dl z x y z dl
x y z
x y z dl x y z dl x y z dl
γ γ γ
= = =
γ γ γ
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
.
Знайдемо
масу
дуги
:
( , , )
L
m x y z dl
= γ
∫
.
Відповідно
до
умови
,
kxy
z
y
x
=
γ
)
,
,
(
,
тоді
dtbadtbtatadtzyxdl
ttt
2222222222
cossin +=++=
′
+
′
+
′
= ;
2 2
2 2 2 2 2
0 0
cos sin
m kxy a b dt k a b a t tdt
π π
= + = +
∫ ∫
=
2 2 2 2
2
2 2 2
0
sin
;
2 2
t a k a b
a k a b
π
+
+ =
2
3 2 2
3 2 2 2
0
( , , ) cos sin
3
L
ka a b
x x y z dl ka a b t tdt
π
+
γ = + =
∫ ∫
;
2
3 2 2
3 2 2 2
0
( , , ) sin cos
3
L
ka a b
y x y z dl ka a b t tdt
π
+
γ = + =
∫ ∫
;
- 198 -
2
2 2 2
0
( , , ) sin cos
L
z x y z dl kba a b t t tdt
π
γ = +
∫ ∫
2
2 2 2
0
sin2
2
a bk a b
t tdt
π
+
=
∫
=
=
2 2 2
;
2 4
a bk a b
+ π
→
4
,
3
2
,
3
2 b
z
a
y
a
x
ccc
π
=== .
13.2. Криволінійні інтеграли 2-го роду
1)
Нехай
L
кусково
-
гладка
просторова
крива
,
на
якій
задано
напрям
,
а
)
z
,
y
,
x
(
P
,
)
z
,
y
,
x
(
Q
,
)
z
,
y
,
x
(
R
–
неперервні
функції
на
ній
.
Розіб
'
ємо
криву
L
на
елементарні
ділянки
ii
AA
1−
,
проекції
яких
на
координатні
осі
Ox, Oy, Oz
відповідно
позначимо
1−
−
=
∆
iii
xxx ,
1−
−
=
∆
iii
yyy ,
1−
−
=
∆
iii
zzz .
Виберемо
на
кожній
з
ділянок
довільну
точку
),,(M
iiii
ς
η
ξ
й
обчислимо
значення
функції
в
цій
точці
.
Створимо
суму
:
( )
1
( ) ( )
n
n i i i i i
i
W P M x Q M y R Mi z
=
= ∆ + ∆ + ∆
∑
,
що
називається
інтегральною
сумою
по
координатах
.
Якщо
при
наближенні
до
нуля
ця
сума
має
скінчену
межу
W,
що
не
залежить
від
способу
розбивки
кривої
і
вибору
точок
i
M
,
то
ця
межа
називається
криволінійним
інтегралом
II-го роду
по
кривій
L
і
позначається
( , , ) ( , , ) ( , , )
L
W P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
= + +
∫
.
Криволінійний
інтеграл
II-
го
роду
залежить
від
вибору
напряму
кривої
.
Якщо
змінити
напрям
кривої
,
то
інтеграл
змінює
знак
:
AB BA
Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz
+ + = − + +
∫ ∫
.
За
своїм
фізичним
змістом
криволінійний
інтеграл
II-
го
роду
є
робота
змінної
сили
(
)
R,Q,PF =
r
,
точка
прикладання
якої
описує
криву
L.
2) Обчислення криволінійного інтеграла II-го роду
зводиться
до
обчислення
визначеного
інтеграла
.
a)
Якщо
плоска
крива
задана
рівнянням
[
]
( ), ,
y y x x a b
= ∈
,
причому
початку
кривої
відповідає
a
x
=
,
а
кінцю
–
b
x
=
,
то
( , ) ( , ) [ , ( )] [ , ( )]
b
x
L a
P x y dx Q x y dy P x y x dx Q x y x y dx
′
+ = +
∫ ∫
.
б
)
Якщо
крива
L
задана
параметричними
рівняннями
і
початку
кривої
відповідає
значення
параметра
1
tt
=
,
а
кінцю
–
2
tt
=
:
- 199 -
[ ]
1 2
( )
, ,
( )
x x t
t t t
y y t
=
∈
=
,
то
2
1
( , ) ( , ) [ ( ), ( )] [ ( ), ( )]
t
t t
L t
P x y dx Q x y dy P x t y t x dt Q x t y t y dt
′ ′
+ = +
∫ ∫
.
