Андронов И.Н. Решение статически неопределимых задач. Применение теоремы Кастилиано

Подождите немного. Документ загружается.

компоненты соответственно Q

, Q

, N и M

, M

. В соответствии с этим по-

тенциальная энергия упругой информации равна

222

px y

LL L L L L

NMM Q

Udz dz dz dzKdzK

2EF 2GJ 2EJ 2EJ 2GF 2GF

=+ + + + +

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

, (17)

где J

, J

и J

– соответственно полярный и осевые моменты инерции сечения, а

, K

– безразмерные коэффициенты, зависящие от геометрии поперечного се-

чения. Обычно вклады от двух последних интегралов малы и ими пренебрега-

ют.

Рис. 4.

2. Применение теоремы Кастилиано

к статически неопределимым стержневым системам,

стержни которых работают на растяжение, сжатие

Вышеизложенные принципы легко применить к решению простейших

статически неопределимых задач. Рассмотрим несколько конкретных приме-

ров.

Задача 2. Прямой однородный стержень AB (рис. 5a) жестко защемлен

по концам и нагружен двумя силами P. Определить реакции в опорах.

Решение.

РВ

АВ

РР

а).

б).

Рис. 5.

План сил приведен на рис. 5б Система один раз статически неопредели-

ма, так как реакции R

и R

не могут быть определены из одного уравнения

равновесия:

Z0=

∑

RPPR0

−

+− =.

Откуда:

Нормальные силы в поперечных сечениях 1-1, 2-2 и 3-3 соответственно

равны:

, и

NR P=−

NR PPR

−+= .

Потенциальная энергия стержня согласно выражению (17) равна:

()

LL L

AA A

00 0

R(RP)R L

Udz dzdzRRPR

2EF 2EF 2EF 2EF

−

⎡

⎤

=+ += +−+

⎣

⎦

∫∫ ∫

Применяя теорему Кастилиано и принимая, что левая и правая заделки

идеально жесткие, получаем:

()

AA A

RRPR

REF

∂

=+−+

∂

откуда

= R

Указанный пример демонстрирует эффективность предложенного спо-

соба.

Задача 3. Применяя энергетическую методику, решим задачу № 1, ранее

рассмотренную в разделе 1.

Решение: Изображаем план сил и записываем уравнение моментов (1).

Далее записываем потенциальную энергию упругой деформации:

NL NL

2EF 2EF

=+.

Из формулы (1) получаем:

(

)

N2PNCOS

−α. (18)

Подставляя выражение N

в формулу для U, получим:

()

2P NCOS L

2EF 2EF

−α

⎡⎤

⎣⎦

=+.

Согласно теореме Кастилиано имеем:

()

4COS N COS P N 0

NEF

∂

=αα−+⎡

⎣

∂

=⎤

⎦

. (19)

Из выражений (18) и (19) находим, что

4PCOS

(1 4COS )

+α

(1 4COS )

. (20)

Сравнивая (20) и (9), видим, что решение (20), полученное энергетиче-

ским методом, полностью адекватно решению (9), полученному в разделе 1.

Применение теоремы Кастилиано наиболее эффективно при рассмот-

рении сложных стрежневых систем. Одна из таких систем представлена

на рис. 6а.

Задача 4. Стержни ДС (стержень 1), ВС (стержень 2) и АС (стержень 3)

соединены шарнирно в точке С одними концами, а другими соответственно

прикреплены шарнирно к основанию в точках Д, В и А и нагружены силой P,

приложенной в точке C. Жесткости стержней 1, 2 и 3 соответственно равны

, E

и E

. Угол α не равен углу β. Необходимо раскрыть статическую

неопределимость стержневой системы, то есть найти усилия в стержнях 1, 2

и 3.

В D

a).

б).

Рис. 6.

Решение: Данная система является статически неопределимой. Поэтому,

наряду с уравнениями статики, нам необходимо составить дополнительные

уравнения совместности деформаций. Это в свою очередь представляет опре-

деленные трудности, так как направление перемещения точки C при действии

силы P составит с вертикальной осью Y неизвестные углы. Применение теоре-

мы Кастилиано позволяет избежать указанные трудности.

План сил представлен

на рис. 6б. Запишем условия равновесия узла C:

X0=

∑

SIN N SIN 0

−β=

(21)

Y0=

∑

123

NCOS N NCOS P 0

++ β−=.

потенциальная энергия упругой деформации стержней ДС, ВС, АС равна:

222

123

11 2 2 3 3

NL NL NL

2E FCOS 2E F 2E F COS

=++

. (22)

Заменяя в уравнении (22) N

и N

, выраженные через N

согласно уравне-

нию (21) получаем:

111 1

11 2 3 3

N L (P N SIN Ctg N COS ) L N LSIN

2E FCOS 2E F 2E F SIN COS

−αβ− α α

=+ +

ββ

Применяя теорему Кастилиано, находим:

111

111 22

U N L L(P N SIN Ctg N COS )( SIN Ctg COS )

NEFCOS EF

∂−αβ−α−αβ−

∂α

NLSIN

EFSIN COS

ββ

откуда:

11 2 2 3 3

P(SIN Ctg COS )

