М.: Факториал пресс, 2002. 824 стр.
Книга содержит численные методы решения задач оптимизации. Приводятся теоретическое обоснование и краткие характеристики этих методов. Рассматриваются задачи минимизации функций в конечномерных и бесконечномерных пространствах, а также задачи оптимального управления процессами, описываемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.
Для студентов вузов по специальности «Прикладная математика», и специалистов, связанных с решением задач оптимизации.
Конечномерные злдлчи минимизации. Принцип максимума. Динамическое программирование.
методы минимизации функций одной переменной.
Постановка задачи.
Классический метод.
Метод деления отрезка пополам.
Метод золотого сечения. Симметричные методы.
Об оптимальных методах.
Метод ломаных.
Методы покрытий.
Выпуклые функции одной переменной.
Метод касательных.
Классическая теории экстремума функций многих переменных.
Постановка задачи. Теорема Вейерштрасса.
Классический метод решения задач на безусловный экстремум.
Задачи на условный экстремум. Необходимые условия первого порядка.
Необходимые условия экстремума второго порядка.
Достаточные условия экстремума.
Вспомогательные предложения.
Элементы линейного программирования.
Постановка задачи.
Геометрическая интерпретация. Угловые точки.
Поиск начальной угловой точки.
Условие разрешимости задач линейного программирования. Теоремы двойственности.
Элементы выпуклого анализа.
Выпуклые множества.
Выпуклые функции.
Сильно выпуклые функции.
Проекция точки на множество.
Отделимость выпуклых множеств.
Субградиент. Субдифференциал.
Равномерно выпуклые функции.
Обоснование правила множителей Лагранжа.
Теорема Куна—Таккера. Двойственная задача.
Методы минимизации функций многих переменных.
Градиентный метод.
Метод проекции градиента.
Метод проекции субградиента.
Метод условного градиента.
Метод возможных направлений.
Проксимальный метод.
Метод линеаризации.
Квадратичное программирование.
Метод сопряженных направлений.
Метод Ньютона.
Непрерывные методы с переменной метрикой.
Метод покоординатного спуска.
Метод покрытия в многомерных задачах.
Метод модифицированных функций Лагранжа.
Метод штрафных функций.
Доказательство необходимых условий экстремума первого и второго порядков с помощью штрафных функций.
Метод барьерных функций.
Метод нагруженных функций.
О методе случайного поиска.
Общие замечания.
Принцип максимума Понтрягина.
Постановка задачи оптимального управления.
Формулировка принципа максимума. Примеры.
Доказательство принципа максимума.
Принцип максимума для задач оптимального управления с фазовыми ограничениями.
Связь между принципом максимума и классическим вариационным исчислением.
Динамическое программирование.
Схема Беллмана. Проблема синтеза для дискретных систем.
Схема Моисеева.
Проблема синтеза для систем с непрерывным временем.
Достаточные условия оптимальности.
Минимизация в функциональных пространствах. Регуляризация. Аппроксимация.
методы минимизации в функциональных пространствах.
Предварительные сведения. Обозначения.
Теорема Вейерштрасса в функциональных пространствах.
Дифференцирование. Условия оптимальности.
Методы минимизации.
Градиент в задаче оптимального управления со свободным правым концом.
Градиент в задаче оптимального управления с дискретным временем.
Оптимальное управление процессом нагрева стержня.
Оптимальное управление колебательными процессами.
Оптимальное управление процессами, описываемыми уравнением Гурса —Дарбу.
Взаимодвойственные задачи управления и наблюдения.
Метод моментов.
Методы решении неустойчивых задач оптимизации.
Постановка задачи. Устойчивые и неустойчивые задачи минимизации.
Методы регуляризации для решения неустойчивых задач первого типа.
Стабилизатор, Леммы о регуляризации.
Метод стабилизации.
Метод невязки.
Метод квазирешений.
Методы регуляризации с расширением множества.
Регуляризованный метод проекции градиента.
Регуляризованный метод условного градиента.
Регулярнзованный проксимальный метод.
Регул яризованный метод Ньютона.
Регулярнзованный непрерывный метод проекции градиента.
Метод динамической регуляризации.
Аппроксимация экстремальных задач.
Разностная аппроксимация квадратичной задачи оптимального управления.
Общие условия аппроксимации.
Разностная аппроксимация для квадратичной задачи с фазовыми ограничениями.
Регуляризация аппроксимаций экстремальных задач.
Разностная аппроксимация квадратичной задачи с переменной областью.
управления.
Аппроксимация задачи быстродействия.
Разностная аппроксимация задачи об оптимальном нагреве стержня.