Зверніть
увагу
,
що
у
випадку
a)
і
у
випадку
б
)
нижня
межа
інтеграла
не
обов
'
язково
менше
верхньої
.
В
однозв
′
язній
області
D
для
функцій
P, Q, R ,
що
мають
неперервні
похідні
першого
порядку
,
необхідною
і
достатньою
умовою
повного
диференціала
є
виконання
таких
рівностей
:
x
R
z
P
z
Q
y
R
y
P
x
Q
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
;; .
в
)
Якщо
під
знаком
інтеграла
стоїть
повний
диференціал
)
,
,
(
z
y
x
dU
Rdz
Qdy
Pdx
=
+
+
,
то
незалежно
від
форми
кривої
L,
повністю
розташованої
в
області
D,
( ) ( ) ( )
L
Pdx Qdy Rdz U B U A
+ + = −
∫
,
де
А -
початкова
,
а
В -
кінцева
точка
шляху
інтегрування
.
Тоді
функцію
)
,
,
(
z
y
x
U
можна
знайти
за
формулою
0 0 0 0
0 0 0
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
y
x z
M M x y z
U x y z C dU P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
+ = = + +
∫ ∫ ∫ ∫
,
де
(
)
000
z,y,x -
довільна
точка
області
D.
Якщо
вираз
dy
)
y
,
x
(
Q
dx
)
y
,
x
(
P
+
-
повний
диференціал
у
деякій
однозв
'
язній
області
D,
то
криволінійний
інтеграл
по
будь
-
якому
замкненому
контуру
L
дорівнює
нулю
і
навпаки
.
г
) Зв'язок між криволінійним і подвійним інтегралом.
Якщо
L
−
кусково
-
гладкий
замкнений
контур
,
що
обмежує
область
D
,
орієнтований
так
,
що
при
обході
L
область
D
залишається
ліворуч
,
а
функції
)
,
(
y
x
P
і
)
,
(
y
x
Q
−
неперервні
разом
зі
своїми
частинними
похідними
першого
порядку
в
замкненій
області
D
,
то
має
місце
формула Гріна:
( ) ( )
( )
∫ ∫∫
∂
∂
−
∂
∂
=+
L D
dxdy
y
P
x
Q
dyyxQdxyxP ,, .
3) Застосування криволінійного інтеграла 2-го роду.
a)
Площа
плоскої
фігури
,
обмеженої
кривою
L
,
∫
−=
L
ydxxdyS
2
1
.
- 200 -
б
)
Робота
,
здійснена
змінною
силою
),,( RQPF
r
уздовж
шляху
L
:
L
W Pdx Qdy Rdz
= + +
∫
.
13.2.1. Приклади обчислення криволінійних інтегралів 2-го роду
Приклад
.
Обчислити
2
2
L
dy
x dx
y
+
∫
,
де
L
-
дуга
кривої
y
x
1
=
від
точки
1
(4, )
4
A
до
(1,1)
B
.
Розв
′
язання
.
З
рівняння
кривої
2
11
x
y
x
y −=
′
= , .
Змінна
х
відіграє
роль
параметра
.
Початковій
точці
кривої
відповідає
4
=
x
,
кінцевій
–
1
=
x
:
1 1
2 2 2 2
2 2
4 4
1
( 1) 18
L
dy
x dx x dx x dx x dx
y x
+ = − = − = −
∫ ∫ ∫
.
Приклад
.
Обчислити
L
ydx xdy
+
∫
,
де
L
–
дуга
астроїди
t
a
x
3
cos
= ,
tay
3
sin= ,
що
пробігається
від
(
)
0,aA
до
(
)
0,
B a
.
Розв
′
язання
.
Знайдемо
:
tdt
t
a
dx
2
cos
sin
3
−= , tdttady cossin3
2
= ,
.2cos2sin
4
3
)sin(coscossin3
sincos3cossin3
2222222
242242
tdttadttttta
tdttatdttaxdyydx
=−=
=+−=+
Початковій
точці
шляху
відповідає
0
=
t
,
кінцевій
–
2
t
π
=
,
тоді
2
3
2
2 2 2
0
0
3 3 sin 2
sin 2 cos2 0.
4 8 3
L
t
ydx xdy a t tdt a
π
π
+ = = =
∫ ∫
Приклад
.
Обчислити
2 2 2
L
y dx x dy z dz
+ +
∫
,
де
L
–
відрізок
прямої
у
просторі
від
точки
)
2
,
0
,
1
(
A
до
)
4
,
1
,
3
(
B
.
Розв
′
язання
.
