Аблязов В.И. Программное управление станками и комплексами
Подождите немного. Документ загружается.
14.10.09
71
Алгоритм линейной интерполяции методом ОФ:
Начальное значение (на первом шаге интерполяции) ОФ принимается рав-
ным 0. Выдача шагов происходит по запросам г е н е р а т о р а ш а г о в . Частота
генератора шагов определяется заданной контурной скоростью.
Вычисляется значение оценочной функции. Если значение F
0, то делает-
ся шаг по главной координате
. Если F < 0, то шаги делаются одновременно и по
, и по
.
То есть, шаги по
делаются при любом запросе ГШ, а по
только при F <
0.
Ниже приведен алгоритм линейной интерполяции методом ОФ. Алгоритм запускается
по запросам генератора шагов и заканчивается после выдачи каждого очередного шага. И снова
ждет очередного запроса ГШ.
После выдачи каждого шага по главной координате происходит проверка окончания
кадра. Если главная координата
достигла своего конечного положения, а значит не главные
тоже достигли, тогда в алгоритме формируется признак "флаг" конца отработки кадра КОК, ко-
торый осуществляет переход к отработке следующего кадра.
На рисунке показан универсальный алгоритм ЛИ в пространстве многих
координат (например,
,
,
,
). Если ЛИ ведется в пространстве многих коорди-
нат (
,
,
,
), то поочередно вычисляются значения оценочных функций (и знаки
оценочных функций) для каждой пары координат: F(
,
) , F(
,
) , F(
,
) , и оп-
ределяется необходимость выдачи шага по каждой из не главных координат.
Скорость ГШ выбирается в соответствии с заданной контурной скоростью
F
к
.
14.10.09
72
Y
X
A
0
x
k
y
k
Y
X
A
0
x
k
y
k
Y
X
A
0
x
k
y
k
a)
б)
в)
Рис. 2.1. Линейная интерполяция методом ОФ: а) исходная траектория; б) с раз-
дельными шагами по координатам; в) с одновременными шагами по координатам.
ГШ
fhfh
T
h
F
.
h – величина шага по ;
f
– частота импульсов по координате ;
T – период выдачи шагов.
14.10.09
73
Отсюда
2222
;
k
k
ГШ
FF
h
F
h
F
f .
Для запуска программы интерполяции предварительно (в программе подго-
товки данных для интерполяции) вычисляются:
Подготовка данных (предварительные вычисления) перед алгоритмом ин-
терполяции состоит из следующих действий:
1) формируются соответствия реальных координат x, y, z услов-
ным
,
,
;
2) вычисляется начальное значение ОФ (как правило, оно прини-
мается равным нулю);
Начало
Fi(
,
)>0
Шаг по
F
i+1
(
,
) = F
i
+
k
–
k
F
i+1
(
,
) = F
i
–
k
Fi(
,
)>0
Шаг по
F
i+1
(
,
) = F
i
+
k
–
k
F
i+1
(
,
) = F
i
–
k
Fi(
,
)>
0
Шаг по
F
i+1
(
,
) = F
i
+
k
–
k
F
i+1
(
,
) = F
i
–
k
Нет
Да
Нет
Нет
Да
Да
Начало
Для 4-х коорд.
Для 3-х коорд.
Начало
Для 2-х коорд.
Начало
Для 1-ой коорд.
Шаг по
i+1
=
i
–1
=0
Нет
Да
Конец отработки кадра
Конец
14.10.09
74
3) вычисляется частота ГШ f
ГШ
;
4) вычисляются const : (
к
–
к
) , : (
к
–
к
) и др.
19. Круговая интерполяция методом ОФ
Аналогично линейной выполняется круговая интерполяция (КИ) методом
оценочной функции. За ОФ принимается выражение:
222
RF
.
При
< 45
мы делаем шаги по
по каждому запро-
су ГШ, и одновременно по
- в зависимости от знака ОФ.
А при
> 45
мы делаем шаги по
по каждому запросу
ГШ, а по
- в зависимости от знака ОФ.
При шаге по
: 1
1
ii
(т. к. уменьшается);
12,121,
2
22
2
22
1
iiiiiiii
FRRF
.
При шаге по
: 1
1
ii
;
12,,
1
iii
FF
.
Шаг по
и по
::
22,,
11
iiii
FF
.
При круговой интерполяции ме-
тодом ОФ возникает задача поддержа-
ния постоянства контурной скорости.
При
= 0
контурная скорость мини-
мальна и равна F
0к
, поскольку шаги
выдаются только по одной координате.
При
= 45
контурная скорость мак-
симальна и равна (F
0к
2), поскольку
на каждом шаге генератора шагов вы-
даются шаги по обеим координатам.
Для решение проблемы постоянства
контурной скорости скорость генера-
тора шагов при круговой интерполяции корректируется на ка-
ждом шаге, когда происходит выдача шага по координате
при
< 45
.
В начальном участке при
= 0 контурная скорость рав-
на F
; при
= 45
контурная скорость будет равна 2
0
F .
При
< 45
мы должны f
ГШ
уменьшатьть, на величину
f
ГШ
тогда, когда мы делаем шаги по
.