1 (SIN Ctg COS ) SIN

E FCOS E F E F SIN COS

β+ α

αβ+ α α

αββ

Из уравнений (21) можно найти N

и N

Задача 5. Рассмотрим еще одну статически неопределимую стержневую

систему представленную на рис. 7а. Невесомая жесткая балка AB соединена с

основанием стержнями 1, 2, 3 и 4, на концах которых имеются шарниры. Жест-

кость каждого стержня EF. Система нагружена силой P, приложенной в точке

A. Определить нормальные усилия в стержнях 1, 2, 3 и 4.

Решение: План сил представлен на рис. 7б. Система уравнений статики

примет вид:

∑

N COS30 N COS30 0−+

∑

12 3 4

N N COS60 N COS60 N P 0

+−−

∑

P2aNaNa0

−

−=,

После несложных преобразований находим, что:

123 4

2N N N 2N 2P

+− =,

NN 2P

= . (23)

а).

б).

Рис. 7.

Усилия N

, N

и N

выразим через N

из уравнений (23):

. (24)

23 14

NN3P2NиN2PN==− =−

Потенциальная энергия упругой деформации запишется в виде:

()(

222

11 1

NL 2(3P 2N)2L (2P N)L L

UN43

2EF 2EF 2EF 2EF

−−

)

P2N2PN

⎡

⎤

=+ + = +− +−

⎣

⎦

Из условия

∂

находим:

= ,

а, затем по уравнениям (24) найдем:

==P и

= .

Данная методика применима также и к задачам дважды и более раз ста-

тически неопределимым. Рассмотрим конкретный пример.

Задача 6. Невесомая жесткая балка OB (рис. 8a) соединена с основанием

стержнями 1, 2 и 3, имеющими на концах шарниры и опирается на шарнир в

точке O. Балка OB нагружена в точке B силой P. Жесткость каждого стержня

EF. Определить нормальные усилия в стержнях 1, 2 и 3.

Решение: План сил представлен на рис. 8б. Записываем уравнение мо-

ментов относительно точки O:

12 3

Na N 2a N 3a P3a 0++−=

или

123

N2N3N3P0

+−=. (25)

Выражая N

через N

, N

и P из уравнения (25) и записывая выражение

потенциальной энергии, получаем:

()

23 23

U3P2N3NN

2EF

⎡

=−−++

⎣

⎤

⎦

. (26)

Условия совместности деформаций для второго и третьего стержней

примут вид:

∂

. (27)

а).

б).

Рис. 8.

Откуда из уравнений (25-27) получаем систему трех уравнений с тремя

неизвестными:

123

N2N3N3P0

+−=,

5N 6N 6P 0

−=,

6N 10N 9P 0

−=.

Применяя любой из известных методов решения системы таких уравне-

ний, находим, что:

= ,

= и

= .

3. Учет неточности изготовления элементов стержневых систем,

а так же температурных воздействий

при решении статически неопределимых задач

Задача 7. На рис. 9а представлен стержень AB, который изготовлен с от-

клонением от проектной длины и поэтому закреплен до приложения внешних

сил с зазором ∆. Жесткость стержня EF. Определить реакции в опорах.

б).

∆

Рис. 9.

Решение: Если после приложения внешних сил к стержню AB зазор пе-

рекроется, вследствие удлинения стержня, то наряду с реакцией R

будет дей-

ствовать реакция R

План сил представлен на рис. 9б. Из условия равновесия

стержня АВ следует, что:

− , ,

NRP=− +

31 1

NRPPR

−+−=−.

Тогда потенциальная энергия деформации:

()( )()

11 1

URRPR

2EF

⎡

=−+−++−

⎣

⎤

⎦

. (27)

По теореме Кастилиано имеем:

(

11 1

2R 2R 2P 2R

R2EF

∂

=+−+

∂

)

=−∆. (28)

Откуда:

33L

∆

==− .

В уравнении (28) в правой части поставлен знак минус, так как направле-

ние перемещения торца стержня АВ до закрытия зазора противоположно на-

правлению реакции R

Задача 8. Жесткая невесомая балка ОВ (рис. 10а) закреплена шарнирно в

точке О и должна быть соединена с основанием стержня АВ (стержень 2) и ДС

(стержень 1). При этом стержень 1 оказался короче проектной длины на вели-

чину ∆. Жесткость каждого стержня EF. Определить усилия в стержнях 1 и 2

после сборки конструкции.

Решение: При сборке конструкции в стержнях 1 и 2 возникнут растяги-

вающие усилия. План сил изображен на рис. 10б. Записывая уравнение момен-

тов относительно точки О, получаем

NaCOS N 2aCOS 0−β+ α=,

откуда

NCOS

2COS

. (29)

Потенциальная энергия упругой деформации стержней 1 и 2 равна:

()

22 2

12 1

LLNC

UNN N

2EF 2EF 4COS

⎛⎞

⋅

=+=+

⎜⎟

⎝⎠

Применяя теорему Кастилиано для внутренних усилий, получаем

UUL NCOS

,2N

NN2EF 2COS

⎛⎞

∂∂ ⋅β

=∆ = + =∆

⎜

∂∂ α

⎝⎠

⎟

. (30)