Складемо
рівняння
прямої
,
що
проходить
через
точки
A
і
B
:
t
zyx
=
−
==
−
2
2
1
2
1
.
Одержимо
параметричні
рівняння
прямої
:
2 1,
,
2 2.
x t
y t
z t
= +
=
= +
2 ;
;
2 .
dx dt
dy dt
dz dt
=
⇒ =
=
- 201 -
Параметр
змінюється
в
межах
BA
ttt
≤
≤
,
тобто
1
0
≤
≤
t
,
тоді
2 2 2
L
y dx x dy z dz
+ +
∫
=
1
2 2 2
0
2 (1 2 ) (2 2) 2
t dt t dt t dt
+ + + +
∫
=
71
.
3
Приклад
.
Знайти
площу
еліпса
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
.
Розв
′
язання
.
Перейдемо
до
параметричних
рівнянь
cos ; sin
x a t y b t
= =
.
Додатному
обходу
контуру
відповідає
зміна
параметра
t
від
0
до
π
2
,
тоді
2 2
0 0
1 1 1
cos cos sin sin 2
2 2 2 2
L
ab
S xdy ydx a tb tdt b ta tdt ab dt ab
π π
= − = + = = π= π
∫ ∫ ∫
.
Приклад
.
Перевірити
,
що
даний
вираз
є
повним
диференціалом
функції
)
,
(
y
x
u
,
і
знайти
цю
функцію
:
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
dx
x
y
dy
x
)
,
(
)
,
(
)
2
cos
2
3
(
)
2
sin
1
(
+
=
+
−
−
.
Розв
′
язання
.
Знайдемо
: x
x
Q
x
y
P
2cos2;2cos2 −=
∂
∂
−=
∂
∂
.
Оскільки
x
Q
y
P
∂
∂
=
∂
∂
,
то
вираз
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
)
,
(
)
,
(
+
є
повним
диференціалом
функції
)
,
(
y
x
u
.
Знайдемо
цю
функцію
,
приймаючи
0 0
0; 0
x y
= =
:
0 0
0
0 0
( , ) ( , ) ( , ) 3 (1 sin2 )
3 (1 sin2 ) .
y y
x x
x y
u x y P x y dx Q x y dy C dx x dy C
x x y C
= + + = − + − + =
= − + − +
∫ ∫ ∫ ∫
Приклад
.
Обчислити
∫
+−
L
dyxyydxx
22
,
де
L
–
коло
222
ayx =+ ,
що
пробігається
в
додатному
напрямку
.
Розв
′
язання
.
Маємо
2 2
( , ) ; ( , )
P x y x y Q x y xy
= − = ;
2
;
P
x
y
∂
=−
∂
2
Q
y
x
∂
=
∂
.
Оскільки
функції
( , ), ( , ), ,
P Q
P x y Q x y
y x
∂ ∂
∂ ∂
−
неперервні
в
області
D
,
обмеженій
колом
L
,
застосуємо
формулу
Гріна
:
( )
∫ ∫∫
∂
∂
−
∂
∂
=+
L D
dxdy
y
P
x
Q
QdyPdx ;
(
)
( )
∫ ∫∫
+=+−
L D
dxdyxydyxyydxx
2222
.
У
подвійному
інтегралі
перейдемо
до
полярних
координат
,
тому
що
область
інтегрування
D
−
це
круг
222
ayx ≤+ :
2 2 2 2
cos ; sin ; ;
x y x y a
=ρ ϕ =ρ ϕ + = =ρ
- 202 -
( )
2
4 4
2 2 2 3
0 0
2
4 2
a
D D
a a
x y dxdy d d d d
π
π
+ = ρ ρ ρ ϕ= ϕ ρ ρ= π=
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
.
Приклад
.
Знайти
функцію
за
повним
диференціалом
:
(
)
( )
2
2
yzx
yzdxxydzzxdy
du
−
−
+
= .
Розв
′
язання
.
Щоб
знайти
u(x,y,z),
проінтегруємо
цей
вираз
уздовж
ламаної
ABMM
0
,
відрізки
якої
паралельні
координатним
осям
,
обравши
початкову
точку
в
M
0
(1,0,0):
( )
0 0
, ,
M M M A AB BM
u x y z du du du du
= = + +
∫ ∫ ∫ ∫
.
Обчислимо
кожний
інтеграл
окремо
.
Рівняння
лінії
(
)
( )
0
0
2
2
: 0, 0 0
M A
zxdy xydz yzdx
M A y z
x yz
+ −
= = ⇒ =
−
∫
.