Об аппроксимации максиминных задач.
Книга содержит численные методы решения задач оптимизации. Приводятся теоретическое обоснование и краткие характеристики этих методов. Рассматриваются задачи минимизации функций в конечномерных и бесконечномерных пространствах, а также задачи оптимального управления процессами, описываемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.
Для студентов вузов по специальности «Прикладная математика», и специалистов, связанных с решением задач оптимизации.
Конечномерные злдлчи минимизации. Принцип максимума. Динамическое программирование.
методы минимизации функций одной переменной.
Постановка задачи.
Классический метод.
Метод деления отрезка пополам.
Метод золотого сечения. Симметричные методы.
Об оптимальных методах.
Метод ломаных.
Методы покрытий.
Выпуклые функции одной переменной.
Метод касательных.
Классическая теории экстремума функций многих переменных.
Постановка задачи. Теорема Вейерштрасса.
Классический метод решения задач на безусловный экстремум.
Задачи на условный экстремум. Необходимые условия первого порядка.
Необходимые условия экстремума второго порядка.
Достаточные условия экстремума.
Вспомогательные предложения.
Элементы линейного программирования.
Постановка задачи.
Геометрическая интерпретация. Угловые точки.
Поиск начальной угловой точки.
Условие разрешимости задач линейного программирования. Теоремы двойственности.
Элементы выпуклого анализа.
Выпуклые множества.
Выпуклые функции.
Сильно выпуклые функции.
Проекция точки на множество.
Отделимость выпуклых множеств.
Субградиент. Субдифференциал.
Равномерно выпуклые функции.
Обоснование правила множителей Лагранжа.
Теорема Куна—Таккера. Двойственная задача.
Методы минимизации функций многих переменных.
Градиентный метод.
Метод проекции градиента.
Метод проекции субградиента.
Метод условного градиента.
Метод возможных направлений.
Проксимальный метод.
Метод линеаризации.
Квадратичное программирование.
Метод сопряженных направлений.
Метод Ньютона.
Непрерывные методы с переменной метрикой.
Метод покоординатного спуска.
Метод покрытия в многомерных задачах.
Метод модифицированных функций Лагранжа.
Метод штрафных функций.
Доказательство необходимых условий экстремума первого и второго порядков с помощью штрафных функций.
Метод барьерных функций.
Метод нагруженных функций.
О методе случайного поиска.
Общие замечания.
Принцип максимума Понтрягина.
Постановка задачи оптимального управления.
Формулировка принципа максимума. Примеры.
Доказательство принципа максимума.
Принцип максимума для задач оптимального управления с фазовыми ограничениями.
Связь между принципом максимума и классическим вариационным исчислением.
Динамическое программирование.
Схема Беллмана. Проблема синтеза для дискретных систем.
Схема Моисеева.
Проблема синтеза для систем с непрерывным временем.
Достаточные условия оптимальности.
Минимизация в функциональных пространствах. Регуляризация. Аппроксимация.
методы минимизации в функциональных пространствах.
Предварительные сведения. Обозначения.
Теорема Вейерштрасса в функциональных пространствах.
Дифференцирование. Условия оптимальности.
Методы минимизации.
Градиент в задаче оптимального управления со свободным правым концом.
Градиент в задаче оптимального управления с дискретным временем.
Оптимальное управление процессом нагрева стержня.
Оптимальное управление колебательными процессами.
Оптимальное управление процессами, описываемыми уравнением Гурса —Дарбу.
Взаимодвойственные задачи управления и наблюдения.
Метод моментов.
Методы решении неустойчивых задач оптимизации.
Постановка задачи. Устойчивые и неустойчивые задачи минимизации.
Методы регуляризации для решения неустойчивых задач первого типа.
Стабилизатор, Леммы о регуляризации.
Метод стабилизации.
Метод невязки.
Метод квазирешений.
Методы регуляризации с расширением множества.
Регуляризованный метод проекции градиента.
Регуляризованный метод условного градиента.
Регулярнзованный проксимальный метод.
Регул яризованный метод Ньютона.
Регулярнзованный непрерывный метод проекции градиента.
Метод динамической регуляризации.
Аппроксимация экстремальных задач.
Разностная аппроксимация квадратичной задачи оптимального управления.
Общие условия аппроксимации.
Разностная аппроксимация для квадратичной задачи с фазовыми ограничениями.
Регуляризация аппроксимаций экстремальных задач.
Разностная аппроксимация квадратичной задачи с переменной областью.
управления.
Аппроксимация задачи быстродействия.
Разностная аппроксимация задачи об оптимальном нагреве стержня.
Об аппроксимации максиминных задач.