R
F
f
k
ГШ
, где R – радиус.
f
ГШ
– величина постоянная (мы ее вычисляем один раз).
R
р
2
0
FF
k
45
ГШ
F
k
90
F
ok
F
ok
= F
F
F
= F
k
F
k
F
14.10.09
75
При
> 45
мы должны f
ГШ
увеличивать, на величину
f
ГШ
, когда мы дела-
ем шаги по
.
i
,
i
– текущие координаты.
При круговой интерполяции проверка окончания кадра осуществляется по
обеим координатам, т. к. конечное значение может не всегда точно лежать на ок-
ружности. И если какая-либо координата достигла своего конечного положения,
то по другой координате происходит доработка в конечную точку (ошибка здесь
будет не более чем на один шаг).
При разгоне и торможении режим обеспечивается изменением частоты ГШ
fhf
T
fhhff
Т
FF
а
начконечн
fhfа
нет
да
т
>
т
F
оф
= F
оф
+ 2
i
+1
F = F + 2 (
–
) + 2
Шаг по
=
+ 1
КОК
да
F
0
нет
=
–
1
R
F
ff
конт
ГШГШ
Шаг по
=
к
нет
да
=
к
По запросу ГШ
>
45
шаг
1-ый полуквадрант
шаг
и
Нач
а
ло
Конец
14.10.09
76
где
f – изменение частоты;
f – частота;
h – шаг;
а – ускорение на участках разгона и торможения.
Из этой формулы следует, что
fh
a
f
, где а – допустимое ускорение для
данного объекта (например, станка).
20. Метод цифрового интегрирования
Поскольку скорость по i-ой координате F
i
и текущее значение координаты в
произвольный момент времени t определяются следующим образом:
t
xxx
t
xx
dttaFtF
dttFStS
0
0
0
0
то, заменив точное вычисление интегралов приближенными, можно таким спосо-
бом определять текущие значения координат.
На практике приближенное вычисление интегралов осу-
ществляют, например, методом Эйлера (прямоугольни-
ков), при котором значение функции на каждом дискрет-
ном отрезке времени
t = t
j+1
- t
j
считается неизменным.
Если отрезок времени
t достаточно мал, то ошибка вы-
числений не превысит допустимое значение.
При методе цифрового интегрирования в СЧПУ с
постоянной частотой f
инт
осуществляется расчет прира-
щений (по каждой координате) за этот фиксированный
промежуток времени, называемый периодом интерполя-
ции. Величина этого приращения будет зависеть от заданной скорости F
конт
и пе-
риода интерполяции
t. Частота интерполяционных вычислений f
инт
=1/
t для
современных приводов обычно выбирается в пределах от 200Гц до 1кГц.
Наиболее просто методом цифрового интегрирования реализуется линейная интерполя-
ция. При ЛИ на участках разгона и торможения ускорение по координатам остается постоян-
ным. Например, для координаты X на (j+1) шаге
t
FF
SS
taFF
jxjx
jxjx
xjxjx
2
1,,
,1,
,1,
Эти соотношения лежат в основе линейной интерполяции методом ЦИ.
Поскольку
t остается все время постоянной, умножение на
t на каждом шаге интер-
поляции можно исключить, заменив его предварительным масштабированием соответствую-
щих величин.
F
t
t
j t
j+1
F
j+1
F
j
t
14.10.09
77
м
м
ata
F
t
F
Тогда вычисление текущих значений скоростей и координат при ЛИ по каждой коорди-
нате будут выполняться следующим образом:
.
,,1,
,,1,
jмjмjм
jмjмjм
FSS
a
F
F
Алгоритм ЛИ (с разгоном-торможением) методом ЦИ
При использовании МЦИ не только легко реализуется линейная интерполяция, но и раз-
работаны эффективные алгоритмы круговой и других видов интерполяции.
Начало 1
Начало 2
Начало 3
t Разгон
t Пост.
t Торм.
iм
iмiм
a
F
F
,
,,
iм
iмiм
a
F
F
,
,,
.,задмм
FF
Да
минмм
FF
,
Да
Конец разгона
Настройка на Нач.2
Конец тормож.
Настройка на Нач.2
iм
iмiм
F
S
S
,
,,
., торммм
SS
кадраконмм
SS
.,
Нет
Нет
Нет
Да
Конец тормож.
Настройка на Нач.2
Нет
Конец отраб. кадра
Прием (n+1) кадра
Конец
Да
14.10.09
78
21. Сравнительная оценка методов цифрового интегрирования и ОФ
Алгоритмы интерполяции методом ОФ достаточно просты, все шаги по ко-
ординатам являются единичными. Величина шага определяется конкретной сис-
темой и станком, например, 1 , 5 или 10 мкм. Скорость же выдачи шагов опреде-
ляется заданной скоростью. Ошибка интерполяции при этом не превышает одного
шага. Скорость же движения ограничена тем фактором, что выдача очередного
единичного шага возможна только после завершения цикла вычислений ОФ, т.е.
ограничиваются производительностью процессора.