Рівняння
лінії
(
)
( )
2
2
: , 0 0
AB
zxdy xydz yzdx
AB x const z
x yz
+ −
= = ⇒ =
−
∫
.
Рівняння
лінії
: ,
BM x const y const
= =
(
)
( )
2
2
BM
zxdy xydz yzdx
x yz
+ −
⇒ =
−
∫
( )
( )
( )
( )
2 2
0
0 0
2 2
2 2 .
z z
z
d x yz
xydz x x
x C
x yz x yz
x yz x yz
−
= = − = = +
− −
− −
∫ ∫
Отже
,
( )
C
yzx
x
z,y,xu +
−
=
2
.
z
M(x,y,z)
y
M
0
A B
x
Рис. 13.3
- 203 -
Список
літератури
1.
Архипова Е.С., Болотина Л.В. Методические указания и контрольные
задания по теме «Сходимость числовых рядов» по курсу высшей математики.
Харьков, ХПИ, 1984, 14 с.
2.
Архипова Е.С., Ажиппо Л.А. Методические указания и контрольные
задания по теме «Кратные интегралы». Харьков, ХПИ, 1988, 20 с.
3.
Архипова Е.С., Ажиппо Л.А. Методические указания к типовым расчетам
и варианты контрольных заданий по теме «Приложение производных к
построению графиков функций, заданных параметрически» Харьков, ХПИ,
1990, 21 с.
4.
Курпа Л.В, Архипова Е.С., Корниль Т.Л. Высшая математика. Общий
курс. Харьков, ХГПУ,1997,173 с.
5.
Курпа Л.В, Архипова Е.С., Корниль Т.Л. Учебное пособие и контрольные
задания по курсу высшей математики для студентов экономических
специальностей. Харьков, ХГПУ, 1998, 170 с.
6.
Архипова Е.С., Курпа Л.И. Ряды. Учебно-методическое пособие для
студентов инженерно-физических, машиностроительных и экономических
специальностей. Харьков, ХГПУ, 1999, 79 с.
7.
Курпа Л.В., Архипова Е.С. и др. Математика для экономистов. Решение
задач и варианты индивидуальных заданий. Харьков, ХГПУ, 1999, 333 с.
8.
Курпа Л.В., Архипова Е.С. и др. Высшая математика. Решение задач и
варианты типовых расчетов. Часть 1. Харьков, ХГПУ, 1999, 287 с.
9.
Курпа Л.В., Архипова Е.С. и др. Высшая математика. Решение задач и
варианты типовых расчетов. Часть 2. Харьков, ХГПУ, 1999, 279 с.
10.
Курпа Л.В., Архіпова О.С. та інші. Вища математика. Розв’язання задач
та варіанти типових розрахунків. Том 1. Харків, НТУ „ХПІ”, 2002, 315 с.
11.
. Курпа Л.В., Архіпова О.С. та інші. Вища математика. Розв’язання задач
та варіанти типових розрахунків. Том 2. Харків, НТУ „ХПІ” 2002, 311 с.
- 204 -
12.
Архіпова О.С., Курпа Л.В. та інші. Higher mathematics. Problem solving
and variants of typical calculations. Volume 1. Kharkiv, NTU «Khpi».2004, 316 с.
13.
Архіпова О.С., Курпа Л.В. та інші. Higher mathematics. Problem solving
and variants of typical calculations. Volume 2. Kharkiv, NTU «Khpi».2004, 305 с.
14.
Торкатюк В.И., Шутенко Л.Н., Стадник Г.В., Колосов А.И., Архипова
Е.С.,Протопопова В.П. и др. Математический аппарат и методы
формирования оптимальных параметров управления процессом
функционирования строительного предприятия. Монография. Харьков, 2007,
827 с.
15.
Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М :
Наука, 1971.
16.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и
аналитической геометрии. – М : Наука, 1960.
17.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М : Наука, 1984.
18.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М : Наука, 1988.
19.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Вып. 1. – М :
Наука, 1967.
20.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 2. – М :
Наука, 1973.
21.
Боревич В.И. Определители и матрицы. – М : Наука, 1970.
22.
Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М :
Физматгиз, 1958.
23.
Рублев А.Н. Линейная алгебра. – М : Высш. шк., 1968.
24.
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М : Наука,
1969.
25.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
– М : Физматгиз, 1959. – Т.1,2,3.
26.
Игнатьева А.В., Краснощекова Т.И., Смирнов В.Ф. Курс высшей
математики. – М : Высш. шк., 1964.