Агульник В.И., Зеленцов Б.П. Математика в формулах и таблицах. Справочное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и

информатики

В.И. Агульник, Б.П. Зеленцов

МАТЕМАТИКА

в формулах и таблицах

Справочное пособие

Новосибирск

2000 г.

В.И.Агульник, Б.П.Зеленцов.

Математика в формулах и таблицах. Справочное пособие

Справочное пособие содержит формулы, таблицы, графики по

математике, охватывающие основные разделы элементарной

математики - алгебры и геометрии. Оно предназначено для

абитуриентов при подготовке к вступительным экзаменам, а также

для студентов дневного и заочного обучения при изучении высшей

математики и других дисциплин.

Кафедра высшей математики

Рецензент: И.И.Резван

Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ в

качестве учебного пособия.

 Сибирский государственный университет телекоммуникаций и

информатики, 2000 г.

 В.И.Агульник, Б.П.Зеленцов, 2000 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ЧИСЛА, ДРОБИ, МОДУЛИ…………………………………

2. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ …………

3. СТЕПЕНИ И КОРНИ ……………………………………….

4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ………

5. ПРОГРЕССИИ ………………………………………………

6. ЛОГАРИФМЫ ………………………………………………

7. ТРИГОНОМЕТРИЯ ………………………………………

8. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ……………

9. ПЛАНИМЕТРИЯ …………………………………………

10. СТЕРЕОМЕТРИЯ …………………………………………

ЛИТЕРАТУРА …………………………………………………

1. ЧИСЛА, ДРОБИ, МОДУЛИ

n  N - множество натуральных чисел {1, 2, 3, …}

d = НОД (n, m) - наибольший общий делитель n и m

dmdn  ,

k = НОК (n, m) - наименьшее общее кратное n и m

mknk  ,

Z =

 

 ,3,2,1,0,1,2,3, 

множество целых чисел

Q =













 0,,, mZmn

- множество рациональных чисел (дробей)

R – множество действительных чисел

Арифметические операции с дробями:

: 





;

a 



;



;

:

;

:

;

bcad

a 



;

Пропорция

bcad



;

Модуль числа. Определение:













aеслиa

;

Свойства модуля:



;

baab 

baba 

;

baba 

;

bababax 

 

0b

; x

 bax

 0или bbaxa - bx

;

2. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

 

2 bababa 

;

 

2 bababa 

;

   

baabbababbaaba  333

333223

;

   

baabbababbaaba  333

333223

;

  

bababa 

;

 

2233

babababa 

;

 

2233

babababa 

;

3. СТЕПЕНИ И КОРНИ

a

;





;

 

abba 

;

knkn

aaa





;

knkn

aaa





;















;

 

aa 

;



;

 

n k

aaa 

;

nnn

baab 

;

aa 

;

4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

c bx ax 0



;

0a

Корни уравнения:

2,1





, где

acbD 4



- дискриминант.

a+b

a-b

a+b

a-b

Формулы Виета:

xx 

;

xx 

Разложение квадратного трехчлена на множители:

))((

x - xx - x a c bx ax 

Приведенное уравнение:

q px x 0



;

x 

2,1

Квадратное неравенство:

Если D>0 , a>0,

, xx

- корни квадратного трехчлена,

xx 

, то

 cbxax



   

 ,,

xxx

;

 cbxax



xxx 

5. ПРОГРЕССИИ

Арифметическая прогрессия:

 ,,,,,

321 n

aaaa

Общий член:

 

dnaa

 1

,3,2,1n

, где

- разность

прогрессии;

,4,3,2,











daa

Сумма членов

 

dna















Геометрическая прогрессия

 ,,,,,

321 n

bbbb

Общий член:

,3,2,1,





nqbb

, где

- знаменатель

прогрессии;

,4,3,2,

111





nbbqbb

nnnn

Сумма членов

qbb















Сумма геометрической прогрессии (при

1q











Некоторые суммы:

 

321





n

;

 

12531 nn  

;

  

121

321

2222





nnn

n

;

 

321

3333





n

;

1  

;

6. ЛОГАРИФМЫ

Логарифм числа

по основанию

1,0,0,log  aababcb

Основное логарифмическое тождество:



log

Свойства логарифмов:

 

cbcb

aaa

logloglog 

;

aaa

logloglog 

;

log

log 

;

bnb

loglog 

;

log

log 

Десятичные логарифмы

)10( a

aa lglog



Натуральные логарифмы

)71828,2( ea

lnlog 

Логарифмические неравенства:













10 если,

1 если,

loglog

ayx

Показательные неравенства:













10 если,

1 если,

ayx

7. ТРИГОНОМЕТРИЯ

7.1. Основные соотношения

1cossin



;





cos

tg1

;





sin

ctg1

;





cos

sin

;





sin

cos

ctg

;

1ctgtg 

;





cos

sec

;





sin

cosec

;

7.2. Перевод из радианной меры углов в градусную и обратно:

180

град

рад





;







180

рад

град

;

7.3. Основные значения тригонометрических функций

6

4

3

2

180



270

23 

360

2

sin

1

cos

1

tg



ctg



7.4. Знаки тригонометрических функций

7.5. Формулы сложения

 

 sincoscossinsin

;

 

 sincoscossinsin

;

 

 sinsincoscoscos

;

 

 sinsincoscoscos

;

 







tgtg1

tgtg

;

 







tgtg1

tgtg

;







ctgctg

1ctgctg

)ctg(

;







ctgctg

1ctgctg

)ctg(

;

7.6. Формулы двойных углов













ctg1

ctg2

tg1

tg2

cossin22sin

;







2222

tg1

sin211cos2sincos2cos

;







tg1

tg2

2tg

;







ctg2

1ctg

2ctg

;

7.7. Формулы тройных углов



sin4sin33sin

;

 cos3cos43cos

;







tg31

tgtg3

3tg

;

1ctg3

ctg3ctg

3ctg







;

7.8. Формулы половинных углов

cos1

sin







;

cos1

sin







;

cos1

cos







;

cos1

cos







;





















cos1

sin

cos1

;

Универсальная тригонометрическая подстановка, используемая для

решения тригонометрических уравнений:



t

;

sin





;

cos







;





;

7.9. Формулы приведения









 

2 

sin – sin  cos   sin  – cos   sin 

cos cos   sin  – cos   sin  cos 

tg –tg   ctg   tg   ctg   tg 

ctg –ctg   tg   ctg   tg   ctg 

7.10. Формулы преобразования суммы и разности

cos

sin2cossin









;

cos

sin2sinsin









;

cos

cos2coscos









;

sin

sin2coscos









;

 

 aAba sincossin

, где

baA arctg,



;

 







coscos

sin

tgtg

;

 







coscos

sin

tgtg

;

 







sinsin

sin

ctgctg

;

 







sinsin

sin

ctgctg

7.11. Формулы преобразования произведения

    

 coscos

sinsin

;

    

 coscos

coscos

;

    

 sinsin

cossin

7.12. Обратные тригонометрические функции

 

arctgarccos

arcsinarcsin









;

 

arcctgarcsin

arccosarccos









;

 

arcsinarcctg

arctgarctg









;

 

arccosarctg

arcctgarcctg









7.13. Простейшие тригонометрические уравнения

asinx 

;

 

1;1a

;

 













 Zn

2arcsin

arcsin1

Частные случаи:

0sin x

;

nx 

;

1sin x

;

nx 



 2

;

1sin x

;

nx 



 2

acosx 

;

 

1;1a

;

Znnax  ,2arccos

Частные случаи:

0cos x

;

nx 





;

1cos x

;

nx 2

;

1cos x

;

nx  2

atgx 

 

 ;a

;

nax arctg

actgx 

;

 

 ;a

;

nax arcctg

RefM499.doc

8. Графики основных элементарных функций

Парабола

Гипербола

y y

x x

 



y x x y  ( )

10. ПЛАНИМЕТРИЯ

10.1. Треугольник

10.1.1. Основные соотношения

A,B,C – вершины aa,b,c – стороны ,, - углы

acbbcacba  ;;

- неравенства треугольника;

 180

;

теорема проекций

c a b   cos cos 

теорема синусов

cba

sinsinsin













теорема косинусов

c a b ab

2 2 2

2   cos 

10.1.2. Замечательные линии и точки в теугольнике

a>1

0<a<1

Логарифмическая кривая

Экспонента

y = log

y = a

Синусоида

/2

-

2



y = sin xy = cos x

Тангенсоида

y = ctg x y = tg x

, m

- медианы

, h

- высоты

, l

- биссектрисы

p - полупериметр,

cba





r - радиус вписанной окружности

R – радиус описанной окружности

cba

m 

;

c)b)(pa)(pp(p

h 

;

cppab







)(2

;

1111



;

10.1.3. Формулы площади треугольника









 sin

rpS 

abc



))()(( cpbpappS 

(формула Герона)

Разбиение треугольника медианами

OC OD 2

ABCBCDACD

SSS



ABC

SSSSSSS

654321



Свойство биссектрисы треугольника



10.1.4. Прямоугольный треугольник

222

bac 

(теорема Пифагора)

 sinca

A D B

a b

A D B