В алгоритмах ОФ в явном виде не присутствует текущее значение скорост-
ных составляющих по координатам, поэтому нельзя обеспечить подачу в приводы
скоростную составляющую для улучшения динамических характеристик.
При МЦИ скорость движения по координатам не ограничивается произво-
дительностью процессора, поскольку величина скорости (приращение пути за пе-
риод интерполяции
Т ) может быть произвольным.
При МЦИ значения скоростей по координатам вычисляются в самом алго-
ритме. Управляющие воздействия на приводы, формируемые в соответствии с
этими значениями можно подавать непосредственно в привод и использовать для
улучшения динамических характеристик приводов.
При методе ЦИ необходимо учитывать тот факт, что на каждом шаге вы-
числений (текущих значений координат и скоростей) происходит накопление
ошибок вычислений. Не принимая во внимание методические ошибки, обуслов-
ленные приближенностью самих алгоритмов, рассмотрим влияние инструмен-
тальных ошибок
и
(ошибки округлений, связанные с конечностью разрядной
сетки, иными словами, ошибка единицы младшего разряда).
При больших временах обработки эта ошибка координат может быть значи-
тельной и необходимо предусматривать специальные меры для ее уменьшения.
Поскольку максимально возможная ошибка вычислений текущего значения
ускорения (при разгоне для линейной интерполяции) составляет
и
, то при вы-
числении скорости F = F
0
+ a
1
на первом шаге максимально возможная ошибка
вычисления скорости составит:
F
1
=
иF
+
иa
= 2
и
.
На втором шаге
F
2
=
F
1
+
иa
=2
и
+
и
= 3
и
,
на i-ом шаге
F
i
= ( i+1)
и
.
Ошибка вычислений координаты будет складываться из инструментальной
(накопленной) ошибки S и F , что составит на первом шаге ( S
1
= S
0
+ F
1
):
на первом шаге
S
1
=
иS
+
F
1
= 3
и
,
на втором шаге
S
2
=
S
1
+
F
2
= 6
и
,
на третьем шаге
S
3
=
S
2
+
F
3
= 10
и
, и т.д.
для i–ого шага:
S
i
= (1+0,5i)
(i + 1)
и
Если период интерполяции
Т = 2 мс, то при времени обработки кадра
10 мин. Число шагов интерполяции будет равно 10*60/0,002 = 3*10
5
. Максималь-
но возможная ошибка
S может стать очень значительной.
14.10.09
79
Таким образом, на участках с изменяющейся скоростью ошибка вычисле-
ния координат, обусловленная ошибкой округления, может достигать
Для обеспечения требуемой точности при вычислениях МЦИ при изме-
няющейся скорости и больших перемещениях величина разрядной сетки должна
быть достаточно большой.
Литература
1. Аблязов В.И., Тисенко В.Н. Методология разработки документов в техни-
ческих проектах. Уч. пособие. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2008 г. 135 с.
2. Белов М.П. Технические средства автоматизации и управления Учебное по-
собие. -СПб. СЗТУ 2006-184с.
3. Бриндли, Кейт. Измерительные преобразователи. Справ. пособие. Пер. с
англ. М. Энергоатомиздат.91.
4. Гжиров В.И., Серебреницкий П.П. Программирование обработки на станках
с ЧПУ.- Л.: Машиностроение, 1990.- 591с.
5. Джонс М.Х. Электроника, практический курс. Пер. с англ. Постмаркет,
1999, 527с.
6. Елизаров И.А. Технические средства автоматизации. Программно-
технические комплексы и контроллеры. М. 2004. 180 с.
7. Калабеков Б.А. Цифровые устройства и микропроцессорные системы, , Го-
рячая линия-Телеком, 2000, 336 с/
8. Клюев А.С. Проектирование систем автоматизации технологических про-
цессов. СПб, 2008
9. Леонтьев А.Г. Микропроцессорные электромеханические системы. Учебн.
пособие.- СПбГТУ, ФТК, 1998, 109с.
10. Многоцелевые системы ЧПУ гибкой механообработкой. В.Е.Алексеев и др.
Под общ. ред. В.Г.Колосова, Л. Машиностроение,1984, 224с.
11. Новиков Ю.В. Разработка устройств сопряжения. М. Экон. 1997.
12. Островский М.Я., Тисенко В.Н., Федотов А.И. Системы управления обору-
дованием гибких производственных систем. Уч. пособие. ЛПИ, 1986, 86с.
13. Подлесный Н.И., Рубанов В.Г. Элементы САУ и контроля Киев, ВШ, 464с.
14. Прянишников В.А. Электроника - Курс лекций - С.-П. "Корона принт",
2000г. 415с.
15. Системное программное обеспечение. В.И.Аблязов и др. Уч. пособ.
СПбГТУ, 1996, 66с.
16. Технические средства автоматизации. Программно-технические комплексы
и контроллеры: Учебное пособие, 2004, изд Машиностроение.
17. Угрюмов Е. Цифровая схемотехника/ Учебное пособие, BHV-Санкт-
Петербург, 2000, 528с.
18. Хоровиц П., Хилл У. Искусство схемотехники: пер. с англ.- 5-е изд., пере-
раб.- М., Мир, 1999, 704 с.